線性代數(shù)期末考試試卷+答案合集-大一期末線性代數(shù)試卷

1、大學(xué)生校園網(wǎng)VvSchool.CN線性代數(shù)綜合測(cè)試題大學(xué)生校園網(wǎng)VvSchool.CN線性代數(shù)綜合測(cè)試題共 共 3 頁(yè)第3頁(yè)大學(xué)線性代數(shù)期末考試題一、填空題（將正確答案填在題中橫線上。每小題 2 分，共 10 分）11. 若 05121x 0，則 。 2 x x 0123123若齊次線性方程組x x 0 只有零解，則應(yīng)滿足。 123x x x 0123已知矩陣A，B，C (c )，滿足AC CB，則A與B分別是階矩陣。ijsnaa11Aaaa3112 a的行向量組線性。22a32n 階方陣A滿足A2 3AE 0，則A1 。二、判斷正誤（2分，共10分）若行列式D 中每個(gè)元素都大于零，則D0（）

2、零向量一定可以表示成任意一組向量的線性組合（）向量組a 1，a2中，如果a a1對(duì)應(yīng)的分量成比例，則向量組a 1，a2線性相關(guān)。（）010010004. A 000，則A1 A（）0010105. 若為可逆矩陣A的特征值，則A1 的特征值為。 ()三、單項(xiàng)選擇題 (每小題僅有一個(gè)正確答案，將正確答案題號(hào)填入括號(hào)內(nèi)。每小題 2 分，共 10 分)設(shè)A為n階矩陣，且 2，則AT（。 2n 2n1 2n1 4n維向量組 1，2（3 s n）線性無(wú)關(guān)的充要條件是（。 1 1 1，2，2，2中任意兩個(gè)向量都線性無(wú)關(guān)中存在一個(gè)向量不能用其余向量線性表示中任一個(gè)向量都不能用其余向量線性表示 ， 12， 中不

3、含零向量s下列命題中正確的(。 任意nn1維向量線性相關(guān) 任意nn1維向量線性無(wú)關(guān) 任意n1個(gè)n維向量線性相關(guān) 任意n1個(gè)n維向量線性無(wú)關(guān)設(shè)A，B 均為n 階方陣，下面結(jié)論正確的( 若 A ， B 均可逆，則 A B 可逆 若 A B 可逆，則 A B 可逆 若A，B均可逆，則 A B可逆A B可逆，則 AB均可逆5. 若 ， ，A 0 是A 0 的（）12341234 解向量 基礎(chǔ)解系 通解 A的行向四、計(jì)算題 ( 每小題9分，共63分)x a a abx b bc cx ccd dd。x d解x abca ab bx a ab bx c c1dx dbxabcxabccdb bx c cd

4、x d1bcd1(x a b c d )x bcd(xabcd)0 x001bx cd00 x01bcx d000 xdxabcd x a b c bcdxbcd(xabcd)x3AB A2BA301110,01B 。解.(A2E)B A(A 2E)1 21 522 22，B (A2E)1 A 4111 223 1100 2134011100 2134011002130001 21且矩陣X(CB) E, 求。2021 1 a 21214. 問(wèn)a , a ,。1221321 a 22221 xx 3215. 為何值時(shí)，線性方程組x33x 23有唯一解，無(wú)解和有無(wú)窮多解？當(dāng)方程組有無(wú)窮多 12x

5、xx 2解時(shí)求其通解。123 當(dāng) 1且 2 時(shí)，方程組有唯一解；當(dāng) 2 時(shí)方程組無(wú)解2當(dāng) 1時(shí)，有無(wú)窮多組解，通解為 c 0 0 10 21 1 2 1 3 設(shè) 4, 9 , 0 , 10 . 求此向量組的秩和一個(gè)極大無(wú)關(guān)組11213347031031量用該極大無(wú)關(guān)組線性表示。100設(shè)A 010，求A 的特征值及對(duì)應(yīng)的特征向量。021五、證明題 (7 分)A 是n AA 證明 A I 0 I 為單位矩陣。大學(xué)生校園網(wǎng)VvSchool.CN線性代數(shù)綜合測(cè)試題大學(xué)生校園網(wǎng)VvSchool.CN線性代數(shù)綜合測(cè)試題共 共 3 頁(yè)第18頁(yè)大學(xué)線性代數(shù)期末考試題答案一、填空題1. 5A 3E1. 1. 四

6、、計(jì)算題1.2. 13. ssn n4.2. 3. . 4.5.x abcdx a b c dbcdax bcdx a b c dx bcdabx dx a b c dbx cdabcx dx a b c dbcx d1bcd1bcd1xbcd01xbcd0 x00 (x a b c d)1bx cd(xabcd)00 x(xabc01bcx d000 x2.(A2E)B A(A 2E)1 21 22，B (A2E)A 52 43111 223 3.01230410000C B 0123210(C B) 012321001001401 1000 10021002100C B 1

