高考文科數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：生活中的優(yōu)化問題舉例(數(shù)學(xué)建模二)課件

1、生活中的優(yōu)化問題舉例（數(shù)學(xué)建模二）高考文科數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)高考文科數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)1.解決優(yōu)化問題的基本思路教材研讀2.利用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問題的一般步驟考點一 利潤最大、效率最高問題考點二 費用最省、用料最少問題考點三 幾何體的表面積、容積問題考點突破1.解決優(yōu)化問題的基本思路教材研讀2.利用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問題的1.解決優(yōu)化問題的基本思路(1)優(yōu)化問題往往涉及變量之間的變化,因而就產(chǎn)生了函數(shù)關(guān)系,這時就可以利用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問題.教材研讀1.解決優(yōu)化問題的基本思路教材研讀(2)導(dǎo)數(shù)是解決這類問題的基本方法之一.利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題的基本思路是: (2)導(dǎo)數(shù)是解決這類問題的基本方法之一.利用導(dǎo)數(shù)解決生

2、活中的2.利用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問題的一般步驟(1)抽象出實際問題的數(shù)學(xué)模型,列出函數(shù)解析式y(tǒng)=f(x);(2)求函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f (x),并解方程f (x)=0,即求函數(shù)可能的極值點;(3)比較函數(shù)f(x)在區(qū)間端點的函數(shù)值和可疑點的函數(shù)值的大小,得出函數(shù)f(x)的最大值或最小值;(4)根據(jù)實際問題的意義給出答案.2.利用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問題的一般步驟1.若商品的年利潤y(萬元)與年產(chǎn)量x(百萬件)的函數(shù)關(guān)系式為y=-x3+27x+123(x0),則獲得最大利潤時的年產(chǎn)量為( )A.1百萬件B.2百萬件C.3百萬件D.4百萬件答案Cy=-3x2+27=-3(x+3)(x-3),當(dāng)0 x0;當(dāng)x3時

3、,y0.故當(dāng)x=3時,該商品的年利潤最大.C1.若商品的年利潤y(萬元)與年產(chǎn)量x(百萬件)的函數(shù)關(guān)系式2.將8分為兩個非負(fù)數(shù)之和,使其立方和最小,則這兩個數(shù)為( )A.2和6B.4和4C.3和5D.以上都不對答案B設(shè)其中一個數(shù)為x,則另一個數(shù)為8-x,其立方和y=x3+(8-x)3=512-192x+24x2且0 x8,則y=48x-192.令y=0,即48x-192=0,解得x=4.當(dāng)0 x4時,y0;當(dāng)40,所以當(dāng)x=4時,y取得極小值,也是最小值.所以這兩個數(shù)為4和4.B2.將8分為兩個非負(fù)數(shù)之和,使其立方和最小,則這兩個數(shù)為(3.某集團為了獲得更大的利潤,每年要投入一定的資金用于廣告

4、促銷.經(jīng)調(diào)查,每年投入廣告費t(百萬元),可增加銷售額-t2+5t(百萬元)(0t3).若該集團將當(dāng)年的廣告費控制在三百萬元以內(nèi),且使集團由廣告費而產(chǎn)生的收益最大,則應(yīng)投入廣告費百萬元.答案2解析設(shè)投入廣告費t(百萬元)后由此增加的收益為f(t)(百萬元),則f(t)=(-t2+5t)-t=-t2+4t=-(t-2)2+4(0t3).所以當(dāng)t=2時, f(t)max=4,即當(dāng)集團投入2百萬元廣告費時,才能使集團由廣告費而產(chǎn)生的收益最大.3.某集團為了獲得更大的利潤,每年要投入一定的資金用于廣告促典例1當(dāng)前,網(wǎng)校教學(xué)越來越受到廣大學(xué)生的喜愛,它已經(jīng)成為學(xué)生課外學(xué)習(xí)的一種趨勢.假設(shè)某網(wǎng)校的套題每日

