經(jīng)典層次分析法分析及實(shí)例教程

1、經(jīng)典層次分析法分析及實(shí)例教程第1頁，共37頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)59分，星期二層次分析法建模一 問題的提出 日常生活中有許多決策問題。決策是指在面臨多種方案時需要依據(jù)一定的標(biāo)準(zhǔn)選擇某一種方案。例1 購物 買鋼筆，一般要依據(jù)質(zhì)量、顏色、實(shí)用性、價格、外形等方面的因素選擇某一支鋼筆。 買飯，則要依據(jù)色、香、味、價格等方面的因素選擇某種飯菜。例2 旅游 假期旅游，是去風(fēng)光秀麗的蘇州，還是去迷人的北戴河，或者是去山水甲天下的桂林，一般會依據(jù)景色、費(fèi)用、食宿條件、旅途等因素選擇去哪個地方。第2頁，共37頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)59分，星期二例3 擇業(yè)面臨畢業(yè)，可能有高校、科研單位、

2、企業(yè)等單位可以去選擇，一般依據(jù)工作環(huán)境、工資待遇、發(fā)展前途、住房條件等因素?fù)駱I(yè)。例4 科研課題的選擇 由于經(jīng)費(fèi)等因素，有時不能同時開展幾個課題，一般依據(jù)課題的可行性、應(yīng)用價值、理論價值、被培養(yǎng)人才等因素進(jìn)行選題。第3頁，共37頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)59分，星期二 面臨各種各樣的方案，要進(jìn)行比較、判斷、評價、最后作出決策。這個過程主觀因素占有相當(dāng)?shù)谋戎亟o用數(shù)學(xué)方法解決問題帶來不便。等人20世紀(jì)在七十年代提出了一種能有效處理這類問題的實(shí)用方法。 層次分析法（Analytic Hierarchy Process, AHP)這是一種定性和定量相結(jié)合的、系統(tǒng)化的、層次化的分析方法。過去研究自

3、然和社會現(xiàn)象主要有機(jī)理分析法和統(tǒng)計分析法兩種方法，前者用經(jīng)典的數(shù)學(xué)工具分析現(xiàn)象的因果關(guān)系，后者以隨機(jī)數(shù)學(xué)為工具，通過大量的觀察數(shù)據(jù)尋求統(tǒng)計規(guī)律。近年發(fā)展的系統(tǒng)分析是又一種方法，而層次分析法是系統(tǒng)分析的數(shù)學(xué)工具之一。第4頁，共37頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)59分，星期二層次分析法的基本思路：與人們對某一復(fù)雜決策問題的思維、判斷過程大體一致。選擇鋼筆質(zhì)量、顏色、價格、外形、實(shí)用鋼筆1、鋼筆2、鋼筆3、鋼筆4質(zhì)量、顏色、價格、外形、實(shí)用進(jìn)行排序?qū)⒏鱾€鋼筆的質(zhì)量、顏色、價格、外形、實(shí)用進(jìn)行排序經(jīng)綜合分析決定買哪支鋼筆第5頁，共37頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)59分，星期二二 層次分析法的

4、基本步驟1 建立層次結(jié)構(gòu)模型 一般分為三層，最上面為目標(biāo)層，最下面為方案層，中間是準(zhǔn)則層或指標(biāo)層。例1 的層次結(jié)構(gòu)模型 準(zhǔn)則層 方案層目標(biāo)層買鋼筆質(zhì)量顏色價格外形實(shí)用可供選擇的筆第6頁，共37頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)59分，星期二例2 層次結(jié)構(gòu)模型 準(zhǔn)則層A 方案層B目標(biāo)層Z若上層的每個因素都支配著下一層的所有因素，或被下一層所有因素影響，稱為完全層次結(jié)構(gòu)，否則稱為不完全層次結(jié)構(gòu)。選擇旅游地景色費(fèi)用居住飲食旅途蘇州、杭州、桂林第7頁，共37頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)59分，星期二設(shè)某層有個因素，2 構(gòu)造成對比較矩陣要比較它們對上一層某一準(zhǔn)則（或目標(biāo)）的影響程度，確定在該層中相

5、對于某一準(zhǔn)則所占的比重。（即把個因素對上層某一目標(biāo)的影響程度排序）用 表示第個因素相對于第個因素的比較結(jié)果，則則稱為成對比較矩陣。上述比較是兩兩因素之間進(jìn)行的比較，比較時取19尺度。第8頁，共37頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)59分，星期二尺度第 個因素與第 個因素的影響相同第 個因素比第 個因素的影響稍強(qiáng) 第 個因素比第 個因素的影響強(qiáng) 第 個因素比第 個因素的影響明強(qiáng)第 個因素比第 個因素的影響絕對地強(qiáng) 含義比較尺度：（19尺度的含義）2,4,6,8表示第個因素相對于第個因素的影響介于上述兩個相鄰等級之間。不難定義以上各尺度倒數(shù)的含義，根據(jù)。第9頁，共37頁，2022年，5月20日，1