7、E C B 1 1210 1210 0121 0214.1212aa1212a2111a，a，a a(2a(2a2)當(dāng)a 或a 1時(shí)，向量組a，a 線性相12328 1 1222123關(guān)。5. 當(dāng) 1且 2 時(shí)，方程組有唯一解；當(dāng) 2 時(shí)方程組無(wú)解2當(dāng) 1 時(shí)，有無(wú)窮多組解，通解為 c 0 0 10 21 6.1213 1213 1213 (a，a，a，49) 0100142014 2123411370341003170317016160131310020102 0011 0000 則 aa3，其中aa 2a 2a a12341234123特征值 1 1，對(duì)于11， 3E A110 7. 10

8、0 7. 100E A 0 10 ( 00 2 100002001五、證明題AI A AI 2 A0， A 0 I A一、選擇題（4416項(xiàng)符合題目要求）1、設(shè)A，B為n階方陣，滿足等式AB 0，則必有（）(A)A 0或B 0; (B)AB 0； （C）0或B0;(D)A B0。2、A和B均為n階矩陣，且(AB)2 A2 2ABB2 ，則必有（）A E；(B)B E；（C） A B.(D)AB BA 。3、設(shè)A為mn矩陣，齊次方程組Ax 0僅有零解的充要條件是（(A) A的列向量線性無(wú)關(guān)；(B) A的列向量線性相關(guān)；A的行向量線性無(wú)關(guān)；(D) A的行向量線性相關(guān)4、 n階矩陣A為奇異矩陣的充要

9、條件是（）A的秩小于n；(B) 0；(C) A的特征值都等于零；(D) A的特征值都不等于零二、填空題（本題共4小題，每題4分，滿分16分）5、若4階矩陣A的行列式A，A是A的伴隨矩陣，則A=。6、A為nn階矩陣，且A2 A2E 0，則(A2E)1 。12117、已知方程組23a 21 3無(wú)解，則 。2a x438 、 二 次 型 f (x , x , x ) 2x2 3x2 tx2 2x x32x x是正定的，則t的取值范圍123121 21 3是。1 x1 x11111 x11111 y11111 y9、計(jì)算行列式 D 10、計(jì)算n 階行列式33x1xx 322xnxnx1x2x 3n1D

10、 n四、證明題（本題共 2 小題，每小題 8 分，滿分 16 分。寫出證明過(guò)程）11、若向量組 , ,123線性相關(guān)，向量組2, ,3線性無(wú)關(guān)。證明：(1) 1能有 ,2線性表出；(2) 不能由 , ,412線性表出。12A是nE 是nAEfAEA)(E A)1 。證明（1） (E f (A)(E 2E ；（2） f ( f ( A) A 。五、解答題（本題共31232）20013、設(shè)A032，求一個(gè)正交矩陣P 使得P1AP為對(duì)角矩陣。023x xx014 12x3ax02xx a 1有公共解。12123x 4xa2x0求a 的值。12315、設(shè)四元非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為 3，已知

11、1 ， 2 ， 3是它的三個(gè)解向量， 且2132，1423355求該方程組的通解。解答和評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題1、C； 2、D； 3、A； 4、A。二、填空題5、-125;6、2；7、-1；8、t 3 5三、計(jì)算題9、解：第一行減第二行，第三行減第四行得：xx001xx0011 x1100yy1111 yx0001x0001x1000y0101y（4 分）按第一行展開得x10D x0y001y按第三列展開得x0Dxy1 x2 y2 。（4分）y10、解：把各列加到第一列，然后提取第一列的公因子為上三角形行列式xii13，再通過(guò)行列式的變換化D n1x2x 31x xnx（4）2nii11x2nx

12、3n x 31x2031x203xn0003i1 3ni1x 3（4）i四、證明題11、證明：(1)、 因?yàn)?2 ,3線性無(wú)關(guān)，所以 23又 線性相關(guān)，故能由 線性表出。(4分)123123r 12 )3，3（2（反正法）若不，則能由 , 線性表出，4123不妨設(shè)4 k1k 2k 。33由（1）知，能由 線性表出，123不妨設(shè)1 t1t 。23所以4 k (t11t2) k 2 k ，33這表明 2 ,3線性相關(guān)，矛盾。12、證明（1）(E f ( A)(E A) E (E A)(E A)1 (E A)(EA)(EA)(EA)1(EA)(EA)(EA)2E（2）f ( f ( A) E f (

