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1、第八章 直線回歸和相關(guān)第一節(jié) 回歸和相關(guān)的概念(掌握)第二節(jié) 直線回歸(掌握)第三節(jié) 直線相關(guān)(掌握)第四節(jié) 直線回歸與相關(guān)的內(nèi)在關(guān)系和應(yīng)用要點(diǎn)(理解)第五節(jié) 協(xié)方差分析第八章 直線回歸和相關(guān)第一節(jié) 回歸和相關(guān)的概第一節(jié)回歸和相關(guān)的概念1.函數(shù)關(guān)系與統(tǒng)計(jì)關(guān)系 函數(shù)關(guān)系(完全相關(guān))是確定性關(guān)系,即一個(gè)變數(shù)的任一變量必與另一變數(shù)的一個(gè)確定值相對(duì)應(yīng)。不包括誤差的干擾,常見(jiàn)于物理學(xué)、化學(xué)等理論科學(xué)。統(tǒng)計(jì)關(guān)系(不完全相關(guān))是非確定性的關(guān)系,即一個(gè)變數(shù)的取值受到另一變數(shù)的影響,兩者之間既有關(guān)系,但又不存在完全確定的函數(shù)關(guān)系。例如,作物的產(chǎn)量與施肥量的關(guān)系,兩類(lèi)變數(shù)因受誤差的干擾而表現(xiàn)為統(tǒng)計(jì)關(guān)系,在生物學(xué)中
2、常見(jiàn)。第一節(jié)回歸和相關(guān)的概念1.函數(shù)關(guān)系與統(tǒng)計(jì)關(guān)系 2.自變數(shù)與依變數(shù) 有統(tǒng)計(jì)關(guān)系的兩個(gè)變數(shù),分別用符號(hào)Y和X表示。統(tǒng)計(jì)關(guān)系分因果關(guān)系和相關(guān)關(guān)系兩種。 如果兩個(gè)變數(shù)并非因果關(guān)系,而是共同變化,則為相關(guān)關(guān)系。相關(guān)關(guān)系中并沒(méi)有自變數(shù)和依變數(shù)之分。 如玉米穗長(zhǎng)與穗重的關(guān)系。2.自變數(shù)與依變數(shù) 兩個(gè)變數(shù)間的關(guān)系若有因果關(guān)系,并定義以X表示自變數(shù),Y表示依變數(shù)。 如施肥量與產(chǎn)量的關(guān)系,施肥量是是自變數(shù)(X);產(chǎn)量是依變數(shù)(Y)。直線回歸與相關(guān)課件3回歸分析和相關(guān)分析 回歸分析是建立X與Y之間的數(shù)學(xué)關(guān)系式,用于預(yù)測(cè); 相關(guān)分析研究X與Y兩個(gè)隨機(jī)變量之間的共同變化規(guī)律,例如當(dāng)X增大時(shí)Y如何變化,以及這種共變
3、關(guān)系的強(qiáng)弱。3回歸分析和相關(guān)分析 原則上Y含有試驗(yàn)誤差,而X不含試驗(yàn)誤差時(shí)著重回歸分析;Y和x均含有試驗(yàn)誤差時(shí)著重相關(guān)分析。 但討論X為非隨機(jī)變量的情況,所得到的參數(shù)估計(jì)式也可用于X為隨機(jī)變量的情況。 原則上Y含有試驗(yàn)誤差,而X不含試驗(yàn)誤差時(shí)著重4兩個(gè)變數(shù)資料的散點(diǎn)圖 對(duì)x、y進(jìn)行考察的簡(jiǎn)便方法是將n對(duì)觀察值(x1,y1)、(x2,y2)、(xn,yn) 于同一直角坐標(biāo)平面上制作散點(diǎn)圖:X和Y的相關(guān)的性質(zhì)(正或負(fù))和密切程度; X和Y的關(guān)系是直線型的還是非直線型的; 是否有一些特殊的點(diǎn)表示其他因素的干擾等。4兩個(gè)變數(shù)資料的散點(diǎn)圖 圖9.1A 單株的生物產(chǎn)量(X)和稻谷產(chǎn)量(Y)圖9.1B 每平
4、方米土地上 的總穎花數(shù)(X)和結(jié)實(shí)率(Y)圖9.1C 最高葉面積指數(shù)(X)和每畝稻谷產(chǎn)量(Y)圖9.1A 單株的生物產(chǎn)量(X)和稻谷產(chǎn)量(Y)圖9.1B從中可以看出:圖9.1A和9.1B都是直線型的,但方向相反;前者表示兩個(gè)變數(shù)的關(guān)系是正的,后者表示關(guān)系是負(fù)的。圖9.1B的各個(gè)點(diǎn)幾乎都落在一直線上,圖9.1A則較為分散;因此,圖9.1B中X和Y相關(guān)的密切程度必高于圖9.1A。圖9.1C中X和Y的關(guān)系是非直線型的;從中可以看出:第二節(jié) 直線回歸一、一元正態(tài)線性回歸統(tǒng)計(jì)模型和基本假定 直線回歸模型中,Y 總體的每一個(gè)值由以下三部分組成:回歸截距,回歸系數(shù),Y變數(shù)的隨機(jī)誤差。總體直線回歸的數(shù)學(xué)模型:
5、相應(yīng)的樣本線性組成為:第二節(jié) 直線回歸一、一元正態(tài)線性回歸統(tǒng)計(jì)模型和基本假回歸分析時(shí)的假定:(1) Y 變數(shù)是隨機(jī)變數(shù),而X 變數(shù)則是沒(méi)有誤差的固定變數(shù),至少和Y 變數(shù)比較起來(lái)X 的誤差小到可以忽略。(2) 在任一X 上都存在著一個(gè)Y 總體(可稱為條件總體),它是作正態(tài)分布的,其平均數(shù) 是X 的線性函數(shù): 的樣本估計(jì)值,與X 的關(guān)系就是線性回歸方程 回歸分析時(shí)的假定:(3) 所有的Y 總體都具有共同的方差 ,而直線回歸總體具有 。試驗(yàn)所得的一組觀察值(xi,yi )只是 中的一個(gè)隨機(jī)樣本。(4)隨機(jī)誤差 相互獨(dú)立,并作正態(tài)分布,具有 。 (3) 所有的Y 總體都具有共同的方差 ,而直線回歸總體
