題型六第20題幾何測量問題

1、題型六 第20題幾何測量問題專題一銳角三角函數(shù)的實際應用題（2012、2010年 20題）典例精講例1 （2012陜西20題8分）如圖，小明想用所學的知識來測量湖心島上的迎賓槐與湖岸上涼亭間的距離，他先在湖岸上的涼亭A處測得湖心島上的迎賓槐 C處位于北偏東65方向，然后，他從涼亭 A處沿湖岸向正東方向走了 100米到B處，測得湖心島上的迎賓槐 C處位于北偏東45方向（點A、B C在同一水平面上），請你利用小明測得的相關數(shù)據(jù)，求湖心島上的迎賓槐C處與湖岸上的涼亭A處之間的距離.（結果精確到1米，參考數(shù)據(jù)sin 25 0.4226,cs25 0.9063,tan25 0,4663,sin 65 0

2、,9063,cs65 0.4226,tan652.1445)例I距圖【思維教練】解決銳角三角函數(shù)實際應用題，首先想到構造直角三角形，將 已知條件和要求量聯(lián)系起來，已知方向角和AB的長度，則只需過點B作AC上的 高BD或過點C作AB邊上的高BD BD即為所構造直角三角形的公共邊，設出未 知數(shù)，列方程求解即可.有關銳角三角函數(shù)的實際應用的解題步驟：（1）審題：通讀題干，結合圖形，在圖中找出與題干相吻合的已知條件，弄明 白哪些是已知量，哪些是未知量；（2）構造直角三角形：將已知條件轉化為示意圖中的邊角關系，再結合問題， 把所求的量轉化到與已知條件相關的直角三角形中，若不能在圖中體現(xiàn)，則需作 適當?shù)妮o

3、助線將其結合；（3）列關系式：在直角三角形中選擇適當?shù)匿J角三角函數(shù)列關系式進行求解;（4）檢驗：解題完畢后，可能會存在一些較為特殊的數(shù)據(jù)，例如含有復雜的小數(shù)等.因此，要特別注意所求數(shù)據(jù)是否符合實際意義，同時還要注意題目中對結果的精確度有無要求.針對演練（2015 昆明 6 分）如圖，兩幢建筑物 AB 和 CD,AB BD,CD BD ,AB=15 m,CD=20m,AB和CD之間有一景觀池，小南在A點測得池中噴泉處E點的俯角為42 ,在C 點測得E點的俯角為45 （點B E、D在同一直線上），求兩幢建筑物之間的距離 BD.（結果精確到 0.1 m,參考數(shù)據(jù)：sin 42 0.67,cos42

4、0.74,tan42 0,90）某數(shù)學興趣小組想測量河流的寬度 AB,河流兩岸AC BD互相平行，河流對 岸有兩棵樹A和C,且A、C之間的距離是60米，他們在D處測得 BDC=36, 前行140米后測得 BPA 45請根據(jù)測量數(shù)據(jù)求出河流的寬度.（結果精確到 0.1 米，參考數(shù)據(jù)：tan36 0.73,sin36 0.59,cs36 0,81）（2016陜西副題20題7分）某市為了創(chuàng)建綠色生態(tài)城市，在城東建了 “東州湖”景區(qū).小明和小亮想測量“東州湖”東西兩端A、B間的距離，于是，他們去了湖邊，如圖，在湖的南岸的水平地面上，選取了可直接到達點B的一點C,并測得BC=35邱，點A位于點C的北偏西

5、73方向，點B位于點C的北偏東45 方向，請你根據(jù)以上提供的信息，計算“東州湖”東西兩端之間AB的長.（結果精確到1米）(參考數(shù)據(jù)：sin 73o 0.9563,cos73o 0.2924, tan 73o 3.2709, 2 1,414)Jt+第3題圖（2017原創(chuàng)）某居民樓后面緊鄰著一個山坡，坡上面是一塊平地，如圖所示， BC/ AD, BE AD ,斜坡AB長為30米，坡角 BAD 75.為了減緩坡面防止山體滑坡，居委會決定對該斜坡進行改造，經地質人員勘測，當坡角不超過50時，可確保山體不滑坡.如果改造時保持坡腳 A不動，坡頂B沿BC向左移15米到F 點處，問這樣改造能確保安全嗎？（參考

