數(shù)學(xué)建模排隊(duì)論2

1、定義：設(shè) 為一個(gè)隨機(jī)過程，若N(t)的概率分布具有以下性質(zhì)： (1)假設(shè)N(t)=n，則從時(shí)刻t到下一個(gè)顧客到達(dá)時(shí)刻止的時(shí)間服從參數(shù)為 的負(fù)指數(shù)分布； (2)假設(shè)N(t)=n，則從時(shí)刻t到下一個(gè)顧客離開時(shí)刻止的時(shí)間服從參數(shù)為 的負(fù)指數(shù)分布； (3)同一時(shí)刻是只有一個(gè) 顧客到達(dá)或離去。 則稱 為一個(gè)生滅過程。 二、生滅過程10nn-1n+1平穩(wěn)生滅過程系統(tǒng)狀態(tài)n平衡方程：“流入=流出”系統(tǒng)達(dá)到平穩(wěn)狀態(tài)時(shí)：的分布系統(tǒng)達(dá)到平穩(wěn)狀態(tài)時(shí)：其中平衡方程： 當(dāng) 收斂時(shí)才有意義 已知: 顧客到達(dá)間隔時(shí)間分布, 服務(wù)時(shí)間分布. 求:隊(duì)長(zhǎng): Ls - 系統(tǒng)中的顧客數(shù). 排隊(duì)長(zhǎng)(隊(duì)列長(zhǎng)): Lq - 隊(duì)列中的顧客數(shù)

2、. Ls = Lq + 正在接受服務(wù)的顧客數(shù)逗留時(shí)間: W s- 顧客在系統(tǒng)中的停留時(shí)間 等待時(shí)間: Wq - 顧客在隊(duì)列中的等待時(shí)間. Ws = Wq + 服務(wù)時(shí)間忙期, 損失率, 服務(wù)強(qiáng)度.排隊(duì)問題的求解三.單服務(wù)臺(tái)負(fù)指數(shù)分布排隊(duì)系統(tǒng)分析 1、 M/M/1模型2、 M/M/1/N/ 模型(即系統(tǒng)的容量有限)3、 M/M/1/ /m 模型（即顧客源為有限）顧客源排隊(duì)系統(tǒng)排隊(duì)結(jié)構(gòu)服務(wù)機(jī)構(gòu)排隊(duì)規(guī)則服務(wù)規(guī)則接受服務(wù)后離去1、M/M/1模型無限輸入過程服從參數(shù)為 的負(fù)指數(shù)分布單隊(duì)隊(duì)長(zhǎng)無限先到先服務(wù)服務(wù)時(shí)間服從參數(shù)為 的負(fù)指數(shù)分布生滅過程7 1、標(biāo)準(zhǔn)型：M/M/1(M/M/1/）8 1、標(biāo)準(zhǔn)型：M/M

3、/1(M/M/1/）關(guān)于 的幾點(diǎn)說明：顧客平均到達(dá)率顧客平均服務(wù)率一個(gè)顧客服務(wù)時(shí)間一個(gè)顧客到達(dá)時(shí)間服務(wù)強(qiáng)度即顧客的顧客平均到達(dá)率小于顧客平均服務(wù)率時(shí)，系統(tǒng)才能達(dá)到統(tǒng)計(jì)平穩(wěn)。系統(tǒng)中至少有一個(gè)顧客的概率；服務(wù)臺(tái)處于忙的狀態(tài)的概率；反映系統(tǒng)繁忙程度（2）系統(tǒng)的運(yùn)行指標(biāo) 1、標(biāo)準(zhǔn)型：M/M/1(M/M/1/）10（2）系統(tǒng)的運(yùn)行指標(biāo) 1、標(biāo)準(zhǔn)型：M/M/1(M/M/1/）11（3）運(yùn)行指標(biāo)之間的關(guān)系這公式很重要，一定要記清楚！ 1、標(biāo)準(zhǔn)型：M/M/1(M/M/1/）12平均忙期 B , 忙期出現(xiàn)的概率平均閑期 I , 閑期出現(xiàn)的概率 (1-)忙期 B : 閑期 I = : (1-)平均閑期 I = 1

4、 / 閑期的分布與顧客到達(dá)時(shí)間間隔的相同-服從參數(shù)為的負(fù)指數(shù)分布計(jì)算有關(guān)指標(biāo)忙期與閑期 1-P0=平均忙期 B , 忙期出現(xiàn)的概率平均閑期 I , 閑期出現(xiàn)的概率 (1-)忙期 B : 閑期 I = : (1-)平均閑期 I = 1 / 平均忙期 B = ( / (1-) / = 1/( - )計(jì)算有關(guān)指標(biāo)忙期與閑期 與逗留時(shí)間Ws相同!?例：某醫(yī)院手術(shù)室每小時(shí)就診病人數(shù)和手術(shù) 時(shí)間的記錄如下：到達(dá)的病人數(shù) 出現(xiàn)次數(shù) n un 0 10 1 28 2 29 3 16 4 10 5 6 6 以上 1 合計(jì) 100完成手術(shù)時(shí)間 出現(xiàn)次數(shù) r vr 0.00.2 38 0.20.4 25 0.40.