6、二、參數(shù)和的估計(jì) 和是參數(shù), 只能根據(jù)有限的觀察數(shù)據(jù)求出相應(yīng)的估計(jì)值a和b,并得到y(tǒng)i的估計(jì)值: 為殘差平方和SSe(Q) 使殘差平方和達(dá)到最小的直線為回歸線 二、參數(shù)和的估計(jì)SSe對(duì)a、b的一階偏導(dǎo)數(shù)等于0 直線回歸與相關(guān)課件 為X的校正平方和 為Y的總校正平方和 為校正交叉乘積和 直線回歸與相關(guān)課件則:a樣本回歸截距,是回歸直線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo);b樣本回歸系數(shù),表示x 改變一個(gè)單位,y平均改變的數(shù)量;b 的符號(hào)反映了x影響y的性質(zhì),b的絕對(duì)值大小反映了x 影響y 的程度; 回歸估計(jì)值,是當(dāng)x在在其研究范圍內(nèi)取某一個(gè)值時(shí),x的估計(jì)值則: y a0,b0,b0 a0 x 直線回歸方程的圖象由
7、下式可看到:當(dāng)x以離均差(x - )為單位時(shí),回歸直線的位置僅決定于 和b ;當(dāng)將坐標(biāo)軸平移到以( , )為原點(diǎn)時(shí),回歸直線的走向僅決定于b,所以一般又稱b為回歸斜率(regression slope)。 直線回歸與相關(guān)課件在實(shí)際計(jì)算時(shí),可采用以下公式:SSx=x2-(x)2/nSSy=y2-(y)2/nSPxy=xy-xy/n在實(shí)際計(jì)算時(shí),可采用以下公式:三、 直線回歸方程的計(jì)算 例9.1一些夏季害蟲(chóng)盛發(fā)期的早遲和春季溫度高低有關(guān)。江蘇武進(jìn)連續(xù)9年測(cè)定3月下旬至4月中旬平均溫度累積值(x,旬度)和水稻一代三化螟盛發(fā)期(y,以5月10日為0)的關(guān)系,得結(jié)果于表9.1。試計(jì)算其直線回歸方程。首先
8、由表9.1算得回歸分析所必須的6個(gè)一級(jí)數(shù)據(jù)(即由觀察值直接算得的數(shù)據(jù)):n=9x=35.5+34.1+44.2=333.7x2=35.52+34.12+44.22=12517.49y=12+16+(-1)=70y2=122+162+(-1)2=794xy=(35.512)+(34.116)+ +44.2(-1)=2436.4表9.1 累積溫和一代三化螟盛發(fā)期的關(guān)系x累積溫 y盛發(fā)期35.5 1234.1 1631.7 940.3 236.8 7 40.2 331.7 1339.2 944.2 -1三、 直線回歸方程的計(jì)算 例9.1一些夏季害蟲(chóng)盛發(fā)期的早然后,由一級(jí)數(shù)據(jù)算得5個(gè)二級(jí)數(shù)據(jù):SSx=
9、x2-(x)2/n=12517.49-(333.7)2/9 =144.6356SSy=y2-(y)2/n=794-(70)2/9=249.5556SPxy=xy-xy/n=2436.4-(333.770)/9=-159.0444X =x/n=333.7/9=37.0778Y =y/n=70/9=7.7778因而有:b=SPxy/SSx=-159.0444/144.6356 =-1.0996天/(旬度)a=ybx=7.7778-(-1.099637.0778)=48.5485(天)故得表9.1資料的回歸方程為: =48.5485-1.0996x然后,由一級(jí)數(shù)據(jù)算得5個(gè)二級(jí)數(shù)據(jù): 上述方程的意義為
10、:當(dāng)3月下旬至4月中旬的積溫(x)每提高1旬度時(shí),一代三化螟的盛發(fā)期平均將提早1.1天;若積溫為0,則一代三化螟的盛發(fā)期將在6月27-28日(x=0時(shí),y=48.5;因y是以5月10日為0,故48.5為6月27-28日)。由于x變數(shù)的實(shí)測(cè)區(qū)間為31.7,44.2,當(dāng)x31.7或44.2時(shí),y的變化是否還符合y=48.5-1.1x的規(guī)律,觀察數(shù)據(jù)中未曾得到任何信息。 上述方程的意義為:X,y四、直線回歸方程的圖示 3月下旬至4月中旬旬平均溫度累積值圖 旬平均溫度累積值和一代三化螟盛發(fā)期的關(guān)系X,y四、直線回歸方程的圖示 3月下五、直線回歸的偏離度估計(jì) 表示了實(shí)測(cè)點(diǎn)與回歸直線偏離的程度,因而偏差平
11、方和又稱為離回歸平方和 。 其自由度為n-2 (用了a和b兩個(gè)統(tǒng)計(jì)數(shù)) 所以,離回歸均方為 離回歸標(biāo)準(zhǔn)誤為 表示了回歸直線與實(shí)測(cè)點(diǎn)偏差的程度,即回歸方程的偏離度。 五、直線回歸的偏離度估計(jì) Q=(y-y)2=SSy-(SPxy)2/SSx =SSy-b(SPxy) =SSy-b2(SSx) =y2-ay-bxy直線回歸與相關(guān)課件例9.2 試計(jì)算由表9.1資料獲得的回歸方程的估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤。 由例9.1算好的有關(guān)數(shù)據(jù)可直接得到:Q=249.5556-(-159.0444)2/144.6356=74.6670 sy/x=Q/(n-2)1/2=(y-y)2/(n-2)1/2=3.266(天) 統(tǒng)計(jì)意義是