6、7點(diǎn)59分，星期二由上述定義知，成對比較矩陣則稱為正互反陣。比如，例2的旅游問題中，第二層A的各因素對目標(biāo)層Z的影響兩兩比較結(jié)果如下：滿足一下性質(zhì)ZA1A2A3A4A5A1A2A3A4A511/2433217551/41/711/21/31/31/52111/31/5311分別表示景色、費(fèi)用、居住、飲食、旅途。第10頁，共37頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)59分，星期二由上表，可得成對比較矩陣旅游問題的成對比較矩陣共有6個（一個5階，5個3階）。問題：兩兩進(jìn)行比較后，怎樣才能知道，下層各因素對上層某因素的影響程度的排序結(jié)果呢？第11頁，共37頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)59分，星期二

7、3 層次單排序及一致性檢驗(yàn)層次單排序：確定下層各因素對上層某因素影響程度的過程。用權(quán)值表示影響程度，先從一個簡單的例子看如何確定權(quán)值。例如 一塊石頭重量記為1，打碎分成 各小塊，各塊的重量分別記為：則可得成對比較矩陣由右面矩陣可以看出，第12頁，共37頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)59分，星期二即，但在例2的成對比較矩陣中，在正互反矩陣 中，若 ,則稱 為一致陣。一致陣的性質(zhì)：5. 的任一列(行)都是對應(yīng)于特征根 的特征向量。作業(yè)第13頁，共37頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)59分，星期二若成對比較矩陣是一致陣，則我們自然會取對應(yīng)于最大特征根 的歸一化特征向量 ，且定理： 階互反陣 的

8、最大特征根 ，當(dāng)且僅 當(dāng) 時， 為一致陣。表示下層第 個因素對上層某因素影響程度的權(quán)值。若成對比較矩陣不是一致陣，Saaty等人建議用其最大特征根對應(yīng)的歸一化特征向量作為權(quán)向量 ，則（為什么？）這樣確定權(quán)向量的方法稱為特征根法.第14頁，共37頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)59分，星期二由于 連續(xù)的依賴于 ，則 比 大的越多， 的不一致性越嚴(yán)重。用最大特征值對應(yīng)的特征向量作為被比較因素對上層某因素影響程度的權(quán)向量，其不一致程度越大，引起的判斷誤差越大。因而可以用 數(shù)值的大小來衡量 的不一致程度。定義一致性指標(biāo)其中 為 的對角線元素之和，也為 的特征根之和。第15頁，共37頁，2022年，5

9、月20日，17點(diǎn)59分，星期二則可得一致性指標(biāo) 定義隨機(jī)一致性指標(biāo)隨機(jī)構(gòu)造500個成對比較矩陣隨機(jī)一致性指標(biāo) RI 的數(shù)值：n1234567891011RI000.580.901.121.241.321.411.451.491.51第16頁，共37頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)59分，星期二一致性檢驗(yàn)：利用一致性指標(biāo)和一致性比率0.1及隨機(jī)一致性指標(biāo)的數(shù)值表，對 進(jìn)行檢驗(yàn)的過程。 一般，當(dāng)一致性比率 的不一致程度在容許范圍之內(nèi)，可用其歸一化特征向量作為權(quán)向量，否則要重新構(gòu)造成對比較矩陣，對 加以調(diào)整。時，認(rèn)為第17頁，共37頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)59分，星期二4 層次總排序及其

10、一致性檢驗(yàn) 確定某層所有因素對于總目標(biāo)相對重要性的排序權(quán)值過程，稱為層次總排序 從最高層到最低層逐層進(jìn)行。設(shè)： 對總目標(biāo)Z的排序?yàn)榈膶哟螁闻判驗(yàn)榈?8頁，共37頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)59分，星期二即 層第 個因素對總目標(biāo)的權(quán)值為：層的層次總排序?yàn)椋築層的層次總排序AB第19頁，共37頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)59分，星期二層次總排序的一致性檢驗(yàn)設(shè) 層 對上層( 層)中因素 的層次單排序一致性指標(biāo)為 ，隨機(jī)一致性指為 ，則層次總排序的一致性比率為：當(dāng) 時，認(rèn)為層次總排序通過一致性檢驗(yàn)。到此，根據(jù)最下層（決策層）的層次總排序做出最后決策。第20頁，共37頁，2022年，5月20

