立體幾何基礎(chǔ)知識(shí)

1、立體幾何基礎(chǔ)知識(shí)平面的概念：平面是沒有厚薄的，可以無限延伸，這是平面最基本的屬性平面的畫法及其表示方法：常用平行四邊形表示平面,通常把平行四邊形的銳角畫成45。，橫邊畫成鄰邊的兩倍畫兩個(gè)平面相交時(shí)， 當(dāng)一個(gè)平面的一部分被另一個(gè)平面遮住時(shí)，應(yīng)把被遮住的部分畫成虛線或不畫一般用一個(gè)希臘字母a、&、y來表示，還可用平行四邊形的對(duì)角頂點(diǎn)的字母來表示如平面AC.3.空間圖形是由點(diǎn)、線、面組成的，點(diǎn)、線、面的基本位置關(guān)系如下表所示:圖形符號(hào)語言文字語言（讀法）_aA e a點(diǎn)A在直線a上._aA史a點(diǎn)A不在直線a上.zOyA ea點(diǎn)A在平面a內(nèi).A.笙_/A wa點(diǎn)A不在平面以內(nèi),baP|b = A直線a

2、、b交于A點(diǎn).aa ua直線a在平面a內(nèi),a.q/a / a直線a與平面以平行，ax刀A/a P| a = A直線a與平面a交于點(diǎn)A 7a n & = l平面a、&相交于直線/.注意：直線與平面平行（a/a）和直線與平面相交（ap|a = A）兩種情形，統(tǒng)稱為直線在平面外，記 為aa .平面的基本性質(zhì)（1）公理1:如果一條直線的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上的所有點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)符號(hào)表示：A符號(hào)表示：A ea, B can a ua .如圖示:應(yīng)用：是判定直線是否在平面內(nèi)的依據(jù)，也可用于驗(yàn)證一個(gè)面是否是平面.公理1說明了平面與曲面的本質(zhì)區(qū)別.通過直線的“直”來刻劃平面的“平”，通過直線的“無

3、限延 伸”來描述平面的“無限延展性”，它既是判斷直線在平面內(nèi)，又是檢驗(yàn)平面的方法.公理2:如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們還有其他公共點(diǎn)，且所有這些公共點(diǎn)的集合是一條過這 個(gè)公共點(diǎn)的直線,符號(hào)表示：:：anan= l且A e l且i唯一.如圖示：應(yīng)用：確定兩相交平面的交線位置；判定點(diǎn)在直線上公理2揭示了兩個(gè)平面相交的主要特征，是判定兩平面相交的依據(jù)，提供了確定兩個(gè)平面交線的方法.公理3:經(jīng)過不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面推理模式：A,B,C不共線n存在唯一的平面a，使得A,B,C ea .應(yīng)用：確定平面；證明兩個(gè)平面重合，注意：“有且只有一個(gè)”的含義分兩部分理解，“有”說明圖形存在

4、，但不唯一，“只有一個(gè)”說明圖 形如果有頂多只有一個(gè)，但不保證符合條件的圖形存在，“有且只有一個(gè)”既保證了圖形的存 在性，又保證了圖形的唯一性.在數(shù)學(xué)語言的敘述中，“確定一個(gè)”，“可以作且只能作一個(gè)” 與“有且只有一個(gè)”是同義詞，因此，在證明有關(guān)這類語句的命題時(shí)，要從“存在性”和“唯 一性”兩方面來論證. TOC o 1-5 h z 推論1 ：經(jīng)過一條直線和直線外的一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面廠推理模式：A冬a n存在唯一的平面a，使得A ea，l ua ./推論2:經(jīng)過兩條相交直線有且只有一個(gè)平面廣* 4 二推理模式：a b = P n存在唯一的平面a，使得a ua, b ua.占推論3 :經(jīng)過兩條

