浙江省高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽習(xí)題Word版含答案

1、2017浙江省高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試卷+Word版含答案2017年浙江省高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽一、填空題：本大題共10個(gè)小題,每題8分,共80分.在多項(xiàng)式(x1)3(x2)10的張開(kāi)式中x6的系數(shù)為2.已知log7(5a3)loga215,則實(shí)數(shù)a3.設(shè)f(x)x2axb在0,1中有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,則a22b的取值范圍為4.設(shè)x,yR,且sin2xcos2xcos2xcos2ysin2xsin2y1,則sin(xy)xy已知兩個(gè)命題,命題p:函數(shù)f(x)logax(x0)單調(diào)遞加；命題q：函數(shù)g(x)x2ax1（xR）若pq為真命題，pq為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為設(shè)S是(0,5)中所有有理數(shù)的會(huì)集，對(duì)簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)qS

2、，8p(p,q)1，定義函數(shù)f(q)q1，則f(x)2在S中根的個(gè)pp3數(shù)為已知?jiǎng)狱c(diǎn)P，M，N分別在x軸上，圓(x1)2(y2)21和圓(x3)2(y4)23上，則|PM|PN|的最小值為已知棱長(zhǎng)為1的正周?chē)wPABC，PC的中點(diǎn)為D，動(dòng)點(diǎn)E在線段AD上，則直線BE與平面ABC所成的角的取范rrrrrr，9.已知平面向量a，b，c，足|a|1，|b|2，|c|3rrrrr01，若bc0，|ab(1)c|所有取不到的的會(huì)集10.已知f(x)2x,x0,方程x21,x0,f(x)21x2|f(x)21x2|2a*40有三個(gè)根x1x2x3若x3x22(x2x1)，數(shù)a二、解答題：本大題共5個(gè)小題，滿

3、分120分，將答案填在答題紙上）11.f1(x)x232，fn1(x)x216fn(x)，n1，2，3每個(gè)n，求fn(x)3x的數(shù)解12.已知x2y21的右焦點(diǎn)F，F(xiàn)的直62k(x2)交于P，Q兩點(diǎn)(k0)若PQ的中點(diǎn)原點(diǎn)，直O(jiān)N交直x3于M（1）求MFQ的大?。唬?）求PQ的最大MF數(shù)列an足：|an12an|2，|an|2，n1,2,3，明：若是a1有理數(shù)，從某后an周期數(shù)列a1，a2，a3；b1，b2，b3Z，明：存在不全零的數(shù)1，2，30,1,2，使得1a12a23a3和1b12b23b3同時(shí)被3整除15.設(shè)a1,a2,an為1,2,n的一個(gè)排列，記n，an1a1，求minF()F()

4、aiai1i12017年浙江省高中數(shù)學(xué)答案一、填空1.41282.23.0,24.k（kZ）225.(2,1U2,)6.57.210318.0,arctan149.(,6131)U(4,)10.1737132三、解答證明：利用數(shù)學(xué)歸納法（1）x2是fn(x)3x的解當(dāng)n1時(shí)，x2是f1(x)x2323x的解.16.當(dāng)nk時(shí)，設(shè)fk(2)6，則fk1(2)4fk(2)63由此可得x2是fn(x)3x的解（對(duì)于所有的n）.2）當(dāng)x2時(shí)，fn(x)3x32x2當(dāng)n1時(shí)，f1(x)x2323x3x2(x2)2當(dāng)nk時(shí)，設(shè)fk(x)3x32，則2xfk1(x)x216fk(x)x28x23x3由此可得x

5、2都不是fn(x)3x的解（對(duì)于所有的n）3）當(dāng)0 x2時(shí)，fn(x)3x當(dāng)n1時(shí)，f1(x)x232x28x23x（0 x2）.當(dāng)nk時(shí)，設(shè)fk(x)3x，則fk1(x)x216fk(x)x213x3由此可得0 x2都不是fn(x)3x的解（對(duì)于所有的n）因此，對(duì)每個(gè)n，fn(x)3x的實(shí)數(shù)解為x2x2y21,可得(3k2012.解：（1）聯(lián)立621)x212k2x12k26yk(x2),設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(xp,yp)，Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(xq,yq)，12k212k26則xpxq2，xpxq3k213k1于是有ypyqk(xpxq)4k4k3k21由于PQ的中點(diǎn)為N，因此N(6k2,2k)，因此O