6、數(shù)據(jù)：sin 75o 0.97, cos 75o 0.26,tan75o 3.73,sin50o 0.77,cos50o 0.64,tan50o 1.19)口口 口口 n 口（2017原創(chuàng)）如圖，在一次軍事演習中，藍方在一條東西走向的公路上的 A處朝正南方向撤退，紅方在公路上的B處沿南偏西62。方向前進實施攔截.紅方行駛1000米到達C處后，因前方無法通行，紅方決定調整方向，再朝南偏西45方 向前進了相同的距離，剛好在D處成功攔截藍方，求攔截點D處到公路的距離（結 果精確到1m.（參考數(shù)據(jù)：sin 28o 0.4695,cos28o 0.8829,tan 28o 0.5317, 2 1,414

7、2, 3 1.7321）0第5題圖（2017原創(chuàng)）某校九年級數(shù)學興趣小組要測量二七紀念塔的高度，他們在一座15.8米高的大樓CD的底部D處測得塔頂A的仰角恰好為45 ,在樓頂C處測得塔頂A的仰角為3652 ,已知大樓的底部D與塔底B在同一水平線上，求二七 紀念塔的高度 AB.（結果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：sin36520.60,cs36520.80, tan36520.75）Ji EJi E晶 6 Win口口口口口（2016泰州10分）如圖，地面上兩個村莊 C、D處于同一水平線上，一飛行 器在空中以6千米/小時的速度沿 MNJ向水平飛行，航線 MNf C、D在同一鉛 直平面內，當該飛行器飛行至村莊

8、 C的正上方A處時，測得 NAD 60,該飛行器從A處飛行40分鐘至B處時，測得 ABD 75.求村莊C、D間的距離.（J3取 1.73,結果精確到0.1千米）第7蹈圖（2017原創(chuàng)）小宏想利用所學知識測量郊區(qū)某圓柱體水塔上部蓄水池的外徑 （水塔的厚度忽略不計）.如圖，水塔上部為圓柱體蓄水池，下部為圓柱體支撐柱，兩圓柱體的底面圓心在同一條豎直直線上，已知CD是上部圓柱體的外徑，點G是CD上一點，EF EA,GA EA,EF為小宏的身高，點 E距離點A為5m小宏在點F處測得水塔上點G的仰角為60，點C的仰角為75 .圓柱體支撐柱的 直徑AB為2m且圖中的所有點都在同一平面內，求水塔上部蓄水池外徑

9、CD的長.（結果精確到 0.1 m , 參考數(shù)據(jù)： sin75o 0.97,cos75o 0.26, tan75o 3.73, . 2 1.41, . 3 1.73）力 /7 廠*第8燃圖（2016樂山10分）如圖，禁止捕魚期間，某海上稽查隊在某海城巡邏，上午 某一時刻在A處接到指揮部通知，在他們東北方向距離12海里的B處有一艘捕魚船，正在沿南偏東75方向以每小時l0海里的速度航行，稽查隊員立即乘坐 巡邏船以每小時14海里的速度沿北偏東某一方向出發(fā)，在C處成功攔截捕魚船， 求巡邏船從出發(fā)到成功攔截捕魚船所用的時間.第9題圖（2016呼和浩特改編）在一次綜合實踐活動中，小明要測某地一座古塔AE的

10、高度.如圖，已知塔基頂端 B（和A、E共線）與地面C處固定的繩索的長BC為50 m,她先測得 BCA 30o.然后從C點沿AC方向走20 m到達D點，又測得塔 頂E的仰角為50o .求塔高AE.（結果精確到0.1m,人的高度忽略不計，參考數(shù) 據(jù)：sin50o 0.77, cos50o 0.64, tan50o 1.19, .3 1.73）tic 4 扉10嬤圉（2015河南9分）如圖所示，某數(shù)學活動小組選定測量小河對岸大樹BC的高度，他們在斜坡上D處測得大樹頂端B的仰角是30,朝大樹方向下坡走6米 到達坡底A處，在A處測得大樹頂端B的仰角是48.若坡角 FAE 30,求大樹的高度.（結果保留整

