初中數(shù)學(xué)培優(yōu)競賽講座第18講-乘法公式

1、第十八講乘法公式乘法公式是在多項式乘法的基礎(chǔ)上，將多項式乘法的一般法則應(yīng)用于一些特殊形式的多項式相乘，得出的既有特殊性、又有實用性的具體結(jié)論，在復(fù)雜的數(shù)值計算，代數(shù)式的化簡求值、代數(shù)式的恒等變形、代數(shù)等式的證明等方面有著廣泛的應(yīng)用，在學(xué)習(xí)乘法公式時，應(yīng)該做到以下幾點：1熟悉每個公式的結(jié)構(gòu)特征，理解掌握公式；2根據(jù)待求式的特點，模仿套用公式；3對公式中字母的全面理解，靈活運用公式；4既能正用、又可逆用且能適當(dāng)變形或重新組合，綜合運用公式例題【例1】（1）已知兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差為2000，則這兩個連續(xù)奇數(shù)可以.（江蘇省競賽題）（2）已知（2000a）（1998一a）=1999，那么（2000a）

2、2+（1998a）2=.（重慶市競賽題）思路點撥（1）建立兩個連續(xù)奇數(shù)的方程組；（2）視（2000一a）（1998a）為整體，由平方和想到完全平方公式及其變形注：公式是怎樣得出來的?一種是由已知的公式，通過推導(dǎo)，得到一些新的公式；另一種是從大量的特殊的數(shù)量關(guān)系入手，并用字母表示數(shù)來揭示一類數(shù)量關(guān)系的一般規(guī)律一公式從特殊到一般的過程是人類認(rèn)識事物的一般規(guī)律，而觀察、發(fā)現(xiàn)、歸納是發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律最常用的方法乘法公式常用的變形有：（1）a2+b2二（a土b）22ab,ab二（a+b）2一（a2+b2）二（a2+b2）一（ab）222（2）（a+b）2+（a一b）2=2a2+2b2；（3）（a+b）2一（

3、a一b）2=4ab；（4）ab二（a+b）2一（a一b）2,a2+b2+c2=（a+b+c）2-2（ab+be+ac）4【例2】若x是不為0的有理數(shù)，已知M=（x2+2x+1）（x22x+1）,N=（x2+x+1）（x2x+1）,則M與N的大小是（）A.MNB.MvNC.M=ND.無法確定思路點撥運用乘法公式，在化簡M、N的基礎(chǔ)上，作差比較它們的大小.【例3】計算：（1）6（7十1）（72十1）（74十1）（78十1）+1；（天津市競賽題）1.345X0.345X2.691.34521.345X0.3452.（江蘇省競賽題）思路點撥若按部就班計算，顯然較繁.能否用乘法公式，簡化計算，關(guān)鍵是對待

4、求式恰當(dāng)變形，使之符合乘法公式的結(jié)構(gòu)特征，對于（2），由于數(shù)字之間有聯(lián)系，可用字母表示數(shù)（稱為換元），將數(shù)值計算轉(zhuǎn)化為式的計算，更能反映問題的本質(zhì)特征.5xy【例4】（1）已知x、y滿足X2十y2十=2x十y,求代數(shù)式的值.（“希望杯”邀請賽試題）4x+y（2）整數(shù)x,y滿足不等式x2+y2+10,bo），丙商場：第一次提價的百分率為b,第二次提價的百分率為a,則哪個商場提價最多?說明理由.（河北省競賽題）思路點拔對于（1），（2）兩個未知數(shù)一個等式或不等式，須運用特殊方法與手段方能求出x、y的值，由平方和想到完全平方公式及其逆用,解題的關(guān)鍵是拆項與重組；對于（3）把三個商場經(jīng)兩次提價后的價格

