8平面向量的概念及其線性運算-2018年高考數(shù)學(理)熱點題型和提分秘籍含解析-2495

1、學必求其心得，業(yè)必貴于專精1.認識向量的實質(zhì)背景2。理解平面向量的見解,理解兩個向量相等的含義3。理解向量的幾何表示4。掌握向量加法、減法的運算，并理解其幾何意義5.掌握向量數(shù)乘的運算及其幾何意義，理解兩個向量共線的含義6.認識向量線性運算的性質(zhì)及其幾何意義熱點題型一平面向量的相關(guān)見解規(guī)1、給出以下命題：若|a|b|，則ab；若A，B，C，D是不共線的四點,則錯誤!錯誤!是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件；若ab，bc，則ac；ab的充要條件是|a|b|且ab。其中真命題的序號是_。剖析：不正確兩個向量的長度相等，但它們的方向不用然相同。正確錯誤!錯誤!，錯誤!|錯誤!|且錯誤!錯誤!，又

2、A，B,C，D是不共線的四點,四邊形ABCD為平行四邊形;反之，若四邊形ABCD為平行四邊形，則錯誤!錯誤!且|錯誤!|錯誤!，因此，錯誤!錯誤!。學必求其心得，業(yè)必貴于專精【提分秘笈】平面向量中常用的幾個結(jié)論(1)相等向量擁有傳達性,非零向量的平行也擁有傳達性。(2)向量能夠平移，平移后的向量與原向量是相等向量。(3)錯誤!是與a同向的單位向量，錯誤!是與a反向的單位向量.【貫串交融】設(shè)a0為單位向量，若a為平面內(nèi)的某個向量，則a|a|a0;若a與a0平行，則a|a|a0；若a與a0平行且|a1，則aa0。上述命題中，假命題的個數(shù)是()A0B1C2D3熱點題型二平面向量的線性運算例2、【20

3、17天津，理13】在ABC中，A60,AB3，AC2。若BD2DC，AEACAB(R)，且ADAE4，則的值為_?！敬鸢浮?11學必求其心得，業(yè)必貴于專精【剖析】ABAC32cos6003,AD1AB2AC，則33ADAE1AB2ACACAB3324192343.3333311【變式研究】(1）如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點O，錯誤!錯誤!，則_。錯誤!2)已知P，A，B，C是平面內(nèi)四點，且錯誤!錯誤!錯誤!錯誤!，那么必然有()A.錯誤!2錯誤!B.錯誤!2錯誤!C.錯誤!2錯誤!D。錯誤!2錯誤!剖析：（1)AB，錯誤!錯誤!2錯誤!，2。2）錯誤!錯誤!錯誤!錯誤!

4、錯誤!錯誤!,錯誤!2錯誤!2錯誤!.答案：（1)2（2)D【提分秘笈】向量線性運算的方法技巧向量線性運算，要轉(zhuǎn)變到平行四邊形或三角形中，運用平行四邊形法例、三角形法例,利用三角形中位線、相像三角形等平面幾何的性質(zhì),把未知向量轉(zhuǎn)變?yōu)橐阎蛄?基底向量）來求解。【貫串交融】在ABC中，已知D是AB邊上一點，錯誤!錯誤!錯誤!錯誤!，學必求其心得，業(yè)必貴于專精則實數(shù)（)A錯誤!B錯誤!C。錯誤!D。錯誤!答案:D剖析：如圖,D是AB邊上一點，過點D作DEBC，交AC于點E,過點D作DFAC，交BC于點F，連結(jié)CD，則錯誤!錯誤!錯誤!.因為錯誤!錯誤!錯誤!錯誤!，因此錯誤!錯誤!錯誤!，錯誤!錯

5、誤!.由ADEABC，得錯誤!錯誤!錯誤!，因此錯誤!錯誤!錯誤!錯誤!，故錯誤!.熱點題型三共線向量定理及其應(yīng)用例3【2017江蘇,16】已知向量a(cosx,sinx),b(3,3),x0,.1）若ab，求x的值；2）記f(x)ab，求f(x)的最大值和最小值以及對應(yīng)的x的值?！敬鸢浮浚?）5時，獲取最大值,為3；5x6（2）x0fx6時，xfx獲取最小值，為23.【剖析】解：（1）因為acosx,sinx,b3,3，ab學必求其心得，業(yè)必貴于專精因此3cosx3sinx.若cosx0，則sinx0，與sin2xcos2x1矛盾,故cosx0.于是tanx3。3又，因此5x0,x6。【變式