5、6 17 0.60.8 9 0.81.0 6 1.01.2 5 1.2 以上 0 合計(jì) 100解：到達(dá)的病人數(shù) 出現(xiàn)次數(shù) n un 0 10 1 28 2 29 3 16 4 10 5 6 6 以上 1 合計(jì) 100每小時(shí)病人平均到達(dá)率（人/小時(shí)）解：到達(dá)的病人數(shù) 出現(xiàn)次數(shù) n un 0 10 1 28 2 29 3 16 4 10 5 6 6 以上 1 合計(jì) 100每小時(shí)病人平均到達(dá)率（人/小時(shí)）每次手術(shù)平均時(shí)間（小時(shí)/人）每小時(shí)完成手術(shù)人數(shù)（平均服務(wù)率）（人/小時(shí)）完成手術(shù)時(shí)間 出現(xiàn)次數(shù) r vr 0.00.2 38 0.20.4 25 0.40.6 17 0.60.8 9 0.81.0

6、6 1.01.2 5 1.2 以上 0 合計(jì) 100解：服務(wù)臺(tái)N321顧客源.隊(duì)列離去（容量有限的單服務(wù)臺(tái)的排隊(duì)系統(tǒng)）被拒絕2、系統(tǒng)的容量有限制：M/M/1/N/192022年9月27日2 系統(tǒng)容量有限制的情形 (M/M/1/N/FCFS）狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程N(yùn)-1N2、系統(tǒng)的容量有限制：M/M/1/N/212022年9月27日2、系統(tǒng)的容量有限制：M/M/1/N/系統(tǒng)的運(yùn)行指標(biāo):222022年9月27日2、系統(tǒng)的容量有限制：M/M/1/N/系統(tǒng)的運(yùn)行指標(biāo):232022年9月27日 顧客總體有m個(gè)顧客，實(shí)際上系統(tǒng)中顧客數(shù)永不會(huì)超過m，即與模型M/M/1/ m /m的意義相同。服務(wù)臺(tái)321顧客

7、源隊(duì)列離去顧客源有限的單服務(wù)臺(tái)的排隊(duì)系統(tǒng)m個(gè)3、顧客源為有限的：M/M/1/m242022年9月27日3、顧客源為有限的：M/M/1/m系統(tǒng)狀態(tài)概率的平衡方程：252022年9月27日3、顧客源為有限的：M/M/1/m262022年9月27日 等待時(shí)間正常運(yùn)轉(zhuǎn)的平均設(shè)備臺(tái)數(shù)計(jì)算有關(guān)指標(biāo)282022年9月27日 研究單隊(duì)、并列的c 個(gè)服務(wù)臺(tái)的情形，主要有三種形式：（1）標(biāo)準(zhǔn)型：M/M/c/（2）系統(tǒng)容量有限的：M/M/c/N/（3）顧客源有限的：M/M/c/m321顧客源離去標(biāo)準(zhǔn)的c個(gè)服務(wù)臺(tái)的排隊(duì)系統(tǒng)服務(wù)臺(tái)2服務(wù)臺(tái)c C個(gè)服務(wù)臺(tái)1隊(duì)列四、多服務(wù)臺(tái)負(fù)指數(shù)分布排隊(duì)系統(tǒng)292022年9月27日四、多服

8、務(wù)臺(tái)負(fù)指數(shù)分布排隊(duì)系統(tǒng)1、標(biāo)準(zhǔn)型：M/M/c/302022年9月27日（1）系統(tǒng)的各狀態(tài)轉(zhuǎn)移關(guān)系圖：系統(tǒng)狀態(tài)概率平衡方程：1、標(biāo)準(zhǔn)型：M/M/c/312022年9月27日1、標(biāo)準(zhǔn)型：M/M/c/322022年9月27日1、標(biāo)準(zhǔn)型：M/M/c/（2）系統(tǒng)的運(yùn)行指標(biāo) 某售票所有三個(gè)窗口，顧客到達(dá)服從Poisson過程，到達(dá) = 0.9 人/分鐘，服務(wù) =0.4人/分鐘。設(shè)顧客到達(dá)后依次排成一隊(duì)向空閑的窗口購(gòu)票，如圖 a. 圖 a 窗口1 =0.4 窗口2 =0.4 窗口3 =0.4 = 0.9M/M/c型系統(tǒng)和c個(gè)M/M/1型系統(tǒng)的比較思考題：一個(gè)M/M/c/系統(tǒng)與c個(gè)M/M/1/系統(tǒng)比較哪一個(gè)效