12、:在y3.266天范圍內(nèi)約有68.27%個(gè)觀察點(diǎn),在y6.532天范圍內(nèi)約有95.45%個(gè)觀察點(diǎn)等。例9.2 試計(jì)算由表9.1資料獲得的回歸方程的估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤六、直線回歸的顯著性檢驗(yàn)和區(qū)間估計(jì)直線回歸的變異來(lái)源六、直線回歸的顯著性檢驗(yàn)和區(qū)間估計(jì)直線回歸的變異來(lái)源(一)一元回歸的方差分析(一)一元回歸的方差分析即: SSy = SSe + SSR y的總校正平方和 殘差平方和 回歸平方和自由度: n-1 n-2 1y的總變異程度 y與x間存在直線關(guān)系所引起的y的變異程度 除y與x存在直線關(guān)系以外的原因,包括隨機(jī)誤差所引起的y的變異程度 回歸和離回歸的方差比遵循df1=1,df2=n-2 的F分布即
13、: SSy = SF-檢驗(yàn)H0: = 0。若F F(1, n-2),則接受H0,否則拒絕。簡(jiǎn)化公式: F-檢驗(yàn)H0: = 0。若F F0.01(1, 7) ,拒絕H0,差異極顯著。即應(yīng)認(rèn)為回歸方程有效。對(duì)例9.1作方差分析(二)一元回歸的t檢驗(yàn) H0 : = 0HA: 0 (雙側(cè)檢驗(yàn))HA: 0 (或 0) (單側(cè)檢驗(yàn))Sb為回歸系數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤 ;自由度為n-2 (二)一元回歸的t檢驗(yàn) H0 : = 0對(duì)例9.1中的作t-檢驗(yàn):H0: =0查表,t0.01(7) = 3.499 t,差異極顯著,應(yīng)拒絕H0,即 0,或X與Y有著極顯著的線性關(guān)系。對(duì)例9.1中的作t-檢驗(yàn):H0: =0查表,t0.01
14、((三)兩個(gè)回歸系數(shù)比較時(shí)的假設(shè)測(cè)驗(yàn) H0: 對(duì) HA: (三)兩個(gè)回歸系數(shù)比較時(shí)的假設(shè)測(cè)驗(yàn)例 測(cè)定兩玉米品種葉片長(zhǎng)寬乘積(x)和實(shí)際葉面積(y)的關(guān)系,得表9.4結(jié)果,試測(cè)驗(yàn)兩回歸系數(shù)間是否有顯著差異。表9.4 玉米葉片長(zhǎng)寬乘積和葉面積關(guān)系的計(jì)算結(jié)果 由表9.4可得:品 種nSSxSSySPbQ七葉白2213518246585139424830.697181420石榴子1810708225168637436520.69447 420例 測(cè)定兩玉米品種葉片長(zhǎng)寬乘積(x)和實(shí)際葉面積(y) 這一結(jié)果是完全不顯著的,所以應(yīng)接受H0: 即認(rèn)為葉片長(zhǎng)寬乘積每增大1cm2,葉面積平均要增大的單位數(shù)在七葉
15、白和石榴子兩品種上是一致的,其共同值為: (四)直線回歸的區(qū)間估計(jì) 1直線回歸的抽樣誤差在直線回歸總體 中抽取若干個(gè)樣本時(shí),由于 、各樣本的a、b 值都有誤差。因此,由 =a+bx給出的點(diǎn)估計(jì)的精確性,決定于 和a、b的誤差大小。比較科學(xué)的方法應(yīng)是考慮到誤差的大小和坐標(biāo)點(diǎn)的離散程度,給出一個(gè)區(qū)間估計(jì),即給出對(duì)其總體的 、 、 等的置信區(qū)間。 (四)直線回歸的區(qū)間估計(jì) 2回歸截距的置信區(qū)間 樣本回歸截距a ,而 和b的誤差方差分別為: 。故根據(jù)誤差合成原理,a的標(biāo)準(zhǔn)誤為:由 是遵循 的t 分布的。總 體 回歸截距有95可靠度的置信區(qū)間為: L1=a-t 0.05 ,L2=a+t0.05 2回歸截
16、距的置信區(qū)間 3回歸系數(shù)的置信區(qū)間 可推得總體回歸系數(shù) 的95%可靠度的置信區(qū)間為:L1=b-t 0.05 ,L2=b+t 0.05 4條件總體平均數(shù) 的置信區(qū)間 由 ,故 的標(biāo)準(zhǔn)誤為:條件總體平均數(shù) 的95%置信區(qū)間為: L1= -t 0.05 ,L2= +t0.05 3回歸系數(shù)的置信區(qū)間 5條件總體觀察值Y 的預(yù)測(cè)區(qū)間 yi= +ei, 5條件總體觀察值Y 的預(yù)測(cè)區(qū)間 保證概率為0.95的Y 的預(yù)測(cè)區(qū)間為: L1= -t0.05 ,L2= +t0.05 (923) 6置信區(qū)間和預(yù)測(cè)區(qū)間的圖示 首先取若干個(gè)等距的x 值(x 取值愈密,作圖愈準(zhǔn)確),算得與其相應(yīng)的 、 、 和 、 的值;然后再
17、由 和 算得各x上的L1和L2,并標(biāo)于圖上;最后將各個(gè)L1和L2分別連成曲線即可。 保證概率為0.95的Y 的預(yù)測(cè)區(qū)間為: 例9.10 試制作例9.1資料的y估計(jì)值包括和y在內(nèi)有95%可靠度的置信區(qū)間圖。表9.6 例9.1資料的置信區(qū)間和y的預(yù)測(cè)區(qū)間的計(jì)算(2)(3)(4)(6)(7)(8),(1)x的95置信區(qū)間計(jì)算y的95預(yù)測(cè)區(qū)間計(jì)算(5)L1,L23032343637384042444615.613.411.29.07.96.84.62.40.2-2.02.211.751.371.131.091.121.351.722.172.665.24.13.22.72.62.63.24.15.16