6、N的23k23k11斜率kON31k，由于直線ON交直線x3于M，因此M(3,1，故MF的k)斜率為1kMFk，即得kMFkPQ1，因此MF與PQ垂直，MFQ2I(PQ)2(xpxq)2k2(xpxq)2k2(xpx)2k2(xpx)24xx（2）MF11qqpqk2k2144k4242k2124k2k21(3k21)23k21(3k21)2令u3k21，則I8(u1)(u2)1611116(1129，3u2(u22u)3u)16324由于u3k211，故011.u因此Imax3（當(dāng)u4時(shí)取到最大值，也即k1）綜上所述，PQ的最大值為3MF證明：（1）若a1為有理數(shù)，則an為一個(gè)有理數(shù)數(shù)列（2

7、）對(duì)于任意的n，設(shè)anyx，(y,x)1，由已知條件，有且有下述一個(gè)等式成立：an12an22y2x或an12an22y2x(*)xxan與an1有相同的分母（不能夠分）（3）a1q，(p,q)1，anbn，bn整數(shù)，由于|an|2，pp1，2,3，因此2pbn2p4）若存在兩個(gè)自然數(shù)kl，使得akal，由（2）中獲取的（*）推公式以及|an|2，n1,2,3，可得an從第k開(kāi)始是一個(gè)周期數(shù)列，周期lk（5）由（3）可知于任意的n，bn的只有4p1（有限個(gè)），故能找到kl，使得bkbl，從而有akal上所述，若是a1有理數(shù)，從某后期數(shù)列14.明：不如aikk(mod3)，bili(mod3)，

8、ki，lian周0,1,2，1,2,3要明正確，只要明存在不全零的數(shù)1，2，30,1,2，使得1k12k23k31l12l23l3(mod3)0(mod3)(*)k1l2k2l1c(mod3)，里c0,1,2狀況（1）當(dāng)c0，k1l10，也許k1，l1不全零若k1l10，取11，230，有（*）式成立若k1，不全零，不如k10，取1k2,k1,0,l123且1k12k23k3k2k1k1k20(mod3),即(*)式.1l12l23l3k2l1k1l20(mod3),狀況（2）當(dāng)c1或2，即c21(mod3)c(k2l3k3l2)c1(mod3)，c(k3l1k1l3)c2(mod3)，里c1

9、，c20,1,2令1c1，2c2，31，1，2，30,1,2且不全零，且1k12k23k3c1k1c2k2k3c(k2l3k3l2)k1c(k3l1k1l3)k2k3(mod3)ck3(k2l1k1l2)k3(mod3)(1c2)k3(mod3)0(mod3)，似能夠明1l12l23l30(mod3)上所述，能夠取到不全零的數(shù)1，2，30,1,2，使得（*）式成立解：等價(jià)于周上放置n個(gè)數(shù)，使得相數(shù)的乘之和最小，最小Tn不如a1n，數(shù)字1必與它相，否aj1j2，n），可將a2，a3，aj的數(shù)字改aj，aj1，a2上的數(shù)字，相數(shù)的乘和的量a1aja2aj1a1a2ajaj1(a1aj1)(aja2)0于是可確定a21再明數(shù)字2也必與數(shù)字n相，即an2事上，若aj2（jn），交an，an1，ajaj，aj1，an，此的目改a1ajanaj1a1anajaj1(a1aj1)(ajan)0因此目取到最小，a1n，a21，an2由此出，依次可得a3n1，an1n2在已安排好的兩端數(shù)字，若剩下的數(shù)比兩端數(shù)字都小，在剩下的數(shù)中找兩個(gè)最小的數(shù)字，按小大，大小放置；若剩下的數(shù)比兩端數(shù)字大，在剩下的數(shù)字中找兩個(gè)最大的數(shù)，按大小，小大放置由此律即得a43，an24，a5n3，an3n4，下面用推法算Tn考n2個(gè)數(shù)字，我在Tn的數(shù)字