11、數(shù)，參考數(shù)據(jù)：sin48 0.74, cs8 0.67,tan48 1.11, .3 1.73)第11題圖（2016西工大附中模擬）如圖，“和諧號”高鐵列車的小桌板收起時近似看作與地面垂直，小桌板的支架底端與桌面頂端的距離 OA=751米，展開小桌板使桌面保持水平，此時CB AO, AOB ACB 37,且支架長OB與桌面寬BC的長度之和等于OA的長度.求小桌板桌面的寬度 BC.（結果精確到0.1厘米，參考數(shù)據(jù)：sin37 0.60,cs37 0.80,tan37 0.75,計算過程中三角函數(shù)取值精確至IJ 0.01 )第12題國專題二相似三角形的實際應用題（20132016、2011、200

12、8 2009 年 20 題）典例精講例2 （2016陜西20題7分）某市為了打造森林城市，樹立城市新地標，實現(xiàn)綠 色、共享發(fā)展理念，在城南建起了 “望月閣”及環(huán)閣公園，小亮、小芳等同學想 用一些測量工具和所學的幾何知識測量 “望月閣”的高度，來檢驗自己掌握知識 和運用知識的能力.他們經過觀察發(fā)現(xiàn)，觀測點與“望月閣”底部間的距離不易 測得，因此經過研究需要兩次測量.于是他們首先用平面鏡進行測量，方法如下： 如圖，小芳在小亮和“望月閣”之間的直線BM上平放一平面鏡，在鏡面上做了一個標記，這個標記在直線 BM上的對應位置為點C.鏡子不動，小亮看著鏡面 上的標記，他來回走動，走到點D時，看到“望月閣”

13、頂端點A在鏡面中的像與 鏡面上的標記重合.這時，測得小亮眼睛與地面的高度 ED=1.5米，CD=2h然 后，在陽光下，他們用測影長的方法進行了第二次測量，方法如下：如圖，小亮 從D點沿DM方向走了 16米，到達“望月閣”影子的末端 F點處，此時，測得小 亮身高 FC 的影長 FH=2.5 米,FG=1.65 米.如圖，已知： AB BM,ED BM ,GF BM ,其中，測量時所使用的平面鏡的厚度忽略不計.請你根據(jù)題中提供的相關信息，求出“望月閣”的高 AB的長度.【思維教練】解決此類問題，首先在題圖上標出已知條件和未知條件，然后通過相似三角形列出比例關系.運用三角形相似的判定和性質解決實際問

14、題的方法步驟：（1）將實際問題轉化為相似三角形問題；（2）找出相似三角形；（3）根據(jù)相似三角形的性質，表示出相應的量，并求解.常見的運用相似三角形的有關性質解決實際問題，如利用光的反射定律求物體的高度，利用影子的長度計算建筑物的高度：同一時刻，物高與影長成正比例，有 身高建筑物的高度 外建筑物的影長針對演練（2017原創(chuàng)）數(shù)學興趣小組的同學們想利用樹影測量樹高 AR課外活動時他們 在陽光下測得一根長為1米的yT竿EF的影子FG是0.9米，但當他們馬上測量樹 高時，發(fā)現(xiàn)樹的影子不落在地面上，有一部分影子落在教學樓的臺階上， 且影子 的末端剛好落在最后一級臺階的上端 C處，同學們認為繼續(xù)測量也可以

15、求出樹 高，他們測得落在地面的影子長為1.1米，臺階總的高度為1.O米，臺階水平總 寬度為1.6米（每級臺階的寬度相同），請你和他們一起算一下，樹高為多少？ （假設兩次測量時太陽光線是平行的）第1題圖（2017原創(chuàng)）如圖，小燕同學用自制的直角三角形紙版DEF測量塔白高度AB,她調整自己的位置，使斜邊DF保持水平，并且邊DE與點B在同一直線上，已知 紙板的兩條直角邊DE=40cm EF=20cm測得邊DF離地面的高度AC=1.5 m CD=60 m,求塔高AB.ti第1幽困（2017原刨）如圖是一種躺椅及其結構示意圖，扶手AB與座板CD都平行于地面，靠背DWf支架OE平行，前支架OE后支架OF分