18、.310.4,9.3,8.0,6.3,5.3,4.2,1.4,-1.7,-4.9,-8.3,20.817.514.411.710.59.47.86.55.34.33.952.723.533.463.433.463.533.693.924.219.38.88.38.28.18.28.38.79.39.96.3,4.6,2.9,0.8,-0.2,-1.4,-3.7,-6.3,-9.1,-11.9,24.922.219.517.216.015.012.911.19.57.9 例9.10 試制作例9.1資料的y估計(jì)值包括和y在內(nèi) 一代三化螟盛發(fā)期估計(jì)及其 95%置信限 畫(huà)出 的圖像,依次標(biāo)出(x,L1
19、)和(x,L2)坐標(biāo)點(diǎn),再連接各(x,L1)得 線,連接各(x,L2)得 線。 和 所夾的區(qū)間即包括 在內(nèi)有95可靠度的置信區(qū)間。 稱(x, )的連線 ,(x, )的連線 。其所夾的區(qū)間即為y的95的預(yù)測(cè)區(qū)間或預(yù)測(cè)帶。 3月下至4月中旬平均溫度累積值 例9.1資料的y 估計(jì)值及其95%置信帶cDABEFGH 第三節(jié) 直線相關(guān) 直線相關(guān)分析是根據(jù)x、y的實(shí)際觀測(cè)值,計(jì)算表示兩個(gè)相關(guān)變量x、y間線性相關(guān)程度和性質(zhì)的統(tǒng)計(jì)量相關(guān)系數(shù)r并進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)。第三節(jié) 直線相關(guān) 直線相關(guān)分析是根據(jù)x、y的實(shí)際一、相關(guān)系數(shù)例:(1)X 7 7 1 6 5 3 8 9 3 1 1 總和50 Y 5 9 6 1 3
20、1 9 4 6 6 6 總和52 (2)X 9 8 7 9 6 5 3 3 1 1 總和50 Y 9 9 8 6 6 5 4 3 1 1 總和52 (3)X 1 1 3 3 5 6 7 1 8 9 總和50 Y 9 9 8 6 6 5 4 3 1 1 總和52可見(jiàn):(1)X、Y關(guān)系紊亂 (2)X減小、Y也減小 (3)X增大、Y減小一、相關(guān)系數(shù)例:(1)X 7 7 1 6 5 作散點(diǎn)圖,如果以X和Y的平均數(shù)作坐標(biāo)原點(diǎn),將原散點(diǎn)圖劃分為四個(gè)象限,則:各點(diǎn)均勻分布 0(如(1);落在2、4象限則小于0負(fù)相關(guān)(如(3);落在1、3象限則大于0正相關(guān)。為消除變異程度(n-1)和單位的影響,需除以標(biāo)準(zhǔn)差。
21、作散點(diǎn)圖,如果以X和Y的平均數(shù)作坐標(biāo)原點(diǎn),將原散點(diǎn)圖劃分為四(X,Y )總體沒(méi)有相關(guān),則落在象限、的點(diǎn)是均勻分散的,因而正負(fù)相消, = 0。 直線回歸與相關(guān)課件當(dāng)(X,Y )總體呈正相關(guān)時(shí),落在象限、的點(diǎn)一定比落在象限、的多,故 一定為正;同時(shí)落在象限、的點(diǎn)所占的比率愈大,此正值也愈大。 直線回歸與相關(guān)課件當(dāng)(X,Y )總體呈負(fù)相關(guān)時(shí),則落在象限、的點(diǎn)一定比落在象限、的為多,故 一定為負(fù);且落在象限、的點(diǎn)所占的比率愈大,此負(fù)值的絕對(duì)值也愈大。 直線回歸與相關(guān)課件性質(zhì): 。當(dāng) 時(shí),SSe = 0,即用可以準(zhǔn)確預(yù)測(cè)y值。當(dāng)r = 0時(shí),SSe = SSy,回歸無(wú)作用,即用X的線性函數(shù)完全不能預(yù)測(cè)Y
22、的變化。但X與Y間還可能存在著非線性關(guān)系。當(dāng) 時(shí),X的線性函數(shù)對(duì)預(yù)測(cè)Y的變化有一定作用,但不能準(zhǔn)確預(yù)測(cè),這說(shuō)明Y還受其他一些因素,包括隨機(jī)誤差的影響。直線回歸與相關(guān)課件二、決定系數(shù)和相關(guān)系數(shù) 即:y與x直線回歸效果的好壞取決于回歸平方和在y的總平方和中所占的比例的大小。 r2為 x 對(duì) y 的決定系數(shù),表示了回歸方程估測(cè)可靠程度的高低。 二、決定系數(shù)和相關(guān)系數(shù) r決定系數(shù)和相關(guān)系數(shù)的區(qū)別在于:除掉r=1和0的情況外,r2總是小于r。這就可以防止對(duì)相關(guān)系數(shù)所表示的相關(guān)程度作夸張的解釋。例如:r=0.5,只是說(shuō)明由x的不同而引起的y變異平方和僅占y總變異(或x總變異)平方和的r2=0.25,即25
23、%,而不是50%。r是可正可負(fù)的,而r2則一律取正值,其取值區(qū)間為0,1。因此,在相關(guān)分析中將兩者結(jié)合起來(lái)是可取的,即由r的正或負(fù)表示相關(guān)的性質(zhì),由r2的大小表示相關(guān)的程度。決定系數(shù)和相關(guān)系數(shù)的區(qū)別在于:相關(guān)系數(shù)和決定系數(shù)的計(jì)算例9.11 試計(jì)算例9.1資料3月下旬至4月中旬積溫和一代三化螟盛發(fā)期的相關(guān)系數(shù)和決定系數(shù)。 解:SSx=144.6356,SSy=249.5556,SPxy=-159.0444 r=-159.0444/(144.6356249.5556)1/2=-0.8371 r2=(-159.0444)2/144.6356249.5556=0.7008 以上結(jié)果表明,一代三化螟盛發(fā)
