簡(jiǎn)諧振動(dòng)·知識(shí)點(diǎn)精解

1、簡(jiǎn)諧振動(dòng)知識(shí)點(diǎn)精解簡(jiǎn)諧振動(dòng)的特征簡(jiǎn)諧振動(dòng)的定義在跟對(duì)平衡位置的位移成正比而方向相反的回復(fù)力作用下的振動(dòng)，叫簡(jiǎn)諧振動(dòng)。做簡(jiǎn)諧振動(dòng)的回復(fù)力是由物體所受的合外力或某個(gè)力的分力提供。簡(jiǎn)諧振動(dòng)物體回復(fù)力的表達(dá)式為：F=-kx簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)特征F=-kx式中的k為回復(fù)力與位移的比例常數(shù)(未必是彈簧的勁度系數(shù))，x是相對(duì)平衡位置的位移，負(fù)號(hào) 表示回復(fù)力的方向始終與位移方向相反。(3 )簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)特征振動(dòng)的位移隨時(shí)間接正弦或余弦規(guī)律變化。彈簧振子的振動(dòng)過程具體情況見下表：振動(dòng)物體位置位移x回復(fù)力F加速度&速度v振動(dòng)勢(shì) 能振動(dòng)動(dòng) 能氐方向大小方向太小方向大小方向太小平衡位 go零零零vm零跖最大位格處M

2、指向MA指向KA指向KA m毒土m零Qf M指向M零f指向零fKA指向A KA m指向M零零f零MO指向M零指向零指向KA m 7指向零f零零f km單擺的周期公式單擺做簡(jiǎn)諧振動(dòng)在物理學(xué)里，單擺是實(shí)際擺的理想化，是指在一根不能伸長(zhǎng)，又沒有質(zhì)量的線的下端系一質(zhì) 點(diǎn)所形成的裝置。單擺做簡(jiǎn)諧振動(dòng)的條件：振動(dòng)過程中的最大編角不超過5。單擺做簡(jiǎn)諧振動(dòng)的回復(fù)力是重力mg沿圓弧切線的分力F=mgsina提供（不要誤認(rèn)為是擺球所受的合外力）。當(dāng)a很小時(shí)（5以下），圓弧可以近似地看成直 線，分力F可以近似地看作沿這條直線作用，OP就是擺錘偏離平衡位置的位移。如圖7-3所示。設(shè) 擺長(zhǎng)是1，因?yàn)閟inqrQr：,所

3、以：F =-號(hào)x式中負(fù)號(hào)表示力F跟位移x的方向相反。由于m、g、1都有一定的數(shù)值，mg/1可以用一個(gè)常數(shù) k來代替，所以上式可以寫成F=-kx可見，在擺角很小情況下，單擺振動(dòng)時(shí)回復(fù)力跟位移成正比而方向相 反，是簡(jiǎn)諧振動(dòng)。（2）單擺的周期公式單擺周期的表達(dá)式T=27i/n在擺角很小情況下，單擺的周期跟擺長(zhǎng)的平方根成正比，跟重力加 速度的平方根成反比，而跟擺錘的質(zhì)量和振幅無關(guān)。單擺周期的表達(dá)式T=27i/n上式只適于小擺角（5 ）的情況。根據(jù)周期公式算出的T值與實(shí)際測(cè)定值間的誤差，隨擺角 增大而增大。擺角為7時(shí)，誤差為0.1%； 15時(shí)，0.5%； 23時(shí)，1%。單擺的最大擺角應(yīng)小于 5。單擺的周