5、的銷售量y(單位:千套)與銷售價格x(單位:元/套)滿足的函數(shù)關(guān)系式為y=+4(x-6)2,其中2x6,m為常數(shù).已知銷售價格為4元/套時,每日可售出套題21千套.利潤最大、效率最高問題考點突破典例1當(dāng)前,網(wǎng)校教學(xué)越來越受到廣大學(xué)生的喜愛,它已經(jīng)成為學(xué)(1)求m的值;(2)假設(shè)網(wǎng)校的員工工資、辦公等所有開銷折合為每套題2元(只考慮銷售出的套數(shù)),試確定銷售價格x的值,使網(wǎng)校每日銷售套題所獲得的利潤最大.(精確到0.1)解析(1)當(dāng)x=4時,y=21,代入函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=+4(x-6)2,得+16=21,解得m=10.(1)求m的值;解析(1)當(dāng)x=4時,y=21,代入函數(shù)關(guān)(2)由(1)可知,套

6、題每日的銷售量y=+4(x-6)2,所以每日銷售套題所獲得的利潤f(x)=(x-2)=10+4(x-6)2(x-2)=4x3-56x2+240 x-278(2x6),所以f (x)=12x2-112x+240=4(3x-10)(x-6)(2x0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x時, f (x)0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減.(2)由(1)可知,套題每日的銷售量y=+4(x-6)2,所以x=是函數(shù)f(x)在區(qū)間(2,6)上的極大值點,也是最大值點.所以當(dāng)x=3.3時,函數(shù)f(x)取得最大值.故當(dāng)銷售價格約為3.3元/套時,網(wǎng)校每日銷售套題所獲得的利潤最大.所以x=是函數(shù)f(x)在區(qū)間(2,6)上的極大值點,

7、也是最方法技巧1.利潤最大問題是生活中常見的一類問題,求解利潤最大問題一般根據(jù)“利潤=收入-成本”建立函數(shù)關(guān)系式,再利用導(dǎo)數(shù)求最大值.2.注意事項:價格要大于成本,否則就會虧本;銷量要大于0,否則不會獲利.方法技巧1.利潤最大問題是生活中常見的一類問題,求解利潤最大1-1甲方是一農(nóng)場,乙方是一工廠,由于乙方生產(chǎn)需占用甲方的資源,因此甲方有權(quán)向乙方索賠,以此來彌補經(jīng)濟損失并獲得一定的凈收入.在乙方不賠付甲方的情況下,乙方的年利潤x(元)與年產(chǎn)量t(噸)滿足函數(shù)關(guān)系式x=2 000.若乙方每生產(chǎn)一噸產(chǎn)品必須賠付甲方s元(以下稱s為賠付價格).(1)將乙方的實際年利潤w(元)表示為年產(chǎn)量t(噸)的函

8、數(shù),并求出乙方實際年利潤最大時的年產(chǎn)量;(2)甲方每年受乙方生產(chǎn)影響的經(jīng)濟損失金額y(元)與年產(chǎn)量t(噸)的函數(shù)1-1甲方是一農(nóng)場,乙方是一工廠,由于乙方生產(chǎn)需占用甲方的關(guān)系式為y=0.002t2,在乙方按照獲得最大實際年利潤的年產(chǎn)量進行生產(chǎn)的前提下,甲方要在索賠中獲得最大凈收入,應(yīng)向乙方要求的賠付價格s是多少?關(guān)系式為y=0.002t2,在乙方按照獲得最大實際年利潤的年解析(1)解法一:因為賠付價格為s元/噸,所以乙方的實際年利潤為w(t)=2 000-st.因為w(t)=2 000-s()2=-s+,所以當(dāng)t=時,w取得最大值.所以乙方實際年利潤最大時的年產(chǎn)量為噸.解法二:因為賠付價格為s

9、元/噸,所以乙方的實際年利潤為w(t)=2 000-st.解析(1)解法一:因為賠付價格為s元/噸,所以乙方的實際年則(t)=-s=,令w(t)=0,得t=.當(dāng)t0;當(dāng)t時,w(t)0,所以t=時,w(t)取得極大值,也是最大值.所以乙方實際年利潤最大時的年產(chǎn)量為噸.(2)設(shè)甲方凈收入為v元,則v(s)=st-0.002t2.將t=代入上式,得到甲方凈收入v與賠付價格s之間的函數(shù)關(guān)系式則(t)=-s=,令w(t)=0,得t=.為v(s)=-,則v(s)=-+=.令v(s)=0,得s=20.當(dāng)s0;當(dāng)s20時,v(s)0,所以s=20時,v(s)取得極大值,也是最大值.所以甲方向乙方要求賠付價格