13、 A)E f ( A)1（4 分）1由（1）得：E f(E ，代入上式得1211f(f(E(EA)(EA)1(E (E(EA)(EA)1(E 112221(E1(E A（4）22五、解答題13、解：（1） E A 0 A 的特征值為1 1，2 2 ，3 5 。（4 分） 0 （2）1的特征向量為1，11111 2的特征向量為0，220 5 的特征向量為 01。（3分）331（3）因?yàn)樘卣髦挡幌嗟?，則 , ,123正交。（2分）2 0 2 1 0（4）將 , ,單位化得p 1 1，p 0，p 1 1 （2 分）21232123 1 01010 （5）P p p p123 2211 2202200

14、11 022100（6）P1 AP 020005（1 分）14、解：該非齊次線性方程組 Ax b 對(duì)應(yīng)的齊次方程組為Ax 0R 31的基礎(chǔ)解系。（5分）另一方面，記向量 21 (2 ，則3A 12 ) 2A3A2A3 2b b b 0直接計(jì)算得 (3,4,5,6)T 0 就是它的一個(gè)基礎(chǔ)解系。根據(jù)非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)知，原方程組的通解為x k 32k43，kR。（7分）1546615、解：將與聯(lián)立得非齊次線性方程組:x x x x 123 2x ax 1231x 4x a2x 1x22x x a 1.123若此非齊次線性方程組有解, 則與有公共解, 且的解即為所求全部公共解. 對(duì)的增廣矩陣

15、 A 作初等行變換得:11A 1200 1101a10.（4）14a200(a 2)(a0121a1001aa 11當(dāng)a 1rA rA) 2 3 為的通解，此時(shí)1010，A 0100，00000000001則方程組為齊次線性方程組，其基礎(chǔ)解系為: 0 ,111所以與的全部公共解為k 0 ，k為任意常數(shù).（4分）112 當(dāng)a 2 時(shí)，有 r( A) r( A) 3 ，方程組有唯一解, 此時(shí)1000 011000A 011000000， 0 0 1 x 1 （4 分）11線性代數(shù)習(xí)題和答案第一部分選擇題 (共28 分)一、單項(xiàng)選擇題（14 2 28 分）合題目要求的，請(qǐng)將其代碼填在題后的括號(hào)內(nèi)。錯(cuò)

16、選或未選均無(wú)分。1.a11a21a12 =m， a13 aa2223a11 =n，則行列式a11 aa2121a12a2213 等于（）23A. m+nC. n- 10B. - (m+n)D. m- n2.設(shè)矩陣A=02 ，則A- 1 等于（）00133000001201100001020131100023C.0101D.01012 312300設(shè)矩陣A= 10 是A 的伴隨矩陣，則A中位于（1，2146C. 2B. 6D. 2設(shè)A 是方陣，如有矩陣關(guān)系式AB=AC，則必有（）A =0C. A 0 B=CB. B C 時(shí) A=0D. |A| 0 時(shí) B=C已知34 矩陣A 的行向量組線性無(wú)關(guān)，

17、則秩等于（）1C. 3B. 2D. 46.設(shè)兩個(gè)向量， ， 均線性相關(guān)，則（）6.12s12s0 的數(shù)，使+=0 和+ +=0121122s1122ss0 的數(shù)，使（）+ （）+（+）=0121122sss0 的數(shù)，使- ）+- ）+（- ）=0121122sss0 的數(shù)，和不全為 0 的數(shù)， 使 + +=012121122ss+和 +1122ss設(shè)矩陣A 的秩為則A 中（）所有 1 階子式都不為0B.所有 1 階子式全為0C.至少有一個(gè)r 階子式不等于0D.所有r 階子式都不為01設(shè)Ax=b 是一非齊次線性方程組， 是其任意2 1A.是 Ax=0 的一個(gè)解B. 1 + 1 是 Ax=b 的一

18、個(gè)解122122C.1-2 是Ax=0 的一個(gè)解D.21-2是Ax=b 的一個(gè)解設(shè)n 階方陣A 不可逆，則必有（）秩C.A=0秩(A)=n- 1D.方程組 Ax=0 只有零解設(shè)A 是一個(gè)n(3)階方陣，下列陳述中正確的是（）如存在數(shù)A=A 的屬于特征值的特征向量如存在數(shù)(E- A)=0，則A 的特征值C.A 的 2 個(gè)不同的特征值可以有同一個(gè)特征向量D.如，A 3 ，A 的屬于， 的特123123123， ， 有可能線性相關(guān)1230設(shè)0是矩陣A 的特征方程的A 的屬于303的線性無(wú)關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)為則必（）C. k=3B. k3設(shè)A 是正交矩陣，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）|A|2 C.A- 1=