5、平行直線有且只有一個(gè)平面.& f A推理模式：a/b n存在唯一的平面a，使得a ua,b ua辦平面圖形與空間圖形的概念:如果一個(gè)圖形的所有點(diǎn)都在同一個(gè)平面內(nèi)，則稱這個(gè)圖形為平面圖形，否則稱為空間圖形特別注意空間四邊形是平面圖形而不是平面圖形.空間兩直線的位置關(guān)系相交有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；平行一一在同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)；異面一一不在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn);. .公理4 ：平行于同一條直線的兩條直線互相平行,推理模式：a / b, b / c n a / c .等角定理：如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個(gè)角相等等角定理的推論：如果兩條相交直線和另兩條相交直線分

6、別平行，那么這兩條直線所成的銳角（或直角）相等等空間兩條異面直線的畫法異面直線判定定理：連結(jié)平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線，和這個(gè)平面內(nèi)不經(jīng)過此點(diǎn)的直線是異面直線 推理模式：A任以,B e以,l u以,B任l n ab與l是異面直線.12.異面直線所成的角：已知兩條異面直線a,。，經(jīng)過空間任一點(diǎn)O作直線a，/a,b/b，a,bf所成的角的 大小與點(diǎn)o的選擇無關(guān)，把a(bǔ), b所成的銳角（或直角）叫異面直線a, b所成的角（或夾角）.為了簡便， 點(diǎn)O通常取在異面直線的一條上.兀注:異面直線所成的角的范圍：（0,異面直線垂直：如果兩條異面直線所成的角是直角，則叫兩條異面直線垂直.兩條異面直線a,b垂直，

7、 記作ab .求異面直線所成的角的方法：通過平移，把兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化成兩條相交直線所成的角兩條異面直線的公垂線、距離和兩條異面直線都垂直相交的直線，我們稱之為異面直線的公垂線， 理解：因?yàn)閮蓷l異面直線互相垂直時(shí)，它們不一定相交，所以公垂線的定義要注意“相交”的含義.兩條異面直線的公垂線在這兩條異面直線間的線段（公垂線段）的長度，叫做兩條異面直線間的 距離.注意:兩條異面直線的公垂線有且只有一條直線和平面的位置關(guān)系（1）直線在平面內(nèi)（無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)）；符號(hào)表示為：a ua ;（2）直線和平面相交（有且只有一個(gè)公共點(diǎn)）；符號(hào)表示為：|a = A，（3）直線和平面平行（沒有公共點(diǎn)）；符號(hào)表示為

8、：a/a .線面平行的判定定理：如果不在一個(gè)平面內(nèi)的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè) 平面平行.推理模式：a 二 a, b u a, a / b n a / a .線面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交那么這條直線 和交線平行.推理模式：a a, a up, a Q p = b n a / b.平行平面：如果兩個(gè)平面沒有公共點(diǎn)，那么這兩個(gè)平面互相平行.圖形表示：畫兩個(gè)平面平行時(shí)，通常把表示這兩個(gè)平面的平行四邊形的相鄰兩邊分別畫成平行的.平行平面的判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面互相 平行.推理

9、模式：a u P，b u p，aP|b = P，a / a，b / a n P / a .平行平面的判定定理推論：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線， 那么這兩個(gè)平面互相平行.推理模式：a/a,b/b,a Qb = o,a u a,b u a,a Q b = oa u P,b u P n a / P .平行平面的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平行平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行.推理模式：a / P，丫a= a,yP= b n a / b .面面平行的另一性質(zhì)：如果兩個(gè)平面平行，那么其中一個(gè)平面內(nèi)的直線平行于另一個(gè)平面.推理模式：a / P, a uan a /

10、P .線面垂直定義：如果一條直線和一個(gè)平面相交，并且和這個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說這條直線和這個(gè)平 面互相垂直.其中直線叫做平面的垂線，平面叫做直線的垂血交點(diǎn)叫做垂足.直線與平面垂直簡稱線面垂直，記作：aa +直線與平面垂直的判定定理：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面直線和平面垂直的性質(zhì)定理：如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線平行,兩個(gè)平面垂直的定義：兩個(gè)相交成直二面角的兩個(gè)平面互相垂直；相交成直二面角的兩個(gè)平面叫做互相垂直的平面兩平面垂直的判定定理：如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直推理模式：a腭a，a