10、為20元/噸時,獲得最大凈收入.為v(s)=-,典例2為了在夏季降溫和冬季供暖時減小能源損耗,房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層.某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層,每厘米厚的隔熱層建筑成本為6萬元.該建筑物每年的能源消耗費用C(單位:萬元)與隔熱層厚度x(單位:cm)滿足關(guān)系:C(x)=(0 x10),若不建隔熱層,每年能源消耗費用為8萬元.設(shè)f(x)為隔熱層建筑費用與20年的能源消耗費用之和.(1)求k的值及f(x)的表達式;(2)隔熱層修建多厚時,總費用f(x)達到最小?并求最小值.費用最省、用料最少問題典例2為了在夏季降溫和冬季供暖時減小能源損耗,房屋的屋頂和解析(1)每年的能源消耗費用

11、為C(x)=(0 x10),由題可知C(0)=8,得k=40,因此C(x)=.而隔熱層的建造費用為C1(x)=6x.所以隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和為f(x)=20C(x)+C1(x)=20+6x=+6x(0 x10).(2)f (x)=6-,令f (x)=0,即=6,解得x=5或x=-(舍去).解析(1)每年的能源消耗費用為C(x)=(0 x10)當(dāng)0 x5時, f (x)0;當(dāng)50;當(dāng)x=5時, f (x)=0.故x=5是f(x)的最小值點,對應(yīng)的最小值為f(5)=65+=70.故當(dāng)隔熱層修建5 cm厚時,總費用達到最小值70萬元.當(dāng)0 x5時, f (x)0;當(dāng)5x10時,

12、f 方法技巧1.解決費用最省問題,也是導(dǎo)數(shù)的一個重要應(yīng)用.解決這類問題,第一要選取合適的量為自變量,并確定其取值范圍;第二將費用表示為自變量的函數(shù),再利用導(dǎo)數(shù)求最值,使問題得到解決.2.把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,正確列出解析式是解題的關(guān)鍵,利用導(dǎo)數(shù)求最值時要注意函數(shù)的定義域.方法技巧1.解決費用最省問題,也是導(dǎo)數(shù)的一個重要應(yīng)用.解決這2-1已知A,B兩地相距200千米,一只船從A地逆水航行到B地,水速為8千米/時,船在靜水中的航行速度為v千米/時(80),則y1=kv2.當(dāng)v=12時,y1=720,720=k122,得k=5.設(shè)全程燃料費為y元,由題意,得y=y1=,y=.令y=0,解得v=0

13、(舍去)或v=16.若v016,當(dāng)v(8,16)時,y0,y為增函數(shù).故v=16(千米/時)時,y=取得極小值,也是最小值,此時全程解析設(shè)船每小時航行所需的燃料費為y1元,比例系數(shù)為k(k燃料費最省.若v016,當(dāng)v(8,v0時,y0,y=為增函數(shù).故當(dāng)v=v0時,y取極小值,也是最小值,此時全程燃料費最省.綜上可得,若v016,則當(dāng)v=16(千米/時)時,全程燃料費最省;若v0V1.解析(1)設(shè)切去的正方形邊長為x,則焊接成的盒子的底面邊長為4-2x,高為x.所以V1=(4-2x)2x=4(x3-4x2+4x)(0 x2),(1)問:切去的小正方形邊長為多少時,盒子容積最大?最大容積則V1=4(3x2-8x+4).令V1=0,得x1=,x2=2(舍去).又V1=12(x-2),當(dāng)0 x0;當(dāng)x2時,V1V1故此方案符合要求.方法技巧利用導(dǎo)數(shù)解決幾何中的面積、體積最大問題時,一定要看清題意,分析幾何體的特征,設(shè)出變量,列出函數(shù)關(guān)系式,注明定義域,再利用導(dǎo)數(shù)求最值.若在定義域內(nèi)只有一個極值,則這個極值便是最值,解此類題時,要注意利用數(shù)形結(jié)合的思想及函數(shù)的思想分析問題.方法技巧3-1在一個半徑為1的半球材料中截取兩個高度均為h的圓柱,其軸截面如圖所示.設(shè)兩個圓柱體積之和為V=f(h).(1)求f(h)的表達式,并寫出h的取值范圍;(2)求兩個圓柱體積之和V的最大值. 3-1在一個半