6、研究】設(shè)兩個非零向量a與b不共線，1)若錯誤!ab，錯誤!2a8b，錯誤!3（ab)。求證:A、B、D三點共線。2)試確定實數(shù)k，使kab和akb共線。剖析:（1）證明：錯誤!ab，錯誤!2a8b，錯誤!3（ab),錯誤!錯誤!錯誤!2a8b3(ab）2a8b3a3b5（ab)5AB，.錯誤!、錯誤!共線，又它們有公共點B，A、B、D三點共線.學必求其心得，業(yè)必貴于專精(2）kab與akb共線,存在實數(shù)，使kab（akb）,即kabakb.(k)a(k1)b。a、b是不共線的兩個非零向量，kk10，k210，k1?！咎岱置伢拧?共線向量定理及其應(yīng)用1）能夠利用共線向量定理證明向量共線，也能夠由

7、向量共線求參數(shù)的值。2)若a，b不共線,則ab0的充要條件是0，這一結(jié)論聯(lián)合待定系數(shù)法應(yīng)用特別寬泛。2證明三點共線的方法若錯誤!錯誤!，則A，B，C三點共線。【貫串交融】已知向量a，b不共線,且cab，da（21）b，若c與d同向,則實數(shù)的值為_。學必求其心得，業(yè)必貴于專精答案：11.【2017課標3，理12】在矩形ABCD中,AB=1，AD=2，動點P在以點C為圓心且與BD相切的圓上。若AP=AB+AD，則+的最大值為A3B22C5D2【答案】A【剖析】以以下圖，成立平面直角坐標系設(shè)A0,1,B0,0,D2,1,Px,y學必求其心得，業(yè)必貴于專精依照等面積公式可得圓的半徑是2，即圓的方程是2

8、24x2y55APx,y1,AB0,1,AD2,0，若知足APABAD即x2，x,1y，因此xy1,設(shè)zxy1，即y1222xz0，點Px,y在圓x2y24上，因此圓心到直線的距y12252z23，因此z的最大值是3，即離dr，即15，解得1z14的最大值是3,應(yīng)選A.【考點】平面向量的坐標運算；平面向量基本定理2?！?017北京，理6】設(shè)m，n為非零向量,則“存在負數(shù),使得mn是“mn0”的（A)充分而不用要條件（B）必要而不充分條件（C）充分必要條件（D）既不充分也不用要條件【答案】A【剖析】若0，使mn，即兩向量反向，夾角是1800,那么mnmncos1800mn0T，若mn0那么兩向量

9、的夾角為,900,1800，其實不用然反向，即不用然存在負數(shù)，使得mn，因此是充分不用要條件，應(yīng)選A?！究键c】1。向量；2.充分必要條件。3.【2017課標II,理12】已知ABC是邊長為2的等邊三角形，P學必求其心得，業(yè)必貴于專精為平面ABC內(nèi)一點，則PA(PBPC)的最小是（)A。2B。3C。423D。1【答案】B【考點】平面向量的坐標運算；函數(shù)的最值4。【2017課標1，理13】已知向量a,b的夾角為60，|a|=2，b|=1，則|a+2b=?！敬鸢浮?3【剖析】利用以以以下圖形,能夠判斷出a2b的模長是以2為邊長的菱形對角線的長度,|a2b|2|a|24ab4|b|24421cos60

10、412因此|a2b|1223.學必求其心得，業(yè)必貴于專精【考點】平面向量的運算。5。【2017天津，理13】在ABC中,A60，AB3，AC2.若BD2DC，AEACAB(R)，且ADAE4,則的值為_.【答案】31112【剖析】ABAC32cos6003,ADABAC,則33ADAE1AB2ACACAB324192343。33333311【考點】向量的數(shù)量積6.【2017山東,理12】已知e1,e2是互相垂直的單位向量，若3e1e2與e1e2的夾角為60，則實數(shù)的值是.【答案】33【剖析】3e1e2e1e223e1e2e12，3e1e2e232222，3e1e23e1e23e123e1e2e

11、2222e222，e1e2e1e2e12e1e213212cos6012,解得：33學必求其心得，業(yè)必貴于專精【考點】1.平面向量的數(shù)量積.2。平行向量的夾角.3。單位向量.7【2017浙江，15】已知向量a,b知足a1,b2,則abab的最小值是_，最大值是_【答案】4,25【剖析】設(shè)向量a,b的夾角為，由余弦定理有：ab1222212cos54cos,ab1222212cos54cos，則:abab54cos54cos,令y54cos54cos，則y21022516cos216,20，據(jù)此可得：ababmax2025,ababmin164,即abab的最小值是4，最大值是25【考點】平面向