5、用代數(shù)式表示，作差比較它們的大小.注：有些問題常常不能直接使用公式，而需要創(chuàng)造條件，使之符合乘法公式的特點，才能使用公式.常見的方法是：分組、結(jié)合，拆添項、字母化等.完全平方公式逆用可得到兩個應(yīng)用廣泛的結(jié)論：（1）a2土lab+b2二（a土b）20；揭示式子的非負(fù)性，利用非負(fù)數(shù)及其性質(zhì)解題.（2）a2+b22ab應(yīng)用于代數(shù)式的最值問題代數(shù)等式的證明有以下兩種基本方法：（1）由繁到簡，從一邊推向另一邊；（2）相向而行，尋找代換的等量【例5】已知a、b、c均為正整數(shù)，且滿足a2+b2=c2，又a為質(zhì)數(shù).證明：（1）b與c兩數(shù)必為一奇一偶;（2）2（a+b+l）是完全平方數(shù).思路點撥從a2+b2=c

6、2的變形入手；a2=c2-b2，運用質(zhì)數(shù)、奇偶數(shù)性質(zhì)證明.學(xué)力訓(xùn)練觀察下列各式：（X1）（X+1）=X21;（X1）（X2+X+1）=X3一1;（x一1）（X3十X2+X+1）=X4一1.根據(jù)前面的規(guī)律可得（X1）（Xn+Xn-1+X+1）=.（武漢市中考題）已知a2+b2+4a一2b+5=0，貝y=.（杭州市中考題）a-b3計算：（1）1.23452+0.76552+2.469X0.7655：；（2）1949219502+19512一19522+-+19972一19982+19992=；199919982一丿199919972+199919992-2如圖是用四張全等的矩形紙片拼成的圖形，請利

7、用圖中空白部分的面積的不同表示方法寫出一個關(guān)于a、b的恒等式.（大原市中考題）1如圖是用四張全等的矩形紙片拼成的圖形，請利用圖中空白部分的面積的不同表示方法寫出一個關(guān)于a、b的恒等式.（大原市中考題）1廠a4+a2+1已知a+=5，貝yaa2（荷澤市中考題）已知ab=3,b+c=5，則代數(shù)式acbc+a2ab的值為（）.A.一15B.一2C.一6D.6（揚州市中考題）乘積（1丄）（1-）（11122322001B.-20007.19992）（1一20002）等于（力19992001C.D.-400040008.若x一y二2,x2+y2二4，則x2002+y2002的值是（）.A.4B.2002

8、2C.22002D.420029.若x213x+1=0，則x4+丄的個位數(shù)字是（）.x4（重慶市競賽題）10.如圖，在邊長為a的正方形中挖掉一個邊長為b的小正方形（ab），把余下的部分剪拼成一個矩形（如圖），通過計算兩個圖形（陰影部分）的面積，驗證了一個等式，則這個等式是（）.A.A.a2一b2二（a+b）（a一b）B.（a+b）2=a2+2ab+b2（陜西省中考題）C.（a一b）2=a2一2ab+b2d.（a+2b）（a一b）=a2+ab一（陜西省中考題）11.(1)設(shè)x+2z=3z，判斷x2一9y2+4z2+4xz的值是不是定值?如果是定值，求出它的值；否則請說明理由.(2)已知x2一2x

9、=2，將下式先化簡，再求值：(x1)2+(x+3)(x一3)+(x一3)(x一1).(上海市中考題)12.一個自然數(shù)減去45后是一個完全平方數(shù)，這個自然數(shù)加上44后仍是一個完全平方數(shù)，試求這個自然數(shù).13.觀察：1-2-3-4+1=52-3-4-5+1=112-4-5-6+1=192請寫出一個具有普遍性的結(jié)論，并給出證明；(黃岡市競賽題)根據(jù)(1),計算2000X2001X2002X2003+1的結(jié)果(黃岡市競賽題)14.你能很快算出19952嗎?為了解決這個問題，我們考察個位上的數(shù)字為5的自然數(shù)的平方，任意一個個位數(shù)為5的自然數(shù)可寫成l0n+5(n為自然數(shù))，即求(10n+5)2的值，試分析