24、期與3月下旬至4月中旬的積溫成負(fù)相關(guān),即積溫愈高,一代三化螟盛發(fā)期愈早。在一代三化螟盛發(fā)期的變異中有70.08%是由3月下旬至4月中旬的積溫不同造成的。 相關(guān)系數(shù)和決定系數(shù)的計(jì)算例9.11 試計(jì)算例9.1資料3三、相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗(yàn) (一)查表法: 例9.1,查相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)表(附表12),可得:剩余自由度為7,獨(dú)立自變量為1; r0.05=0.666, r0.01=0.798 0.8371, 差異為極顯著。三、相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗(yàn) (一)查表法:(二)t-檢驗(yàn) 當(dāng)總體相關(guān)系數(shù)= 0時(shí),r的分布近似于正態(tài)分布。 t = b/Sb b=SPxy/SSx (二)t-檢驗(yàn)對(duì)例9.1進(jìn)行相關(guān)顯著性檢驗(yàn)
25、查表,t0.01(7) = 3.499 t, 差異極顯著,即X與Y有極顯著的線性關(guān)系。對(duì)例9.1進(jìn)行相關(guān)顯著性檢驗(yàn)(1) 回歸和相關(guān)分析要有學(xué)科專(zhuān)業(yè)知識(shí)作指導(dǎo),回歸和相關(guān)分析只是作為一種工具。(2) 要嚴(yán)格控制研究對(duì)象(X和Y)以外的有關(guān)因素,使之保持穩(wěn)定一致。如身高與胸圍。(3) 直線回歸和相關(guān)不顯著,并不意味著X和Y沒(méi)有關(guān)系,只說(shuō)明沒(méi)有顯著的線性關(guān)系,不能排除存在曲線關(guān)系的可能性。第四節(jié) 直線回歸與相關(guān)的應(yīng)用要點(diǎn)(1) 回歸和相關(guān)分析要有學(xué)科專(zhuān)業(yè)知識(shí)作指導(dǎo),回歸和相關(guān)分析(4)需限制自變量的范圍,結(jié)論不能外推。(5) 一個(gè)顯著的相關(guān)或回歸并不一定具有實(shí)踐上的預(yù)測(cè)意義。 例如,當(dāng)v=50 時(shí)
26、,r=0.273即顯著,但這表明X和Y可用線性關(guān)系說(shuō)明的部分僅占總變異的7.4%,顯然由X預(yù)測(cè)Y并不可靠。一般,當(dāng)需要由X預(yù)測(cè)Y時(shí),r必須在0.7以上,此時(shí)Y的變異將有49%以上可以為X的變異說(shuō)明。(4)需限制自變量的范圍,結(jié)論不能外推。(6)為了提高分析的準(zhǔn)確度,n要盡可能大一些,至少應(yīng)有5對(duì)以上。同時(shí),X變數(shù)的取值范圍盡可能寬些,一方面可降低回歸方程的誤差,另一方面也能及時(shí)發(fā)現(xiàn)X和Y間可能存在的曲線關(guān)系。(6)為了提高分析的準(zhǔn)確度,n要盡可能大一些,至少應(yīng)有5對(duì)第五節(jié) 協(xié)方差分析一、協(xié)方差分析的意義和功用二、單向分組資料的協(xié)方差分析三、兩向分組資料的協(xié)方差分析第五節(jié) 協(xié)方差分析一、協(xié)方差分
27、析的意義和功用一、協(xié)方差分析的意義和功用(一) 協(xié)方差分析的意義協(xié)方差(covariance)是兩個(gè)變數(shù)的互變異數(shù)。對(duì)于一個(gè)具有N 對(duì)(X,Y )的有限總體,定義為: (945)一、協(xié)方差分析的意義和功用(945)對(duì)于由n 對(duì)(x,y )組成的樣本,定義: 樣本協(xié)方差是乘積和與自由度的商,即平均的乘積和。又稱為均積(mean products)或協(xié)方(MP),是總體協(xié)方差 cov 的估值。協(xié)方差分析(analysis of covariance)是將回歸分析和方差分析綜合起來(lái)的一種統(tǒng)計(jì)方法。 (946)對(duì)于由n 對(duì)(x,y )組成的樣本,定義:(946)(二) 協(xié)方差分析的功用1. 當(dāng)(x,y
28、)為因果關(guān)系時(shí),利用 y 依 x 的回歸系數(shù)矯正y變數(shù)的處理平均數(shù),提高精確度。2. 當(dāng)(x,y)為相關(guān)關(guān)系時(shí),可通過(guò)估計(jì)不同變異來(lái)源的總體方差和協(xié)方差,作出相應(yīng)的相關(guān)分析。二、單向分組資料的協(xié)方差分析(一) 資料模式與線性組成(二) 協(xié)方差分析的功用設(shè)有k 組回歸樣本,每組各有n 對(duì)觀察值,則該資料共有kn 對(duì)數(shù)據(jù),其模式如表9.8。組 別觀察值總和平均1x11x12x13x1ny11y12y13y1n2x21x22x23x2ny21y22y23y2nk設(shè)有k 組回歸樣本,每組各有n 對(duì)觀察值,則該資料共有kn 單向分組資料協(xié)方差分析的樣本線性組成為: (947A)將(947A)移項(xiàng)得: (