11、P n aP .兩平面垂直的性質(zhì)定理：若兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們的交線的直線垂直于另一個(gè)平面推理模式：a。,a 。= l, a ua, a 11 n a 1 p異面直線所成的角：已知兩條異面直線a,b，經(jīng)過空間任一點(diǎn)O作直線a/a,b/b，a,bf所成的角的 大小與點(diǎn)o的選擇無關(guān)，把a(bǔ), b所成的銳角(或直角)叫異面直線a, b所成的角(或夾角).為了簡便，點(diǎn)o通常取在異面直線的一條上.丸注:異面直線所成的角的范圍：(0,5-求異面直線所成的角的方法：/ f by/。一直線和平面所成角定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角叫做這條斜線和這個(gè)平面所成的角 TOC o

12、 1-5 h z 一直線垂直于平面，所成的角是直角向注:一直線平行于平面或在平面內(nèi)，所成角為0。角J -直線和平面所成角范圍：0，：.L 9 Jo k2口 C定理：斜線和平面所成角是這條斜線和平面內(nèi)經(jīng)過斜足的直線所成的一切角中最小的角二面角：平面內(nèi)的一條直線把平面分為兩個(gè)部分，其中的每一部分叫做半平面；從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，每個(gè)半平面叫做二面角的面若棱 為1，兩個(gè)面分別為a,。的二面角記為a-1 -。；二面角的平面角：過二面角的棱上的一點(diǎn)O分別在兩個(gè)半平面內(nèi)作棱的兩條垂線OA, OB，則ZAOB叫做二面角a1 -p的平面角-一個(gè)平面垂直于二面

13、角a-1-P的棱1，且與兩半平面交線分別為OA,OB,O為垂足，則ZAOB也 是a-1 -。的平面角.說明：二面角的平面角范圍是0,180；二面角的平面角為直角時(shí)，則稱為直二面角，組成直二面角的兩個(gè)平面互相垂直36.求二面角的射影公式：cose = ,3其中各個(gè)符號(hào)的含義是：S是二面角的一個(gè)面內(nèi)圖形F的面積，S是圖形F在二面角的另一個(gè)面內(nèi)的 射影，e是二面角的大小點(diǎn)到平面的距離：已知點(diǎn)P是平面a外的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PA a，垂足為A，則PA唯一，則PA 是點(diǎn)P到平面a的距離-即一點(diǎn)到它在一個(gè)平面內(nèi)的正射影的距離叫做這一點(diǎn)到這個(gè)平面的距離結(jié)論：連結(jié)平面a外一點(diǎn)P與a內(nèi)一點(diǎn)所得的線段中，垂線段P

14、A最短，異面直線的公垂線：和兩條異面直線都垂直相.交的直線叫做異面直線的公垂線.公垂線唯一：任意兩條異面直線有且只有一條公垂線.兩條異面直線的公垂線段：兩條異面直線的公垂線夾在異面直線間的部分，叫做兩條異面直線的公垂線 段；公垂線段最短：兩條異面直線的公垂線段是分別連結(jié)兩條異面直線上兩點(diǎn)的線段中最短的一條；兩條異面直線的距離：兩條異面直線的公垂線段的長度說明：兩條異面直線的距離AB即為直線。到平面a的距離,即兩條異面直線的距離等于其中一條直線到 過另一條直線且與這條直線平行的平面的距離.直線到與它平行平面的距離：一條直線上的任一點(diǎn)到與它平行的平面的距離,叫做這條直線到平面的距離(轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離

