用放縮法證明不等式

1、利用放縮法證明數(shù)列型不等式一、常用的放縮法在數(shù)列型不等式證明中的應(yīng)用1、裂項(xiàng)放縮法：放縮法與裂項(xiàng)乞降的聯(lián)合，用放縮法結(jié)構(gòu)裂項(xiàng)乞降，用于解決和式問題。裂項(xiàng)放縮法主要有兩種種類：（1）先放縮通項(xiàng)，而后將其裂成某個(gè)數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)的差，在乞降時(shí)消去中間的項(xiàng)。例1設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)的和Sn4an12n12，n1,2,3,L。設(shè)Tn2n，n1,2,3,L，證明：333Snn3。Tii12證明：易得Sn2(2n11)(2n1),Tn32n3(11)，32(2n11)(2n1)22n12n11nTi3n(11)31111L11)2i1i12i1(1212212312n12n1i121221213113=(11

2、2n11)222評(píng)論：本題的重點(diǎn)是將2n裂項(xiàng)成11，而后再乞降，即可達(dá)到目標(biāo)。(2n11)(2n1)2n12n11（2）先放縮通項(xiàng)，而后將其裂成n(n3)項(xiàng)之和，而后再聯(lián)合其他條件進(jìn)行二次放縮。例2已知數(shù)列an和bn知足a12,an1an(an11)，bnan1，數(shù)列bn的前n和為Sn，TnS2nSn；（I）求證：Tn1Tn；（II）求證：當(dāng)n2時(shí)，S2n7n11。12證明：（I）Tn1Tn11L1(11L1)n2n32n2n1n22n11110Tn1Tn2n12n2n1(2n1)(2n2)（II）Qn2,S2nS2nS2n1S2n1S2n2LS2S1S1T2n1T2n2LT2T1S1由（I）

3、可知Tn遞加，從而T2n1T2n2LT2，又T11,S11,T27，212S2nT2n1T2n2LT2T1S1(n1)T2T1S17(n1)117n117n1112212即當(dāng)n22。時(shí)，Sn12評(píng)論：本題（II）充分利用（I）的結(jié)論，Tn遞加，將S2n裂成S2nS2n1S2n1S2n2LS2S1S1的和，從而找到認(rèn)識(shí)題的打破口。2、迭乘放縮法：放縮法與迭乘法的聯(lián)合，用放縮法結(jié)構(gòu)迭乘形式，相乘時(shí)消去中間項(xiàng)。用于解決積式問題。例3已知數(shù)列an的首項(xiàng)為a13,點(diǎn)an,an1在直線3xy0(nN*)上。若cnlog3an32(nN*),證明對(duì)隨意的nN*，不等式(11)(1+1)L(1+1)33n1恒

4、建立c1c2cn證明：cn3n2，(1+1)3(3n1)33n13n3n13n1cn3n23n23n13n3n2所以(11)(1+1)L(1+1)347L3n13n1c1c2cn143n2即(11)(1+1)L(1+1)33n1。c1c2cn評(píng)論：本題是證明積式大于根式，因?yàn)樽髠?cè)沒有根式，右側(cè)是三次根式，立方后比較更簡單辦理。(1+1)3(3n1)3能夠當(dāng)作是三個(gè)假分式的乘積，保持此中一項(xiàng)不變，另兩項(xiàng)假分?jǐn)?shù)分子分母同時(shí)加1，加cn3n22，則積變小，(3n1)33n13n3n13n1，而通項(xiàng)式為3n1的數(shù)列在迭乘時(shí)恰好相消，3n23n23n13n3n23n2從而達(dá)到目標(biāo)。3、迭代放縮法：經(jīng)過放

5、縮法結(jié)構(gòu)遞推不等關(guān)系，進(jìn)行迭代，從而求解。例4已知數(shù)列xn知足，x11,xn111xn,nN*，證明：|xn1xn|1(2)n1。265證明：當(dāng)n1時(shí)，|xn1xn|x2x1|1，結(jié)論建立。6當(dāng)n2時(shí)，易知0 xn11,1xn12,xn11(1xn)(1xn1)(11)(1xn1)2xn151xn21xn121|xn1xn|11|xnxn1|2xn122|xnxn1|L2n1|x2x1|12n1xn1xn(1xn)(1xn1)|xn|()()()1155565評(píng)論：本題將目標(biāo)式進(jìn)行放縮獲得遞推不等關(guān)系，進(jìn)行迭代，找到解題門路。4、等比公式放縮法：先放縮結(jié)構(gòu)成等比數(shù)列，再乞降，最后二次放縮實(shí)現(xiàn)目

6、標(biāo)轉(zhuǎn)變。例5已知數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，且知足a12,an112an(nN),記bnan2an，數(shù)列bnan1an11的前n項(xiàng)和為xn，且f(xn)xn2（I）數(shù)列bn和an的通項(xiàng)公式；（II）求證：n1f(x1)f(x2)f(xn)n(nN)Lf(xn1)2f(x2)f(x3)2略解：（I）bn2n，an112n2，f(x)2n1。2n證明：（II）f(xn)2nf(xn1)2n1f(xn)2n111f(xn1)2n1122(2n112n11f(x1)f(x2)f(xn)1n1,f(x2)f(x3)L)2f(xn1)2(2211111)22n1(2n12)22n1,n2f(x1)f(x2)f