12、量模長運算8.【2017浙江,10】如圖，已知平面四邊形ABCD，ABBC,ABBCAD2，CD3,AC與BD交于點O，記I1OAOB，I2OBOC，I3OCOD，則AI1I2I3BI1I3I2CI3I1I2DI2I1I3學必求其心得，業(yè)必貴于專精【答案】C【剖析】因為AOBCOD90，OAOC，OBOD，因此OBOC0OAOBOCOD,應(yīng)選C。【考點】平面向量數(shù)量積運算9.【2017江蘇,12】如圖，在同一個平面內(nèi)，向量OA，OB,OC的模分別為1,1,2,OA與OC的夾角為,且tan=7，與OC的夾角為OB45.若(m,nR)，則mn.OCmOAnOBCBOA(第12題)【答案】3【剖析】

13、由tan7可得sin72，cos2，依照向量的分解，1010易得ncos45mcos2,即2n2m25nm10,即得210，即nsin45msin02725n7m0m02105,n7，44因此mn3【考點】向量表示10.【2017江蘇，16】已知向量a(cosx,sinx),b(3,3),x0,.(1)若ab，求x的值;（2）記f(x)ab,求f(x)的最大值和最小值以及對應(yīng)的x的值.學必求其心得，業(yè)必貴于專精【答案】（1)x50時,fx獲取最大值，為3;x56（2）x6時,fx獲取最小值，為23。（2）fxabcosx,sinx3,33cosx3sinx23cosx。6因為x0,因此x,7，

14、666進而1cosx3。62于是，當x3；66，即x0時，fx取到最大值當，即5取到最小值。6x6時，fx23x【考點】向量共線，數(shù)量積1?！?016高考新課標2理數(shù)】已知向量a(1,m)，a=(3,2)，且(a+b)b，則m（）(A）8(B）6（C）6D）8學必求其心得，業(yè)必貴于專精【答案】D【剖析】向量ab(4,m2)，由(ab)b得43(m2)(2)0，解得8，應(yīng)選D。2【.2016高考江蘇卷】如圖，在ABC中,D是BC的中點,E,F是A,D上的兩個三均分點，BCCA4,BFCF1,則BECE的值是?！敬鸢浮?82015高考新課標1，理7】設(shè)D為ABC所在平面內(nèi)一點BC3CD，則（）(A

15、）AD1AB4AC(B）AD1AB4AC3333（C）AD4AB1AC(D）AD4AB1AC3333【答案】A學必求其心得，業(yè)必貴于專精【剖析】由題知ADACCDAC1BCAC1(ACAB)=1AB4AC,3333應(yīng)選A.1（2014遼寧卷）設(shè)a，b，c是非零向量，已知命題p：若ab0，bc0，則ac0，命題q:若ab，bc,則ac,則以下命題中真命題是(）ApqBpqC(綈p）（綈q)Dp(綈q)【答案】A【剖析】由向量數(shù)量積的幾何意義可知，命題p為假命題；命題qbacqpq中,當0時，必然共線,故命題是真命題故為真命題2(2014新課標全國卷已知A，B，C為圓O上的三點,若錯誤!錯誤!(錯

16、誤!錯誤!）,則錯誤!與錯誤!的夾角為_【答案】90【剖析】由題易知點O為BC的中點,即BC為圓O的直徑，故在ABC中，BC對應(yīng)的角A為直角，即AC與AB的夾角為90。3（2014四川卷)平面向量a(1，2），b（4,2）,cmab(mR),且c與a的夾角等于c與b的夾角，則m（)A2B1C1D2學必求其心得，業(yè)必貴于專精【答案】2【剖析】cmab(m4，2m2)，由題意知錯誤!錯誤!，即錯誤!錯誤!，即5m8錯誤!，解得m2.1.以下說法正確的選項是（)A.若a與b都是單位向量，則a=bB.若a=b，則|a=|b|且a與b的方向相同C.若a+b=0,則|a|=|b|D。若a-b=0,則a與b

17、是相反向量【剖析】選C。因為向量相等必定知足模相等且方向相同，因此A不正確;因為0的方向是隨意的，當a=b=0時,B不正確;因為a+b=0,因此a=b，因此a|=|-b=|b|，故C正確;因為ab=0,因此a=b，a與b不是相反向量，故D不正確.()2。已知點D是ABC的邊AB的中點，則向量CD等于A。BC+21BAB。BC21BAC。BC-21BAD.BC+21BA【剖析】選A。因為點D是AB的中點，因此CD=CB+BD=CB+21BA=BC+2BA.學必求其心得，業(yè)必貴于專精3。已知點P是四邊形ABCD所在平面內(nèi)的一點，若AP=(1+）（）AB，其中R,則點P必然在ADA。AB邊所在的直線

