因子分析例題

1、優(yōu)選文檔優(yōu)選文檔PAGEPAGE5優(yōu)選文檔PAGE共享知識分享快樂因子解析因子解析（FactorAnalysis）是主成分解析的推行，它也是從研究相關(guān)矩陣內(nèi)部的依賴關(guān)系出發(fā)，把一些擁有千頭萬緒關(guān)系的變量概括為少許幾個(gè)綜合變量的一種多變量統(tǒng)計(jì)解析方法。第一節(jié)因子解析的基本思想第一我們看下面兩個(gè)實(shí)質(zhì)例子：1例1某企業(yè)招聘人才，對每位應(yīng)聘者進(jìn)行容顏、申請書的形式、專業(yè)能力、討人喜歡的能力、自信心、洞察力、誠實(shí)、銷售本領(lǐng)、經(jīng)驗(yàn)、積極性、理想、理解能力、潛藏能力、實(shí)質(zhì)能力、適應(yīng)性等15個(gè)方面的核查。這15個(gè)方面可概括為應(yīng)聘者的外露能力、討人喜歡的能力、經(jīng)驗(yàn)、專業(yè)能力4個(gè)方面，每一方面稱之為一個(gè)公共因子。

2、企業(yè)可依照這4個(gè)公共因子的情況來衡量應(yīng)聘者的綜合水平。例2例2在企業(yè)經(jīng)濟(jì)效益的議論中，有經(jīng)濟(jì)效益的指標(biāo)系統(tǒng)。平時(shí)這個(gè)指標(biāo)系統(tǒng)有八項(xiàng)指標(biāo)：固定財(cái)富利稅率、資本利稅率、銷售收入利稅率、資本利稅率、固定財(cái)富產(chǎn)值率、流動資本周轉(zhuǎn)天數(shù)、萬元產(chǎn)值能耗、全員勞動生產(chǎn)率等。這八項(xiàng)指標(biāo)可概括為盈利能力、資本和人力利用、產(chǎn)值能耗三個(gè)方面。這三個(gè)方面在企業(yè)的生產(chǎn)經(jīng)營活動中為主要因子，起著支配作用，企業(yè)要提高經(jīng)濟(jì)效益就要在這三個(gè)公共因子方面下功夫。因子解析的基本思想：是經(jīng)過變量（或樣品）的相關(guān)系數(shù)矩陣（對樣品是相似系數(shù)矩陣）內(nèi)部結(jié)構(gòu)的研究，找出能控制全部變量（或樣品）的少許幾個(gè)隨機(jī)變量去描述多個(gè)變量（或樣品）之間的相

3、關(guān)（相似）關(guān)系，但在這里，這少許幾個(gè)隨機(jī)變量是不能觀察的，平時(shí)稱為因子。因子解析分為兩類，即R型因子解析（對變量作因子解析），Q型因子解析（對樣品作因子解析）。第二節(jié)第二節(jié)因子解析的數(shù)學(xué)模型11模型（R型）設(shè)X(x1,x2,xp)為觀察到的隨機(jī)向量，F(xiàn)(F1,F2,Fm)是不能觀察的向量。有x1a11F1a1mFm1x2a21F1a2mFm2xpap1F1apmFmp即XAF其中(1,p)稱作誤差或特別因子。滿足假設(shè)：1）mp2）cov(F,)0，3）var(F)Im，var()diag(12,p2)。稱Fi為第i個(gè)公共因子，aij為因子載荷。因子解析與主成分的關(guān)系：聯(lián)系：兩者都能夠看作逼近協(xié)

4、方差矩陣。差別：主成分解析的數(shù)學(xué)模型是一種變換，因子解析模型是描述X的協(xié)方差的結(jié)構(gòu)的一種模型。其次，主成分中aij唯一確定，但因子解析中，每個(gè)因子的系數(shù)不是唯一的。與多變量回歸解析不同樣，此處的“自變量”F是不能觀察的。2.公共因子：因子載荷和變量共同度的統(tǒng)計(jì)意義。假設(shè)因子模型中，全部變量和因子都已標(biāo)準(zhǔn)化。卑微如螻蟻、剛毅似大象共享知識分享快樂（1）（1）因子載荷的統(tǒng)計(jì)意義設(shè)xiai1F1ainFmii1,pmmE(xiFj)aikE(FkFj)aikr(FkFj)aijFkFjr(FjF1)1aijrxi,Fj則K1K1由于，不相關(guān)，且即因子載荷aij是第i個(gè)變量與第j個(gè)公共因子的相關(guān)系數(shù)。