7、(xn)n111n11n1f(x2)f(x3)Lf(xn1)2(2223L2n1)=22(12n)2n1f(x1)f(x2)Lf(xn)n2f(x2)f(x3)f(xn1)2反?。河覀?cè)是n，感覺是n個(gè)1的和，而中間恰好是n項(xiàng)，所以利用2n11；左側(cè)是n1不可以用222n1122相同的方式來實(shí)現(xiàn)，想到n1n(1f(n)(f(n)0)，試著考慮將2n1減小成1cn(cn是等比數(shù)2222n112列），從而找到了本題的打破口。5、二項(xiàng)式定理放縮法：在證明與指數(shù)相關(guān)的數(shù)列型不等式時(shí)，用二項(xiàng)式定理放縮特別有效。二項(xiàng)式定理放縮法有兩種常有種類：1）部分二項(xiàng)式定理放縮法：即只在式子的某一部分用二項(xiàng)式定理放縮。

8、例6已知數(shù)列an知足a1a(a2)，an1(4n6)an4n10（nN）2n1（）證明數(shù)列an2是等比數(shù)列，并求出通項(xiàng)an；2n1（）假如a1時(shí)，設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn11L11，試求出Sn，并證明當(dāng)n3時(shí)，有S4SnS310略解：(a2)(2n1)2n12（nN*），則S(2n1)(2n1)an3n2nCn0Cn1Cnn1Cnn，當(dāng)n3時(shí)，2nCn0Cn1Cnn1Cnn2(n1)，則2n12n1Sn(2n1)(2n1)，則1(2n11)1(111)Sn1)(2n22n2n1所以，1111(11)(11)(11)1(11)1S3S4Sn257792n12n1252n110反?。簽楹螘?huì)想到將

9、11放縮成1聯(lián)想到(2n1)(2nSn1)(2n1)(2n1)11L1111，因?yàn)橐C明111L1是一個(gè)數(shù)列前n項(xiàng)的和，1223n1，而S4n(n1)10S3Sn最后經(jīng)過放縮很可能變?yōu)?f(n)(f(n)0)的形式，而1應(yīng)是由11放縮后裂項(xiàng)而成，1010S337111(11)，1(2n11)(2n11)1(11)，此時(shí)恰好獲得S335235Sn1)(2n1)(2n22n12n111L11(11)1，接下來就要辦理2n12n1，想到用二項(xiàng)式定理。S3S4Sn252n1102）完整二項(xiàng)式定理放縮法：整個(gè)式子的證明主要借助于二項(xiàng)式定理。例7設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且對(duì)隨意的nN*，都有an0,S

10、na13a23Lan3.(I)求a1,a2的值；（II）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式an；（III）證明：a2nn1a2nna2nn1。略解：（I）（II）a11,a22，ann；證明（III）(1x)nCn0Cn1xCn2x2Cn3x3L,(1x)nCn0Cn1xCn2x2Cn3x3L,(1x)n(1x)n2Cn1x2Cn3x32Cn5x5L2Cn1x2nx，令x1，1)n1)n2n則有(1(11，從而(2n1)n(2n)n(2n1)n，即a2nn1a2nna2nn1。2n2n評(píng)論：利用二項(xiàng)式定理聯(lián)合放縮法證明不等式時(shí)，必定重要密聯(lián)合二項(xiàng)式睜開式的特色，聯(lián)系需證不等式的結(jié)構(gòu)，經(jīng)過化簡、變形、換元等手

11、段使問題得以解決。6、比較放縮法：比較法與放縮法的聯(lián)合，先進(jìn)行比較（作差或作商），再進(jìn)行放縮。例8在單一遞加數(shù)列an中，a11，a22，且a2n1,a2n,a2n1成等差數(shù)列，a2n,a2n1,a2n2成等比數(shù)列，n1,2,3,（I）分別計(jì)算a3，a5和a4，a6的值；（II）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式（將an用n表示）；（III）設(shè)數(shù)列1的前n項(xiàng)和為Sn，證明：Sn4n，nN*ann29(n1)(n3),n為奇數(shù)略解：（I）（II）得a33，a46，a68an8，a5(n2)22為偶數(shù)8,n8,n為奇數(shù)證明：（III）由（II），得1(n1)(n3)明顯，S111441；8an2,n為偶數(shù)a131

12、2(n2)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，4n81111L114nSn24424662n(n2)(n2)2n2n281111L114n4244646n(n2)n(n2)n22111111L114n84668nn2n22481n14n0；22n2當(dāng)n為奇數(shù)（n3）時(shí)，Sn4nSn114n4(n1)84nn2ann2(n1)2(n1)(n3)n2n12n80.41(n1)(n3)n2(n1)(n2)(n3)n綜上所述，S4n0，即Sn4n，nN*nn2n20，從而得證。評(píng)論：本題在作差比較中實(shí)行裂項(xiàng)放縮，從而獲得最后結(jié)果小于7、單一函數(shù)放縮法：依據(jù)題目特色，結(jié)構(gòu)特別的單一函數(shù)，再進(jìn)行放縮求解。例9設(shè)函數(shù)f(x)x2