11、日，17點(diǎn)59分，星期二1.建立層次結(jié)構(gòu)模型 該結(jié)構(gòu)圖包括目標(biāo)層，準(zhǔn)則層，方案層。層次分析法的基本步驟歸納如下3.計算單排序權(quán)向量并做一致性檢驗(yàn)2.構(gòu)造成對比較矩陣從第二層開始用成對比較矩陣和19尺度。對每個成對比較矩陣計算最大特征值及其對應(yīng)的特征向量，利用一致性指標(biāo)、隨機(jī)一致性指標(biāo)和一致性比率做一致性檢驗(yàn)。若檢驗(yàn)通過，特征向量（歸一化后）即為權(quán)向量；若不通過，需要重新構(gòu)造成對比較矩陣。第21頁，共37頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)59分，星期二計算最下層對最上層總排序的權(quán)向量。4.計算總排序權(quán)向量并做一致性檢驗(yàn)進(jìn)行檢驗(yàn)。若通過，則可按照總排序權(quán)向量表示的結(jié)果進(jìn)行決策，否則需要重新考慮模型

12、或重新構(gòu)造那些一致性比率 較大的成對比較矩陣。利用總排序一致性比率第22頁，共37頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)59分，星期二三 層次分析法建模舉例旅游問題(1)建模分別分別表示景色、費(fèi)用、居住、飲食、旅途。分別表示蘇杭、北戴河、桂林。 第23頁，共37頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)59分，星期二（2）構(gòu)造成對比較矩陣第24頁，共37頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)59分，星期二(3)計算層次單排序的權(quán)向量和一致性檢驗(yàn)成對比較矩陣 的最大特征值表明 通過了一致性驗(yàn)證。故則該特征值對應(yīng)的歸一化特征向量第25頁，共37頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)59分，星期二 對成對比較矩陣 可以

13、求層次總排序的權(quán)向量并進(jìn)行一致性檢驗(yàn)，結(jié)果如下： 計算 可知 通過一致性檢驗(yàn)。第26頁，共37頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)59分，星期二對總目標(biāo)的權(quán)值為：（4）計算層次總排序權(quán)值和一致性檢驗(yàn)又決策層對總目標(biāo)的權(quán)向量為：同理得， 對總目標(biāo)的權(quán)值分別為：故，層次總排序通過一致性檢驗(yàn)。第27頁，共37頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)59分，星期二可作為最后的決策依據(jù)。故最后的決策應(yīng)為去桂林。又 分別表示蘇杭、北戴河、桂林，即各方案的權(quán)重排序?yàn)榈?8頁，共37頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)59分，星期二四 層次分析法的優(yōu)點(diǎn)和局限性1 系統(tǒng)性 層次分析法把研究對象作為一個系統(tǒng)，按照分解、比較

14、判斷、綜合的思維方式進(jìn)行決策 ，成為繼機(jī)理分析、統(tǒng)計分析之后發(fā)展起來的系統(tǒng)分析的重要工具。 2 實(shí)用性 層次分析法把定性和定量方法結(jié)合起來，能處理許多用傳統(tǒng)的最優(yōu)化技術(shù)無法著手的實(shí)際問題，應(yīng)用范圍很廣，同時，這種方法使得決策者與決策分析者能夠相互溝通，決策者甚至可以直接應(yīng)用它，這就增加了決策的有效性。第29頁，共37頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)59分，星期二3 簡潔性 具有中等文化程度的人即可以了解層次分析法的基本原理并掌握該法的基本步驟，計算也非常簡便，并且所得結(jié)果簡單明確，容易被決策者了解和掌握。以上三點(diǎn)體現(xiàn)了層次分析法的優(yōu)點(diǎn)，該法的局限性主要表現(xiàn)在以下幾個方面：第一 只能從原有的方

15、案中優(yōu)選一個出來，沒有辦法得出更好的新方案。第30頁，共37頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)59分，星期二第二 該法中的比較、判斷以及結(jié)果的計算過程都是粗糙 的，不適用于精度較高的問題。第三 從建立層次結(jié)構(gòu)模型到給出成對比較矩陣，人主觀 因素對整個過程的影響很大，這就使得結(jié)果難以讓 所有的決策者接受。當(dāng)然采取專家群體判斷的辦法 是克服這個缺點(diǎn)的一種途徑。思考：多名專家的綜合決策問題第31頁，共37頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)59分，星期二五 正互反陣最大特征值和特征向量實(shí)用算法用定義計算矩陣的特征值和特征向量相當(dāng)困難，特別是階數(shù)較高時；成對比較矩陣是通過定性比較得到的比較粗糙的結(jié)果，對它的精確計算是沒有必要的。尋找簡便的近似方法。第32頁，共37頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)59分，星期二定理對于正矩陣 A （A的所有元素為正）1） A 的最大特征根為正單根 ；2） 對應(yīng)正特征向量 w（w的所有分量為正）；3）其中是對應(yīng) 的歸一化特征向量。第33頁，共37頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)59分，星期二1 冪法 步驟如下a) 任取 n 維歸一化初始向量b) 計算c) 歸一化，即令第34頁，共37頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)59分，星期二d) 對于預(yù)先給定的精度 ，當(dāng)下式成立時即為所求的特征向量；否則返回b；