29、947B) 和 (947C)單向分組資料協(xié)方差分析的樣本線性組成為: (二) 乘積和和自由度的分解 上式中和的 i=1,2,3,k。其中: (949)(948)(二) 乘積和和自由度的分解(949)(948)如果各組的n不等,分別為n1、n2、nk,其和為,則 其相應(yīng)自由度為 、 、 。(950)如果各組的n不等,分別為n1、n2、nk,其和為,則(9(三) 回歸關(guān)系的協(xié)方差分析協(xié)方差分析解決問(wèn)題的步驟如下:(1)列出處理間、處理內(nèi)和總變異的DF、SSx、SSy和SP。(2)測(cè)驗(yàn)x 和y 是否存在直線回歸關(guān)系。(3)測(cè)驗(yàn)矯正平均數(shù)間的差異顯著性。(4) 如果所得F 為不顯著,表明處理間無(wú)顯著差
30、異;如果F 為顯著,則必須算出各個(gè)矯正平均數(shù),進(jìn)行多重比較,作出相應(yīng)推斷。 (三) 回歸關(guān)系的協(xié)方差分析【例10.1】 為了尋找一種較好的哺乳仔豬食欲增進(jìn)劑,以增進(jìn)食欲,提高斷奶重,對(duì)哺乳仔豬做了以下試驗(yàn): 試驗(yàn)設(shè)對(duì)照、配方1、配方2、配方3共四個(gè)處理,重復(fù)12 次,選擇初始條件盡量相近的長(zhǎng)白種母豬的哺乳仔豬48頭 ,完全隨機(jī)分為4組進(jìn)行試驗(yàn),結(jié)果見(jiàn)表10-2,試作分析。 【例10.1】 為了尋找一種較好的哺乳仔豬食欲增進(jìn)劑,以增 表102 不同食欲增進(jìn)劑仔豬生長(zhǎng)情況表 (單位:kg) 表102 不同食欲增進(jìn)劑仔豬 此例, =18.25+15.40+15.65+13.85=63.15 =141
31、.80+130.10+144.80+133.80 =550.50 k=4,n=12,kn=412=48 此例, 協(xié)方差分析的計(jì)算步驟如下: (一)求x變量的各項(xiàng)平方和與自由度 1、總平方和與自由度 dfT(x)=kn-1=412-1=47 協(xié)方差分析的計(jì)算步驟如下:2、處理間平方和與自由度 =k-1=4-1=32、處理間平方和與自由度=k-1=4-1=3 3、處理內(nèi)平方和與自由度 (二)求y變量各項(xiàng)平方和與自由度 1、總平方和與自由度下一張 主 頁(yè) 退 出 上一張 3、處理內(nèi)平方和與自由度下一張 主 頁(yè) 退 2、處理間平方和與自由度 3、處理內(nèi)平方和與自由度 (三) 求x和y兩變量的各項(xiàng)離均差
32、乘積和與自由度 1、總乘積和與自由度 2、處理間平方和與自由度 =kn-1=412-1=47 2、處理間乘積和與自由度 =1.64下一張 主 頁(yè) 退 出 上一張 下一張 主 頁(yè) 退 出 上一張 =k-1=4-1=3 3、處理內(nèi)乘積和與自由度 平方和、乘積和與自由度的計(jì)算結(jié)果列于表103。 表103 x與y的平方和與乘積和表 =k-1=4-1=3 (四) 對(duì)x和y各作方差分析(表104) 表104 初生重與50日齡重的方差分析表下一張 主 頁(yè) 退 出 上一張 (四) 對(duì)x和y各作方差分析(表104)下 結(jié)果表明,4種處理的供試仔豬平均初生重間存在著極顯著的差異,其50 日齡平均重差異不顯著。 須
33、進(jìn)行協(xié)方差分析,以消除初生重不同對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的影響,減小試驗(yàn)誤差,揭示出可能被掩蓋的處理間差異的顯著性。 (五) 協(xié)方差分析 下一張 主 頁(yè) 退 出 上一張 結(jié)果表明,4種處理的供試仔豬平均初生重間存在著極 1、誤差項(xiàng)回歸關(guān)系的分析 誤差項(xiàng)回歸關(guān)系分析的意義是要從剔除處理間差異的影響的誤差變異中找出50日齡重(y)與初生重(x)之間是否存在線性回歸關(guān)系。 計(jì)算出誤差項(xiàng)的回歸系數(shù)并對(duì)線性回歸關(guān)系進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)。 若顯著則說(shuō)明兩者間存在回歸關(guān)系,可應(yīng)用線性回歸關(guān)系來(lái)校正y值(50日齡重)以消去仔豬初生重(x)不同對(duì)它的影響。根據(jù)校正后的y值(校正50日齡重)來(lái)進(jìn)行方差分析。如線性回歸關(guān)系不顯著,則無(wú)
34、需繼續(xù)進(jìn)行分析。 1、誤差項(xiàng)回歸關(guān)系的分析 回歸分析的步驟如下: (1) 計(jì)算誤差項(xiàng)回歸系數(shù),回歸平方和,離回歸平方和與相應(yīng)的自由度 從誤差項(xiàng)的平方和與乘積和求誤差項(xiàng)回歸系數(shù): (10-10) 誤差項(xiàng)回歸平方和與自由度 (10-11) dfR(e)=1下一張 主 頁(yè) 退 出 上一張 回歸分析的步驟如下:下一張 主 頁(yè) 退 誤差項(xiàng)離回歸平方和與自由度 =85.08-47.49=37.59 (10-12) (2) 檢驗(yàn)回歸關(guān)系的顯著性(表105) 表105 哺乳仔豬50日齡重與初生重的 回歸關(guān)系顯著性檢驗(yàn)表 誤差項(xiàng)離回歸平方和與自由度 F檢驗(yàn)表明,誤差項(xiàng)回歸關(guān)系極顯著,表明哺乳仔豬50 日齡重與初
35、生重間存在極顯著的線性回歸關(guān)系。因此,可以利用線性回歸關(guān)系來(lái)校正y,并對(duì)校正后的y進(jìn)行方差分析。 2、對(duì)校正后的50日齡重作方差分析 (1)求校正后的50日齡重的各項(xiàng)平方和及自由度 利用線性回歸關(guān)系對(duì)50日齡重作校正 ,并由校正后的50日齡重計(jì)算各項(xiàng)平方和是相當(dāng) 麻煩的,統(tǒng)計(jì)學(xué)已證明,校正后的總平方和、誤差平方和及自由度等于其相應(yīng)變異項(xiàng)的離回歸平方和及自由度,因此,其各項(xiàng)平方和及自由度可直接由下述公式計(jì)算。 下一張 主 頁(yè) 退 出 上一張 F檢驗(yàn)表明,誤差項(xiàng)回歸關(guān)系極顯著,表明哺乳仔豬5 校正50日齡重的總平方和與自由度,即總離回歸平方和與自由度 (10-13) = - =47-1=46 校正