5、2m2hiaij（i1,p）稱作變量xi的共同度：(2)變量共同度的統(tǒng)計(jì)意義：j1m22m2222var(xi)var(aijFj)var(i)aijvar(Fj)iaijihiij1j1即122xi的方差，其共同度越大，說明公共因子包含的xi的信息就hii即共同度是公共因子所占的越多。3）公共因子Fj的方差貢獻(xiàn)的統(tǒng)計(jì)意義因子載荷矩陣中列的平方和。psjaijj1,pi1稱sj為公共因子Fj對xi的貢獻(xiàn)，是衡量公共因子相對重要性的指標(biāo)。第三節(jié)第三節(jié)因子載荷的估計(jì)方法這是常用的主成分法，設(shè)隨機(jī)向量X(x1,xp)的協(xié)方差為，的特色值為12p0其相應(yīng)的特色向量為e1,e2,ep,（標(biāo)準(zhǔn)正交基）則：

6、Udiag1,pUpieiei(1e1,pep)(1e1,pep)i1當(dāng)公共因子Fi有P個(gè)時(shí)，特別因子為0，因此，XAFA為因子載荷陣。因此，D(X)var(AF)Avar(F)AAA因此，AA，因此,A為（1e1,pep），因此，A(1e1,pep)因此第j列因子載荷為第j個(gè)主成分ej與j的乘積。因此稱為主成分法。當(dāng)最后pm個(gè)特色根很小時(shí)，去掉m1em1,pep此時(shí)，A(1e1,mem)，方差A(yù)A=(1e1,mem)(1e1,mem)+diag(12,p2)別的，當(dāng)未知時(shí)，用樣本協(xié)方差s代替，或樣真相關(guān)陣R代替。一般設(shè)?1p為樣真相關(guān)陣R的特色根，相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)正交化特色向量為e?,e?p，則因

7、子載荷陣的估計(jì)為?)1p。設(shè)mA(aij即A(?1e1,mem)第四節(jié)第四節(jié)因子旋轉(zhuǎn)建立因子解析數(shù)學(xué)模型的目的不但是為了找出公共因子，更重要的是要知道每個(gè)公共因子的意義，以便對實(shí)責(zé)問題進(jìn)行解析。若是每個(gè)公共因子的涵義不清，不便于對實(shí)質(zhì)背景進(jìn)行講解，這時(shí)依照因子載荷卑微如螻蟻、剛毅似大象共享知識分享快樂陣的不唯一性，可對因子載荷陣推行旋轉(zhuǎn)，即用一個(gè)正交陣右乘使旋轉(zhuǎn)后的因子載荷陣結(jié)構(gòu)簡化，便于對公共因子進(jìn)行講解。所謂結(jié)構(gòu)簡化就是使每個(gè)變量僅在一個(gè)公共因子上有較大的載荷，而在其余公共因子上的載荷比較小。這種變換因子載荷的方法稱為因子旋轉(zhuǎn)。因子旋轉(zhuǎn)有方差最大正交旋轉(zhuǎn)和斜交旋轉(zhuǎn)，此處只介紹方差最大正交旋

8、轉(zhuǎn)。先考慮兩個(gè)因子的平面正交旋轉(zhuǎn)，設(shè)因子載荷矩陣為：a11a12a21a22Acossinap1ap2，sincos為正交矩陣。記BAa11cosa12sina11sina12cosap1cosap2sinap1sinap2cosb11b12bp1bp2（*）這樣做目的是希望所得結(jié)果能使載荷矩陣的每一列元素按其平方值說也許盡可能大也許盡可能小，即向1和0兩極分化，也許說因子的貢獻(xiàn)越分別越好。這實(shí)際上是希望將變量x1,x2,xp分成兩部分，一部分主要與第一因子相關(guān)，另一部分主要與第二因子相關(guān)，這也就是要求(b112,bp21),(b122,bp22)這兩組數(shù)據(jù)的方差要盡可能地大，考慮各列的相對方