16、別交座板CDT點G和 點D.扶手AB與靠背DM痰于點N,量得 EOF 90o, ODC 30o.ON =40 cm, EG =30 cm.求兩支架落地點E、F之間的距離.第3題國（2017原創(chuàng)）在學習完利用相似三角形進行測量這節(jié)內容后，小波與小軍想 利用所學知識測量學校操場上的旗桿高度.于是，小波想出了一個方法并進行如下操作：小波在距離旗桿（EF）41.6米的點D處舉起一面小圓鏡C（可近似看做一個 點）讓小軍面對小波從鏡面中觀察旗桿頂端 E;利用皮尺測量出小波與小軍之間的距離 BD=1.5米，小波舉起的小圓鏡到 地面的距離CD=2.1米時，小軍正好能從鏡面中觀察到旗桿頂端 E,此時小軍的 目光

17、出發(fā)點到地面的距離 AB=1.7米.已知小波、小軍、旗桿三者均在同一平面內，且均與地面垂直.請你根據(jù)以 上數(shù)據(jù)計算出旗桿EF的高度.（結果精確到0.1米）第4題留（2015陜西20題7分）晚飯后，小聰和小軍在社區(qū)廣場散步.小聰問小軍:“你有多高？”小軍一時語塞，小聰思考片刻，提議用廣場照明燈下的影長及地磚長來測量小軍的身高.于是，兩人在燈下沿直線NC動，如圖，當小聰正好站在廣場的A點（距N點5塊地磚長）時，其影長 AD恰好為1塊地磚長；當小 軍正好站在廣場的口點（距N點9塊地磚長）時，其影長BF恰好為2塊地磚長.已 知廣場地面由邊長為 0.8米的正方形地磚鋪成，小聰?shù)纳砀?AC為1.6米，MN

18、 NQ, AC NQ,BE NQ .請你根據(jù)以上信息，求出小軍身高 BE的長.（結果精確到0.01米）第5題圖（2017原創(chuàng)）小明和小楠想測量學校旁邊停車場一輛機動車車位所占的寬度， 如圖，矩形ABC此供一輛機動車停放的車位示意圖，已知車位的長AB =5.4 m,寬BC=2m又測得車位上D點到警戒線的距離DF=2.6 m請你計算車位所占的寬 度EF約為多少米？（結果精確到0.01米）第6題圉（2015陜西副題20題7分）周末，小凱和同學帶著皮尺，去測量楊大爺家露 臺遮陽篷的寬度，如圖，由于無法直接測量，小凱便在樓前地面上選擇了一條直 線EF,通過在直線EF上選點觀測，發(fā)現(xiàn)當他位于 N點時，他的

19、視線從M點通過 露臺D點正好落在遮陽篷A點處；當他位于N點時，視線從M點通過D點正好 落在遮陽篷B點處，這樣觀測到的兩個點 A、B間的距離即為遮陽篷的寬.已知ABCDEF ,點 C在 AG 上，AG,DE ,MN ,M N 均垂直于 EF, MN MN,露臺的寬CD=GEU得GE =5米，EN =12.3米，NN 6.2米.請你根據(jù)以上信息求出遮陽篷的寬AB是多少米？（結果精確到0.01米）1 H1I_ G E V 第7勉圉（2017原創(chuàng)）物理實驗課上，西西正在做小孔成像實驗，實驗原理如圖所示， 在實驗中，西西發(fā)現(xiàn)，當固定光屏和蠟燭，移動小孔 O的位置，燭焰在光屏上所成像的大小也會發(fā)生變化，于

20、是她做了如下實驗：首先將蠟燭和光屏固定，其中 蠟燭與光屏的距離為1 m,將小孔0置于距離光屏0.3 m的位置時，測得此時燭 焰AB的像高CD為6 cm,然后將小孔O向蠟燭的方向移動0.3 m計算此時像高CD的大小.（小孔大小和厚度不計，結果精確到 0.1 cm）光哥小孔端蛭弟8 圖（2017原創(chuàng)）如圖所示，某工程隊小組為測量一個山體高度，分成甲、乙兩個 小組進行配合測量，首先甲小組的成員在點C處由一定視角觀察乙小組在山頂?shù)?觀測點A,與此同時，乙小組成員在點 A處確定山體垂直于地面的觀測點 B,并 在觀測點A與甲小組視角互余的角度俯視觀察，并在地確定觀測點D,最后甲小組測出觀測點C與觀測點D的距離為625米，