36、50日齡重的誤差項(xiàng)平方和與自由度,即誤差離回歸平方和與自由度 (10-14) = - =44-1=43 上述回歸自由度均為1,因僅有一個(gè)自變量x。 校正50日齡重的總平方和與自由度,即總離回歸 校正50日齡重的處理間平方和與自由度 =57.87-37.59=20.28 (10-15) =k-1=4-1=3 (2) 列出協(xié)方差分析表,對(duì)校正后的50日齡重進(jìn)行方差分析(表106) 查F值: =4.275(由線性內(nèi)插法計(jì)算),由于F=7.63 ,P0.01,表明對(duì)于校正后的50日齡重不同食欲添加劑配方間存在極顯著的差異。故須進(jìn)一步檢驗(yàn)不同處理間的差異顯著性,即進(jìn)行多重比較。 下一張 主 頁(yè) 退 出
37、上一張 校正50日齡重的處理間平方和與自由度下一張 表106 表10-2資料的協(xié)方差分析表SPxybSSy 表106 表10-2資料的協(xié)方差分析表SPx 3、根據(jù)線性回歸關(guān)系計(jì)算各處理的校正50日齡平均重 誤差項(xiàng)的回歸系數(shù) 表示初生重對(duì)50日齡重影響的性質(zhì)和程度,且不包含處理間差異的影響,于是可用 根據(jù)平均初生重的不同來(lái)校正每一處理的50日齡平均重。校正50日齡平均重計(jì)算公式如下: (10-16) 下一張 主 頁(yè) 退 出 上一張 3、根據(jù)線性回歸關(guān)系計(jì)算各處理的校正50日齡平均 公式中: 為第i處理校正50日齡平均重; 為第i處理實(shí)際50日齡平均重(見(jiàn)表102); 為第i處理實(shí)際平均初生重(見(jiàn)
38、表102); 為全試驗(yàn)的平均數(shù), 為誤差回歸系數(shù), =7.1848 將所需要的各數(shù)值代入(1016)式中,即可計(jì)算出各處理的校正50日齡平均重(見(jiàn)表 107)。 公式中: 表107 各處理的校正50日齡平均重計(jì)算表 下一張 主 頁(yè) 退 出 上一張 表107 各處理的校正50日齡平均重計(jì)算表 下一張 主 (10-19) 公式中SSt(x)為x變量的處理間平方和。 然后按誤差自由度查臨界t值,計(jì)算出最小顯著差數(shù): (10-20) 4、各處理校正50日齡平均重間的多重比較(1)最小顯著差數(shù)法 由 =43,查臨界t值得: t0.05(43)=2.017,t0.01(43)=2.70于是 LSD0.05
39、=2.0170.4353=0.878 LSD0.01 =2.700.4353 =1.175下一張 主 頁(yè) 退 出 上一張 下一張 主 頁(yè) 退 出 上一張 不同食欲添加劑配方與對(duì)照校正50日齡平均重比較結(jié)果見(jiàn)表108。 表108 不同食欲添加劑配方與對(duì)照間的 效果比較表 不同食欲添加劑配方與對(duì)照校正50日齡平均重比較結(jié) 多重比較結(jié)果表明: 食欲添加劑配方1、2、3號(hào)與對(duì)照比較, 其校正50 日齡平均重間均存在極 顯 著的差異,這 里 表 現(xiàn) 為 配 方1、2、3號(hào)的校正50日齡平均重均極顯著高于對(duì)照。 多重比較結(jié)果表明: (2) 最小顯著極差法 (10-21) (10-22)下一張 主 頁(yè) 退
40、出 上一張 (2) 最小顯著極差法 下一張 主 頁(yè) =0.8742, n=12,SSt(x)=0.83, SSe(x)=0.92,k=4,代入(1021)式可計(jì)算得: SSR值與LSR值見(jiàn)表109。 下一張 主 頁(yè) 退 出 上一張 此時(shí) =0.87表109 SSR值與LSR值表下一張 主 頁(yè) 退 出 上一張 表109 SSR值與LSR值表下一張 主 頁(yè) 退 各處理校正50日齡平均重多重比較結(jié)果見(jiàn)表1010。 表1010 各處理校正50日齡平均重 多重比較表(SSR法) 下一張 主 頁(yè) 退 出 上一張 各處理校正50日齡平均重多重比較結(jié)果見(jiàn)表10 多重比較結(jié)果表明: 食欲添加劑配方3、2、1號(hào)的
41、哺乳仔豬校正 5 0 日齡平均重極顯著高于對(duì)照 ,不同食欲添加劑配方間哺乳仔豬校正50日齡平均重差異不顯著。 下一張 主 頁(yè) 退 出 上一張 下一張 主 頁(yè) 退 出 上一張 (四) 相關(guān)關(guān)系資料的協(xié)方差分析相關(guān)關(guān)系資料的協(xié)方差分析主要討論兩個(gè)互有聯(lián)系的總體的相關(guān)問(wèn)題。例9.16 為研究小麥品種經(jīng)濟(jì)性狀的數(shù)量遺傳,隨機(jī)抽取90個(gè)品種,在田間每品種皆種成4個(gè)小區(qū)(每小區(qū)1行),共904=360個(gè)小區(qū),完全隨機(jī)排列。得到小穗數(shù)(x )和百粒重(y )的方差和協(xié)方差分析結(jié)果于表9.13。 (四) 相關(guān)關(guān)系資料的協(xié)方差分析表9.13 90個(gè)小麥品種的小穗數(shù)(x)和百粒重(y)的方差分析與協(xié)方差分析 +4