10、n=1，n=2,n=3這些簡單情形，從中探索其規(guī)律,并歸納猜想出結(jié)論.(1)通過計算，探索規(guī)律.152225可寫成100X1X(1+1)+25；252=625可寫成100X2X(2+1)+25；TOC o 1-5 h z352=1225可寫成100X3X(3+1)+25；452=2025可寫成100X4X(4+1)+25；752=5625可寫成；852=7225可寫成.從第(1)題的結(jié)果，歸納、猜想得(10n+5)2=.(3)根據(jù)上面的歸納猜想，請算出19952=.(福建省三明市中者題)已知x2+y2+z22x+4y6z+14=0，則x+y+z=.（天津市選拔賽試題）（1）若x+y=10，x3

11、+y3=100，則x2+y2=.（2）若a-b=3，則a3-b3-9ab=.1，2，3，98共98個自然數(shù)中，能夠表示成兩整數(shù)的平方差的個數(shù).（初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽）.已知a-b=4，ab+c2+4=0，則a+b=（）.A.4B.0C.2D.一2.方程x2-y2=1991,共有（）組整數(shù)解.A.6B.7C.8D.9.已知a、b滿足等式x二a2+b2+20,y二4（2b-a），則x、y的大小關(guān)系是（）.A.xWyB.xyC.xy（大原市競賽題）.已知a=1999x+2000，b=1999x+2001，c=1999x+2002，則多項式a2+b2+c2一abbc-ac的值為（）.A0B1C2D3（全國初中

12、數(shù)學(xué)競賽題）2222.設(shè)a+b=l,a2+b2=2，求a7+b7的值.(西安市競賽題)(河北省競賽題)23.已知a滿足等式a2-a-1=0,求代數(shù)式a8+7a-(河北省競賽題)(北京市競賽題)24.若x+y=a+b，且x2+y2=a2+b2，求證：x1997+y1997=a1997+b(北京市競賽題)25.有10位乒乓球選手進行單循環(huán)賽(每兩人間均賽一場)，用xl,y順次表示第一號選手勝與負(fù)的場數(shù);用x2,y2順次表示第二號選手勝與負(fù)的場數(shù)；用x10、y10順次表示十號選手勝與負(fù)的場數(shù).求證：x2+x2+Fx2=y2+y2+Fy2.1210121026.(1)請觀察：25二52,1225二35

13、2,112225二3352,1122225二33352寫出表示一般規(guī)律的等式，并加以證明.(2)26=52+12，53=72+22，26X53=1378，1378=372+32.任意挑選另外兩個類似26、53的數(shù)，使它們能表示成兩個平方數(shù)的和，把這兩個數(shù)相乘，乘積仍然是兩個平方數(shù)的和嗎?你能說出其中的道理嗎?注：有人稱這樣的數(shù)“不變心的數(shù)”.數(shù)學(xué)中有許多美妙的數(shù)，通過分析，可發(fā)現(xiàn)其中的奧秘.瑞士數(shù)學(xué)家歐拉曾對26(2)的性質(zhì)作了更進一步的推廣.他指出：可以表示為四個平方數(shù)之和的甲、乙兩數(shù)相乘，其乘積仍然可以表示為四個平方數(shù)之和.即(a2+b2+C2十d2)(e2+f2+g2+h2)=A2+B2

14、+C2+D2.這就是著名的歐拉恒等式.甲憶質(zhì)二亍商場兩次抿價后甘略分別卸十心門十如=1甲憶質(zhì)二亍商場兩次抿價后甘略分別卸十心門十如=1十卄汨血山亠生尹八門*-T)=一J十冊+(屮八“十觸1+小1卄_Hi為因號F祐A所加略細：訕故乙商場廚慶攝析后，價格JB亀型$ci)+fr)(扒故fH-a1兩式tfl膜，陽路7_1*于是2嚴(yán)則彳_2得.=+=1C00成上+$=-10(1(1*斛褐(_r,y=49餌同t或f-50U-499.(24002提示tt2CKIO-flV十門99E亠越於=|?劉叩一町一帕一a*+E(酣加一(199&一(?*4lXr+lj+l-?11t?)汝L345=j,則原成=應(yīng)上1叮*-

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