9、率高？圖 aM/M/c型系統(tǒng)和c個(gè)M/M/1型系統(tǒng)的比較 窗口1 =0.4 窗口2 =0.4 窗口3 =0.4 = 0.3 = 0.3 = 0.3 = 0.9圖 b 窗口1 =0.4 窗口2 =0.4 窗口3 =0.4 = 0.9 以上例說明,設(shè)顧客到達(dá)后在每個(gè)窗口前各排一隊(duì)(其它條件不變),共三隊(duì),每隊(duì)平均到達(dá)率為: 窗口1 =0.4 窗口2 =0.4 窗口3 =0.4 = 0.3 = 0.3 = 0.3 = 0.9圖 bM/M/c型系統(tǒng)和c個(gè)M/M/1型系統(tǒng)的比較 模型指標(biāo) M/M/33個(gè)(M/M/1)P0LqLsWsWq必須等待概率0.07481.703.954.39 (分鐘)1.89

10、(分鐘)0.570.25 (子系統(tǒng))2.25 (子)9.00 (整)10 (分鐘)7.5 (分鐘)0.75結(jié)果比較M/M/c型系統(tǒng)和c個(gè)M/M/1型系統(tǒng)的比較372022年9月27日2、系統(tǒng)容量有限制：M/M/c/N/N321顧客源離去容量有限的c個(gè)服務(wù)臺(tái)的排隊(duì)系統(tǒng)服務(wù)臺(tái)2服務(wù)臺(tái)c C個(gè)服務(wù)臺(tái)1隊(duì)列客滿拒絕進(jìn)入382022年9月27日2、系統(tǒng)容量有限制：M/M/c/N/系統(tǒng)狀態(tài)概率平衡方程：392022年9月27日2、系統(tǒng)容量有限制：M/M/c/N/402022年9月27日3、顧客源為有限的：M/M/c/m321顧客源離開顧客源有限c個(gè)服務(wù)臺(tái)的排隊(duì)系統(tǒng)服務(wù)臺(tái)2服務(wù)臺(tái)c C個(gè)服務(wù)臺(tái)1隊(duì)列m個(gè)41

11、2022年9月27日3、顧客源為有限的：M/M/c/m 類似地還有M/M/c/N/m, M/M/c/m/m, M/M/c/c/m 等情況，可作相應(yīng)的討論。3、顧客源為有限的：M/M/c/m422022年9月27日2 標(biāo)準(zhǔn)的 M/M/c /N/ 模型狀態(tài)圖是多服務(wù)臺(tái)和容量有限的綜合平衡方程你會(huì)嗎?1 排隊(duì)系統(tǒng)最優(yōu)化問題2 M/M/1模型中最優(yōu)服務(wù)率3 M/M/c 模型中最優(yōu)服務(wù)臺(tái)數(shù)c四.經(jīng)濟(jì)分析排隊(duì)系統(tǒng)的最優(yōu)化系統(tǒng)設(shè)計(jì)最優(yōu)化：(靜態(tài)優(yōu)化問題)設(shè)備達(dá)到最大效益系統(tǒng)控制最優(yōu)化：(動(dòng)態(tài)優(yōu)化問題) 如何運(yùn)營(yíng)使某個(gè)目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)。1 排隊(duì)系統(tǒng)最優(yōu)化問題服務(wù)水平總費(fèi)用等待費(fèi)用服務(wù)費(fèi)用費(fèi)用極小點(diǎn)2 M/M/1模型中最優(yōu)服務(wù)率單位時(shí)間的費(fèi)用Cs：當(dāng) 時(shí)服務(wù)機(jī)構(gòu)單位時(shí)間費(fèi)用Cw：每個(gè)顧客在系統(tǒng)停留單位時(shí)間的費(fèi)用標(biāo)準(zhǔn)的/M/M/1模型單位時(shí)間的純利潤(rùn)G：每服務(wù)1人可得的收入（已知）標(biāo)準(zhǔn)的/M/M/1/N模型2 M/M/1模型中最優(yōu)服務(wù)率2 M/M/1模型中最優(yōu)服務(wù)率單位時(shí)間的純利潤(rùn)G：?jiǎn)挝粫r(shí)間每