18、上B。BC邊所在的直線上C。BD邊所在的直線上D.四邊形ABCD的內(nèi)部【剖析】選C。因為），=(1+）-，因此-=（ADAPABADAPABAB因此BP=DB,因此B,D，P三點共線，因此點P必然在BD邊所在的直線上.4。已知向量a與b共線反向，則以下結(jié)論正確的選項是()學必求其心得，業(yè)必貴于專精A.|a+b|=|a|+b|B.|a+b|=|a|-|bC.ab=|a|+|bD.|a-b=ab【剖析】選C.因為向量a與b共線反向,因此|a+ba|+b|,a+b|0，而|a|b|的符號不確定，因此A,B不正確.同理，D不正確，C顯然正確.5。已知以下結(jié)論2已知a是非零向量，R，則a與a方向相同已知

19、a是非零向量，R,則|a=|a若R，則a與a共線若a與b共線,則存在R，使a=b其中正確的個數(shù)為()A.0B.1C.2D。46.在平行四邊形ABCD中,點E是AD的中點，BE與AC訂交學必求其心得，業(yè)必貴于專精于點F，若EF=mAB+nAD(m，nR），則mn的值為（）A.2B.-21C.2D.21【剖析】選A。如圖.設(shè)AB=a，AD=b，則EF=ma+nb,BE=AEAB=21ba，1由向量與BE共線可知存在實數(shù)，使得=，即ma+nb=b-EFEFBEa,又a與b不共線，則m=-，1n=2，因此mn=-2。7.已知D為ABC的邊AB的中點。M在DC上且知足（)5AM=AB+3AC,則ABM與

20、ABC的面積比為A。15B。25C.35D.45學必求其心得，業(yè)必貴于專精【剖析】選C。如圖，由5AM=AB+3AC得2AM=2AD+3AC-3AM，即2(AM-AD）=3(AC-AM），即2DM=3MC，故DM=53DC,故ABM與ABC同底且高的比為35，故SABMSABC=35。是BN上的一8.在ABC中,N是AC邊上一點，且AN=21NC，P（)點，若AP=mAB+92AC，則實數(shù)m的值為A。19B。31【剖析】選B。以以下圖。設(shè)BP=BN，學必求其心得，業(yè)必貴于專精則AP=+=AB+=+(-)ABBPBNABANAB=AB+(13ACAB）=(1)AB+3AC，因為3=29,因此=2

21、3，因此1-=13,因此m=13。9。O是ABC所在平面外一點且知足OP=OA+,為實數(shù)，則動點P的軌跡必經(jīng)過ABC的()ABAC+)(|AB|AC|A。重心B。心里C.外心D.垂心ABAC【剖析】選B。如圖，設(shè)|=AF=，已知均為單位向量，AE學必求其心得，業(yè)必貴于專精故?AEDF為菱形,因此AD均分BAC,ABAC由=+)OPOA(|AB|AC|得=與有公共點A,AP，又APADAD故A，D，P三點共線，因此P點在BAC的均分線上，故動點P的軌跡經(jīng)過ABC的心里。10.已知A，B，C是平面上不共線的三點，O是ABC的重心，111動點P知足OP=3(2OA+2OB+2OC)，則點P必然為三角

22、形ABC的()A。AB邊中線的中點B.AB邊中線的三均分點（非重心)C.重心學必求其心得，業(yè)必貴于專精D.AB邊的中點11.已知點D，E，F(xiàn)分別為ABC的邊BC，CA，AB的中點,且BC=a，CA=b，給出以下命題:AD=21a-b；BE=a+21b；CF=-21a+21b;AD+BE+CF=0。其中正確命題的序號為。【剖析】BC=a，CA=b，AD=12CB+AC12a-b，故錯；BE=BC+21CA=a+21b,故正確；CF=21（CB+CA)=21（-a+b)=-21a+21b，故正確;AD+BE+CF=b-1a+a+1b+1b1a=0.2222學必求其心得，業(yè)必貴于專精【答案】12。在

23、?ABCD中,AB=a,AD=b,3AN=NC，M為BC的中點,則.（用a，b表示）MN=【剖析】以以下圖.MN=MC+CN=21AD+43CA=21+43AD(CB+CD)=21+43AD（DA+BA）=21b-43a-43b=-43a41b?！敬鸢浮?43a-41b知足=2，則=。13.在ABC中，=c，=b，若點DBDADABACDC=2【剖析】如圖,因為在ABC中，=c，=b，且點D知足BD,ABACDC學必求其心得，業(yè)必貴于專精因此BA+AD=2（DA+AC)，AD=231AC+3AB=213b+3c.【答案】23b+13c14.在ABC中，已知D是AB邊上一點，CD=13CA+CB,則實數(shù)=.【剖析】如圖