42、變異來(lái)源DFx的方差分析y的方差分析(x,y)的協(xié)方差分析SSMSEMSSSMSEMSSPMPEMP品種間 89597.996.719087.82510.9868-127.426-1.4322品種內(nèi)270108.810.4030 8.31610.03089.9610.0369總變異359706.8096.1412-117.501+4變異來(lái)源DFx的方差分析y的方差分析(x,y)的協(xié)方差分表9.13中,x和y兩者的方差分析按單因素方差分析的方法作出;(x,y )的SP 則由(949)求出。將各SP除以相應(yīng)的DF,即得平均的乘積和,即MP。期望協(xié)方EMP的分量和隨機(jī)模型的EMS 相同,僅是以協(xié)方差
43、符號(hào)cov代替 。這是處理(品種)效應(yīng) 為隨機(jī)型的資料,目的不是研究特定的品種,而是研究抽出這些品種的小麥總體,因而需估計(jì)有關(guān)總體參數(shù)。由表9.13中的MS 和EMS 的關(guān)系可得:表9.13中,x和y兩者的方差分析按單因素方差分析的方法作出 由表9.13中MP 和EMP 的關(guān)系得:因此,小穗數(shù)和百粒重的環(huán)境相關(guān)系數(shù)re為: 因此,小穗數(shù)和百粒重的環(huán)境相關(guān)系數(shù)re為: 品種(基因型)相關(guān)系數(shù)rg為: 以上re所對(duì)應(yīng)的自由度是k(n-1)-1=269,為極顯 著;rg的假設(shè)測(cè)驗(yàn)比較復(fù)雜,其簡(jiǎn)單近似是具自由 度k-2=88,亦為極顯著。 根據(jù)以上方差和協(xié)方差分量,還能估計(jì)出小穗數(shù)和 百粒重的表型相關(guān)
44、rp可估計(jì)為: 品種(基因型)相關(guān)系數(shù)rg為: 以上re所對(duì)應(yīng)的自由度是k 三、兩向分組資料的協(xié)方差分析 (一) 資料模式與線性組成 若資料有m類(lèi)k組,則mk對(duì)觀察值按兩向分類(lèi),其模式如表9.14。表9.14 兩向分組的兩個(gè)變數(shù)的符號(hào)三、兩向分組資料的協(xié)方差分析 樣本線性組成為: (954A)移項(xiàng)后可得: (954B) 和 (954C) 樣本線性組成為:(二) 乘積和和自由度的分解 表9.14的總SP 可分解為類(lèi)間、組間和誤差三部分,其值為: (955)(二) 乘積和和自由度的分解(三)協(xié)方差分析兩向分組資料的協(xié)方差分析和單向分組資料并無(wú)原則上的不同,只是多了一個(gè)方向的變異來(lái)源。例9.17 表
45、9.15是研究施肥期和施肥量對(duì)雜交水稻南優(yōu)3號(hào)結(jié)實(shí)率影響的部分結(jié)果,共14個(gè)處理,2個(gè)區(qū)組,隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)。由于在試驗(yàn)過(guò)程中發(fā)現(xiàn)單位面積上的穎花數(shù)對(duì)結(jié)實(shí)率似有明顯的回歸關(guān)系,因此將穎花數(shù)(x,萬(wàn)/m2)和結(jié)實(shí)率(y,%)一起測(cè)定。該試驗(yàn)的處理效應(yīng)為固定型,故按因果關(guān)系資料回歸模型作協(xié)方差分析。 (三)協(xié)方差分析表9.15 南優(yōu)3號(hào)的穎花數(shù)(x)和結(jié)實(shí)率(y)資料 處理區(qū) 組TiIIIxyxyxy12345678910111213144.594.093.943.903.453.483.393.143.344.124.123.843.963.03586564667171717269616367647
46、54.324.114.113.573.793.383.033.243.044.764.753.604.503.01 61 62 64 69 67 72 74 69 69 54 56 62 60 718.918.208.057.477.246.866.426.386.388.888.877.448.466.041191271281351381431451411381151191291241464.4554.1004.0253.7353.6203.4303.2103.1903.1904.4404.4353.7204.2303.02059.563.564.067.569.071.572.570.56
47、9.057.559.564.562.073.064.7666.0365.9567.2267.8468.8768.1866.0264.5362.6464.6064.1065.5367.22Tr52.3993753.21910105.60 1847處理區(qū) 組TiIIIxyxyxy14.595 首先用兩向分組資料的通常方法算得表9.15資料的各項(xiàng)平方和于表9.16,乘積和則由以下各式算出:SPT=(4.5958)+(4.0965)+(3.0171) = - 73.60SPR=SPt= 首先用兩向分組資料的通常方法算得表9.15資料的各項(xiàng)平方和 SPe= - 73.60 - (- 0.79) - (- 66.37)= - 6.44 表9.16 表9.15資料的平方和和乘積和 變 異 來(lái) 源SSxSSySP總 變 異7.7344802.96-73.60區(qū) 組 間0.024026.03-0.79處 理 間6.8732694.46-66.37誤 差0.837282.47-6.44 有了上述結(jié)果,就可先對(duì)x 和y 變數(shù)各作一方差分 析,見(jiàn)表9.17。 SPe= - 7
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