15、)兩個(gè)平行平面的公垂線、公垂線段：兩個(gè)平面的公垂線：和兩個(gè)平行平面同時(shí)垂直的直線，叫做兩個(gè)平面的公垂線兩個(gè)平面的公垂線段：公垂線夾在平行平面間的的部分，叫做兩個(gè)平面的公垂線段兩個(gè)平行平面的公垂線段都相等公垂線段小于或等于任一條夾在這兩個(gè)平行平面間的線段長兩個(gè)平行平面的距離：兩個(gè)平行平面的公垂線段的長度叫做兩個(gè)平行平面的距離七種距離：點(diǎn)與點(diǎn)、點(diǎn)到直線、兩條平行直線、兩條異面直線、點(diǎn)到平面、平行于平面的直線與該平面、 兩個(gè)平行平面之間的距離，其中點(diǎn)與點(diǎn)、點(diǎn)與直線、點(diǎn)到平面的距離是基礎(chǔ)，求其它幾種距離一般化歸 為求這三種距離，點(diǎn)到平面的距離有時(shí)用“體積法”來求多面體的概念：由若干個(gè)多邊形圍成的空間圖

16、形叫多面體；每個(gè)多邊形叫多面體的面，兩個(gè)面的公共邊叫多面體的棱，棱和棱的公共點(diǎn)叫多面體的頂點(diǎn)，連結(jié)不在同一面上的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段 叫多面體的對(duì)角線.棱柱的概念：有兩個(gè)面互相平行，其余每相鄰兩個(gè)面的交線互相平行，這樣的多面體叫棱柱兩個(gè)互相平行的面叫棱柱的底面(簡稱底)；其余各面叫棱柱的側(cè)面；兩側(cè)面的公共邊叫棱柱的側(cè)棱； 兩底面所在平面的公垂線段叫棱柱的高(公垂線段長也簡稱高).棱柱的分類：側(cè)棱不垂直于底面的棱柱叫斜棱柱.側(cè)棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱.底面的是正多邊形的直棱柱叫正棱柱棱柱的底面可以是三角形、四邊形、五邊形這樣的棱柱分別叫三棱柱、 四棱柱、五棱柱棱柱的性質(zhì)（1）棱柱的側(cè)棱相等，側(cè)面都是

17、平行四邊形；直棱柱側(cè)面都是矩形；正棱柱側(cè)面都是全等的矩形；（2）棱柱的兩個(gè)底面與平行于底面的截面是對(duì)應(yīng)邊互相平行的全等的多邊形；（3）過棱柱不相鄰的兩條側(cè)棱的截面都是平行四邊形直棱柱：正棱柱：長方體的性質(zhì):長方體的一條對(duì)角線長的平方等于一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱長的平方下和棱錐的概念：有一個(gè)面是多邊形，其余各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，這樣的多面體叫棱錐其中有公共頂點(diǎn)的三角形叫棱錐的側(cè)面；多邊形叫棱錐的底面或底；各側(cè)面的公共頂點(diǎn)（S），叫棱錐的頂點(diǎn)，頂點(diǎn)到底面所在平面的垂線段（SO），叫棱錐的高（垂線段的長也簡稱高）.棱錐的表示：棱錐用頂點(diǎn)和底面各頂點(diǎn)的字母，或用頂點(diǎn)和底面一條對(duì)角線端點(diǎn)的字母來表示

18、例如五棱錐可表示為S - ABCDE，或S - AC .棱錐的分類：（按底面多邊形的邊數(shù)）分別稱底面是三角形，四邊形，五邊形的棱錐為三棱錐，四棱錐，五棱錐棱錐的性質(zhì)：定理：如果棱錐被平行于底面的平面所截，那么所得的截面與底面相似，截面面積與底面面積比等于頂點(diǎn) 到截面的距離與棱錐高的平方比.中截面：經(jīng)過棱錐高的中點(diǎn)且平行于底面的截面，叫棱錐的中截面正棱錐：底面是正多邊形，頂點(diǎn)在底面上的射影是底面的中心的棱錐叫正棱錐.（1）正棱錐的各側(cè)棱相等，各側(cè)面是全等的等腰三角形，各等腰三角形底邊上的高相等（叫正棱錐的斜 高）.（2）正棱錐的高、斜高、斜高在底面上的射影組成一個(gè)直角三角形；正棱錐的高、側(cè)棱、側(cè)棱在底面上