13、bln(x1)，此中b0證明對(duì)隨意的正整數(shù)n，不等式ln1111都nn2n3建立剖析：欲證上述結(jié)論，直接作差比較ln11(1213)，無從下手；接著想到令nnng(n)ln11(1213)，判斷函數(shù)g(n)(nN*)的單一性，因?yàn)槎x域?yàn)檎麛?shù)，不可以用導(dǎo)數(shù)，只好nnn計(jì)算g(n1)g(n)，其結(jié)果仍是很難辦理；聯(lián)想到數(shù)列是一種特別的函數(shù)，將命題增強(qiáng)，令1x(0，)，n判斷函數(shù)h(x)x3x2ln(x1)(x0)的單一性，假如在(0,)單一，則函數(shù)g(n)也單一。解：令函數(shù)h(x)x3x2ln(x1)x3x2ln(x1)，則h(x)3x22x13x3(x1)2x1x1當(dāng)x0，時(shí)，h(x)0，所

14、以函數(shù)h(x)在0，上單一遞加，x(0，)時(shí)，恒有h(x)h(0)0，即x2x3ln(x1)恒建立故當(dāng)x(0，)時(shí)，有l(wèi)n(x1)x2x3對(duì)隨意正整數(shù)n取x1(0，)，則有l(wèi)n1111nnn2n3二、放縮法的注意問題以及解題策略1、明確放縮的方向：即是放大仍是減小，看證明的結(jié)論，是小于某項(xiàng)，則放大，是大于某個(gè)項(xiàng)，則減小。2、放縮的項(xiàng)數(shù)：有時(shí)從第一項(xiàng)開始，有時(shí)從第三項(xiàng)，有時(shí)第三項(xiàng)，等等，即不必定是對(duì)所有項(xiàng)進(jìn)行放縮。3、放縮法的常有技巧及常有的放縮式：（1）根式的放縮：111；kk12kkk1（2）在分式中放大或減小分子或分母：1112(k2)；k(k1)kk(k1)真分?jǐn)?shù)分子分母同時(shí)減一個(gè)正數(shù)，

15、則變大；，nn1；n12n假分?jǐn)?shù)分子分母同時(shí)減一個(gè)正數(shù)，則變小，如2nn12n；2n1（3）應(yīng)用基本不等式放縮：nn2nn2；2n222nnn（4）二項(xiàng)式定理放縮：如2n12n1(n3)；（5）舍掉（或加進(jìn)）一些項(xiàng)，如：|ana1|a2a1|a3a2|L|anan1|(n2)。4、掌握放縮的尺度：怎樣確立放縮的尺度，不可以過當(dāng)，是應(yīng)用放縮法證明中最重點(diǎn)、最難掌握的問題。這需要勤于察看和思慮，抓住欲證命題的特色，只有這樣，才能使問題水到渠成。再看例2，若結(jié)構(gòu)函數(shù)f(n)S2n(1n11L17n11)132n12(nN*)，22則f(n1)f(n)(111L17n18)(111L17n11)232

16、n112232n1211L111n71712n12n22n2n22nn2212021212前后不等號(hào)不一致，不可以確立f(n)的單一性，此時(shí)放縮過當(dāng)，本題不適合用單一函數(shù)放縮法。若要證明S2n(1n11L1n3)，則f(n1)f(n)(123n1)222(111L1n2)11L12n1232n22n12n22n22n12n1110，所以f(n1)f(n)，從而f(n)(nN*)遞加，f(n)f(1)1130，2n22222n所以S2n(1)建立，此時(shí)用單一函數(shù)放縮法可行。相同的題干，稍有調(diào)整，我們所用的方法便有不一樣。25、放縮法的策略以及精度的控制例10已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且知足a

17、11,an2SnSn10(n2)。2（I）數(shù)列1能否為等差數(shù)列并證明你的結(jié)論；（II）求Sn和an；Sn（III）求證：S12S22S32LSn21。211)1(n簡解：（1）（2）Sn,an21；2n(n2)2n(n1)（3）證法一：當(dāng)n1時(shí)，S1211建立；當(dāng)n2,Sn211(11)，424n24n1nS12S22S32LSn21111L111(1111L11)=441223(n1)n44223n1n11(11)111綜上所述，S12S22S32LSn21。44n2n22證法二：Sn2111(2n11)1(111)4n24n21)(2n22n2n1S12S22S32LSn21(1111L11)1(11)1。23352n12n122n12評(píng)論：兩種證法的不一樣在于策略的選擇不一樣。方法一是將1放大成1，需從第二項(xiàng)起，要分類4n24n24n12放大成1224n大好多，111議論；而方法二是將4n4n2。明顯4n1比4n2比4n2更靠近2。14n14n4n從中能夠發(fā)現(xiàn)放縮后的式子越靠近放縮前的式子，即放縮程度越小，精準(zhǔn)程度越高，保存的項(xiàng)就越少，運(yùn)算