線性代數(shù)第二版

1、線性代數(shù)第二版習(xí)題四 答案 1. 1 設(shè) a1 b1 3 a2 b2 3 K1 ，且 a2 b2 不全為零，則 a1 b1 3 a1a2 3b1b2 a2b1 a1b2 a a 3b1b2 a b ab 2 2 3 不一定屬于 K1 ，因?yàn)?1 2 ， 2 21 1 22 不一定 a2 b2 3 a2 3b2 2 a2 3b2 2 a2 3b1 2 2 a2 3b1 為整數(shù)，所以 K1 不是數(shù)域.2.2 設(shè) a1 b1i a2 b2i F2 ，則 a1 b1i a2 b2i 的和、差、積仍為 F2 中的數(shù)，當(dāng)a2 b2不全為零 a1 b1i a1a2 b1b2a2b1 a1b2 時(shí)， 2 i，

2、由于a1 a2 b1 和 b2 皆為有理數(shù)，且 a2b2 不全為零，則a2 b2i a2 2 b2 2 a2 b2 2a1a2 b1b2 a b1 a b abi ， 2 2 1 2 2 也為有理數(shù)，故11 也屬于F2 ， a2 b2 2 2a2 b2 a2 b2i 即 F2是數(shù)域 . x1 0 x1 0 x13.3 當(dāng) x2 0時(shí)，按數(shù)乘定義， 1 x2 0 x2，所以不構(gòu)成線性空間 . x 0 x 0 x 3 334.1 x x1 x2 x3 W1 ， y y1 y2 y3 W1，有 x kyW1 ，所以 W1 是子空間； 2 x 111 W2，而 x W2，所以 W2 不是子空間； 3

3、x 111 W3 ，而 x W3 ，所以 W3不是子空間； 4 x x1 x2 x3 W4 ， y y1 y2 y3 W4 ，有 xky W4 ，所以W4 是子空間； 5 x 1 01W5 ，而 xW5 ，所以 W5 不是子空間；6 x 111 W6 ，而 x W6，所以 W6 不是子空間 .5.1 f x，0而 f x 0，所以 U1不是子空間； 2 設(shè) f U 2 ， g U 2 ，則 f 1 f 2 0， g 1g 2 0 ， f kg 1 f kg 2 f 1 f 2 k g 1 g 2 0，所以 f kg U 2，即 U 2 是子空間；3 設(shè) f U 3 ， gU 3 ，則 f 0

4、f 1 0，g 0 g 1 0 ，而 f g 0 f g 1 f 0 g 0 f 1 g 1 1習(xí)題四 答案 f 0 f 1g 0 g 1 f 0 g 1 g 0 f 1 f 0 g 1 g 0 f 1，不一定為零，所以U 3不是子空間； 4 f 1 f 2 1 0 ，而 f 1 f 1 f 1 f 2 1，不一定為零，2 所以 U 4 不是子空間； 5 設(shè) f U 5 ， g U 5，則 fx f x ， g x g x， f kg x f x kg x f x kg x f kg x，所以 f kgU5 ，即 U5是子空間； 6 設(shè) f U 6 ， g U 6 ，則f x f x 2 0

5、， g x g x 2 0 ， f kg x f kg x 2 f x kg x f x 2 kg x 2f x f x 2 k g x g x 2 0 所以 f kg U 6 ，即 U 6 是子空間 . 100010001000000設(shè)11 00 0，6.12 0 0 0，13000 ， 22010 ， 23001 ， 000000000000000 0 0 0 33 0 0，0 則 若 有 k1 11 k2 12 k3 13 k4 22 k5 23 k6 33 ，0必 有 0 0 1k1 k2 k3 k4 k5 k6 0， 即 11 1213 22 23線 性 33無(wú) 關(guān) ，又 任 一 a