19、AT1D.A 的行（列）向量組是正交單位向量組設(shè)A 是實(shí)對(duì)稱矩陣 是實(shí)可逆矩陣則（）A.A 與 B 相似AB不等價(jià)AB 有相同的特征值A(chǔ)B 合同下列矩陣中是正定矩陣的為（）A.2B.3434100211C.02 D.1203510第二部分非選擇題（共72 分）二、填空題（10 2 20 分）格內(nèi)。錯(cuò)填或不填均無(wú)分。11115. 356 .9253616.設(shè)A=111 ，B= 12 .則A+2B=.11 12417. 設(shè) A=(aij)3 3 ， |A|=2 ，Aij表 示 |A| 中 元素 aij的 代 數(shù) 余 子 式 （ i,j=1,2,3 ） , 則(a11A21+a12A22+a13A2

20、3)2+(a21A21+a22A22+a23A23)2+(a31A21+a32A22+a33A23)2=.18.設(shè)向量與向量（-4，6，a）線性相關(guān)，則a=.設(shè)A 是34 矩陣，其秩為3，1，2 為非齊次線性方程組Ax=b 的2 個(gè)不同的解，則它的通為.設(shè) A 是 mn 矩陣，A 的秩為 r(n)，則齊次線性方程組 Ax=0 的一個(gè)基礎(chǔ)解系中含有解的個(gè)為.設(shè)向的長(zhǎng)度依次為2 和3，則向+- 的內(nèi)積（+，- ）=.設(shè)3階矩陣A的行列|A|=8，已知A有2個(gè)特征-1和4，則另一特征值為. 0106 2 設(shè)矩陣A= 13 ，已= 是它的一個(gè)特征向量，所對(duì)應(yīng)的特征值為.2108 2設(shè)實(shí)二次型f(x1,

21、x2,x3,x4,x5)的秩為 4，正慣性指數(shù)為3，則其規(guī)范形為.三、計(jì)算題（本大題共 7 小題，每小題 6 分，共 42 分） 12 2325.設(shè)= 34 ，B=240 .求1A（2）|A|.123112試計(jì)算行列式5134 .20111533 421設(shè)矩陣A= 1 ，求矩陣B使其滿足矩陣方程AB=A+21122 1 3 0 1 28.給定向量= ，=， = 0 ，= 1 .1 0 2 23 24 4 3 41 9試判斷 是否為 ， ， 的線性組合；若是，則求出組合系數(shù)。4123 12102 2426 A 210 333）秩A；6 .2334 （2）A 的列向量組的一個(gè)最大線性無(wú)關(guān)組。 02

22、2設(shè)矩陣A=234 的全部特征值為1，1 和- 8.求正交矩陣T 和對(duì)角矩陣D，使T- 24試用配方法化下列二次型為標(biāo)準(zhǔn)形f(x1,x2,x3)= x 2 2x 2 3x 2 4x x4x x4x x，1231 21 323并寫出所用的滿秩線性變換。四、證明題（本大題共 2 小題，每小題 5 分，共 10 分）AA3=0E- A可逆，且- A）- 1=E+A+A2.0 Ax=b Ax=0 .試證明1=0+1，2=0+2 Ax=b 的解；0，1，2線性無(wú)關(guān)。答案：一、單項(xiàng)選擇題（本大題共 14 小題，每小題 2 分，共 28 分）1.D6.D11.A2.B7.C12.B3.B8.A13.D4.D

23、9.A14.C5.C10.B二、填空題（本大題共 10 空，每空 2 分，共 20 分）15. 6 33717. 418. 1019. +c(- +c- c 為任意常數(shù)1122213720. n- r21. 522. 223. 124.z 2 z 2 z 2 z21234三、計(jì)算題（本大題共 7 小題，每小題 6 分，共 42 分） 120 22 86ABAB25.（1）T= 340 34 =18 .1210 （2）|4A|=43|A|=64|A|，而1203A|= 340 2.|A|=6- ）=- 128121311251311251115134111312011 0010153355306

24、2解解 AB=A+2B 即（A- 2E）B=A，而= 1111= 620 55550550 30 10 40. 22（A- 2E）- 1= 1112 14 164 . 143 42338 153 110 = 29164 123212所 以 B=(A- 2E)- 1A= 9 2130 2130 053 130 1305 03 011011解 一 1 2 02240112 088 001 3419013112014140010020101,0010004=21+2+3，組合系數(shù)為（2，1，1）.311223解二 4=x +x +x 112232x1 x 2 3x 3 0 x3x 1即 122x 2 2x 3 4x1 4x2 x3 .方程組有唯一解（2，1，1）T，組合系數(shù)為（2，1，1）.解 A 施行初等行變換12102