9、差V1pp(bi2(12)2i1hipp2(pp2p2bi)21(bi)2(bi)2)i1hi2p2i1hi2i1hi21,222這里取bi是為了除掉符號不同樣的影響，除以hi是為了除掉各個(gè)變量對公共因子依賴程度不同樣的影響?，F(xiàn)在要求總的方差達(dá)到最大，即要求使GV1V2達(dá)到最大值，于是考慮G對的導(dǎo)數(shù)，求出最大值。若是公共因子多于2個(gè)，我們能夠逐次對每2個(gè)進(jìn)行上述的旋轉(zhuǎn)，當(dāng)公共因子數(shù)m2時(shí)，可以每次取2個(gè)，全部配對旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)時(shí)總是對A陣中第列、列兩列進(jìn)行，此時(shí)公式（*）中只需將aj1aj，aj2aj就行了。因此共需進(jìn)行次旋轉(zhuǎn)，但是旋轉(zhuǎn)達(dá)成后，其實(shí)不能夠認(rèn)為就已2經(jīng)達(dá)到目的，還可以夠重新開始，進(jìn)行

10、第二輪cm次配對旋轉(zhuǎn)。依次進(jìn)行，能夠是總的方差越來越大，直到收斂到某一極限。例：觀察我國各省市社會發(fā)展綜合情況一、一、運(yùn)用方法：多元統(tǒng)計(jì)因子解析因子解析的基本思想：經(jīng)過變量的相關(guān)系數(shù)矩陣內(nèi)部結(jié)構(gòu)的研究，找出能夠控制全部變量的少許幾個(gè)隨機(jī)變量的少許幾個(gè)隨機(jī)變量去描述多個(gè)變量之間的相關(guān)關(guān)系，但在這里，這少許.幾個(gè)隨機(jī)變量是不能觀察的，平時(shí)稱為因子。爾后依照相關(guān)性的大小把變量分組，只得同組內(nèi)的變量之間相關(guān)性較高，但不同樣組的變量相關(guān)性較低。二、二、因子解析方法的計(jì)算步驟：卑微如螻蟻、剛毅似大象共享知識分享快樂第一步：將原始數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化。第二步：建立變量的相關(guān)系數(shù)R。第三步：求R的特色根極其相應(yīng)的單位特

11、色向量。第四步：對因子載荷陣推行最大正交旋轉(zhuǎn)。第五步：計(jì)算因子得分。以下是我國各省市綜合發(fā)展情況做因子解析。數(shù)據(jù)表中采用了六個(gè)指標(biāo)分別是：人均GDP（元）X1，新增固定財(cái)富（億元）X2，城鎮(zhèn)居民人均年可支配收入（元）X3，農(nóng)村居民機(jī)家庭純收入（元）X4，高等學(xué)校數(shù)量（所）X5，衛(wèi)活力構(gòu)數(shù)量（所）X6。原始數(shù)據(jù)見下表：地區(qū)人均gdp新增財(cái)富城鎮(zhèn)人均農(nóng)村人均高校數(shù)量衛(wèi)活力構(gòu)北京1026530.8162353223654955天津816449.1349292406213182河北337677.76392116684710266山西281933.9733051206265922內(nèi)蒙古301354.51

12、28631208194915遼寧6103124.0237061756616719吉林370328.6531741609433891黑龍江442748.5133751766387637上海15204128.9371914245455286江蘇5785101.09463424566712039浙江614941.8862212966378721安徽252155.7437951302356593福建538618.3545062048304537江西237626.2833761537315423山東4473102.54426417154810463河南247571.3632991231507661湖北3

13、34137.7542081511569744湖南270143.0146991425479137廣東638051.8274382699428848廣西277232.5247911446275571海南48025.354770151951653四川251680.97400211586418885貴州155322.0739311086223934云南249048.4840851010266395陜西234426.313309962466215甘肅192514.843152880174131青海29104.163319102971176寧夏26857.94338299871028新疆393526.6541631136213932數(shù)據(jù)本源中國統(tǒng)計(jì)年鑒1、將原始數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化2、建立六個(gè)指標(biāo)的相關(guān)系數(shù)陣R3、共因子方差4、總方差解建立因子載荷陣：5、建立因子載荷陣：卑微如螻蟻、剛毅似大象共享知識分享快樂由于前三個(gè)特色值的累計(jì)貢獻(xiàn)率已達(dá)93.505%，因此取前三個(gè)特色值建立因子載荷陣以下：6、對因子載荷陣推行方差最大旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后得正交因子表矩陣以下：由此有：X2=0.940F1+0.105F2+0.261F3X3=0.893F1-0.0747F2+0.404F3X4=0.0364F1+0