6、 b c de M33 ，可表示為 a 11 b 12 c 13 d 22 e ，因23此，f該子空間維f 數(shù)為6，且11 12 13 22 為23一組 3333基. 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 02 設(shè) 11 0 0 0 ，12 1 0 0，13 0 0 0 ， 22 0 1 0， 23 0 0 1， 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 00 0 33 0 0 0，則若有 k1 11 k2 12 k3 13 k4 22 k5 23 k633 0 ，必有 0 0 1 2 習(xí)題四 答案 k1 k2 k3 k4 k5 k6 0， a bc 即 1

7、1 12 13 22 線性23無(wú)關(guān)，33又任一 b d eM 33 ，可表示為 c e f a 11 b 12 c 13 d 22，e 23 f因此，該子空間維數(shù)為6，且 11 12 13 22 為23 33一組基.0100010003設(shè) 12 1 0 0，13 0 0 0 ， 23 0 0，則若有 k1 12 k2 13 k3 ，23 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 a b 必有 k1 k2 k3 0 ，即 12 13 線23性無(wú)關(guān)，又任一 a 0 c M 33，可表示為 b c 0 a 12 b 13，c因此23，該子空間維數(shù)為3，且 12 13為23一組基 .7. 首先將系數(shù)矩陣

8、化為規(guī)范階梯矩陣， 2111310014AB1110101115選 x3 x4 x5 為 自 由 未 知 量 ， 分 別 取 x3 1 x4 0 x50， x3 0 x4 1 x5 0 和 x30 x4 0 x5 1 ，得基礎(chǔ)解系014115 1 1， 2 0， 3 0 0 1 0 0 0 1所以解空間的維數(shù)為3， 1 2 為3一組基 .8.設(shè) aij 22bij 2 2 屬于該集合，則aij 2 2k bij 22 也屬于該集合，即該集合是M22 的子空 10010 0 間；設(shè) 11， 12， 21，則若有k1 11 k2 12 k3 210 ，必有 0 1 0 1 1 1 a bk1 k2

9、 k3 0 ， 即 11 12 線21性無(wú) 關(guān) ， 又 任 一 2 2 M ， 可 表 示 為 c a b c a 11 b 1221c ，因此， 該子空間維數(shù)為3，且 11 12 21為一組基 . 3 習(xí)題四 答案 9.以 1 2 3 為4列作5矩陣，并對(duì)其作初等行變換：14031140311512001 1 11 A B 1 2 0 1 0 0 0 2 4 3 1 7 1 4 1 0 0 0 0 0由于 r A r B 3，且由 B 知，第 1，2，3列線性無(wú)關(guān)， 故子空間的維數(shù)為3，1 2 為一3組基 .10.因?yàn)?k1k3 0，即 k1 0 ，k3 0，于是由 k11 k2 2 k3

10、3 O 1 k2可k得1 2 3 ，3 k1 k1故 1 可由 2線3性表示 . 因此，1 可2由 2 3線性表示 .同樣由1 可知， 3 可由 1 2線性表示 . 因此，2可3由 1 線2性表示.即 1同22等價(jià)3，故 L 12 L2構(gòu)3.造11矩陣A 12 ，3對(duì)A作初等行變換， 將其化為規(guī)范的階梯形矩陣，即10111002A 0 1 2 3 初等行變換0 1 0 5 B r uuuuuuuuuuuuu 1 0 2 0 0 01 1顯然， 12是 3A的列向量組的一組基，且 在這組基下的坐標(biāo)為25 1 . T12 構(gòu)造矩陣A 1 2 3，4對(duì) A 作初等行變換， 將其化為規(guī)范的階梯形矩陣，即 5 1 0初等行變換r B 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 4 1 0 0 0 1 4 T 5 1 1 1 顯然， 1 2 3是 A 4的列向量組的一組基， 且 在這組基下的坐標(biāo)為 . 4 4 4 4 4 習(xí)題四 答案 13 1 由于 1 2 3 4 1 ，2即2 30 56 14 0C0 0 1 3 3 6 0 1 00C11210010101300011100020562056010013361336故C， 0010112111210001101310 1 3 x1 x 設(shè) 在 1 2 3下的坐4標(biāo)為 x ，已知 x1 1 x2 2 x3 3 x4