4、期在振幅較小時(shí)，與單擺的振幅無關(guān)，單擺的這種性質(zhì)叫單擺的等時(shí)性，是伽利略 首先發(fā)現(xiàn)的。式中的l應(yīng)理解為等效長(zhǎng)度。即從懸點(diǎn)到擺球質(zhì)心的距離。式中g(shù) 一般為當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣?。若單擺所處的物理環(huán)境發(fā)生了變化（如放在加速的車上，或 將單擺放到其他場(chǎng)中等），單擺的周期仍可用丁 = 2兀?1計(jì)算，這時(shí)只要將融成視重加速度即可.擺的視重加速度等于擺錘相對(duì)懸點(diǎn)靜止時(shí)，懸繩的拉力與擺錘質(zhì)量的比值。簡(jiǎn)諧振動(dòng)的圖象（1）表示振動(dòng)物體的位移隨時(shí)間變化規(guī)律，它形象地反映出振動(dòng)的各物理量隨時(shí)間的關(guān)系，是掌 握振動(dòng)的有力工具。(2)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的位移一一時(shí)間圖象是按正弦(或余弦)規(guī)律變化的。簡(jiǎn)諧振動(dòng)圖象的意義直接從圖象上讀出振

5、幅(注意單位)。直接從圖象上讀出振動(dòng)周期。確定任意時(shí)刻物體相對(duì)平衡位置的位移。判斷任一時(shí)刻物體的振動(dòng)速度方向(總是指向下一時(shí)刻的位置)和加速度方向。判定某一段時(shí)間內(nèi)振動(dòng)物體的速度、加速度、動(dòng)能及勢(shì)能大小的變化情況。受迫振動(dòng)、共振物體在周期性外力(叫驅(qū)動(dòng)力)作用下的振動(dòng)叫做受迫振動(dòng)。物體做受迫振動(dòng)的頻率等于驅(qū)動(dòng)力的頻率，而跟物體的固有頻率沒有關(guān)系。共振受迫振動(dòng)的頻率雖然與物體的固有頻率沒有關(guān)系，但受迫振動(dòng)振幅與物體的固有頻率有關(guān)， 圖7-4中反映出受迫振動(dòng)的振幅隨驅(qū)動(dòng)力頻率的變化關(guān)系。圖7-4圖7-4A受迫振動(dòng)的振幅共振是受迫振動(dòng)的特例。當(dāng)驅(qū)動(dòng)力的頻率跟物體的固有頻率相等時(shí)，受迫振動(dòng)的振幅最大，

6、 這種現(xiàn)象叫共振。發(fā)生共振時(shí)，一個(gè)周期內(nèi)，外界提供的能量等于振動(dòng)系統(tǒng)克服阻尼而耗散的能量?！纠?】 一質(zhì)點(diǎn)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，先后以相同的動(dòng)量依次通過A、B兩點(diǎn)，歷時(shí)1秒，質(zhì)點(diǎn)通過B 點(diǎn)后再經(jīng)過1秒鐘又第2次通過B點(diǎn)，在這兩秒內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)通過的總路程為12厘米，則質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)周 期和振幅為A. 3秒，6厘米；B. 4秒，6厘米；C. 4秒，9厘米；D. 2秒，8厘米?！痉治鏊悸贰?質(zhì)點(diǎn)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)可以看成圖7-5所示的情形。質(zhì)點(diǎn)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)時(shí)，關(guān)于平衡位 置的O點(diǎn)物理量具有對(duì)稱性。質(zhì)點(diǎn)在A點(diǎn)B點(diǎn)的動(dòng)量相同，說明A、B兩點(diǎn)關(guān)于O點(diǎn)對(duì)稱。當(dāng)再次經(jīng) B點(diǎn)時(shí)時(shí)間與B到A的時(shí)間相等，則質(zhì)點(diǎn)是經(jīng)最右端后直接到達(dá)B點(diǎn)的。從B

7、點(diǎn)到C點(diǎn)和從C到B點(diǎn) 具有等時(shí)性，且DA與BC在O兩側(cè)也具有對(duì)稱性。即BC與DA距離相等。?!?匚圖7-5【解題方法】充分利用簡(jiǎn)諧振動(dòng)過程中的對(duì)稱性。即利用速度、動(dòng)量、加速度的關(guān)系找出位置、位移、時(shí)間和能量的對(duì)稱，反之亦可以?！窘忸}】由于A、B兩點(diǎn)動(dòng)量相同，所以B、A兩點(diǎn)關(guān)于O點(diǎn)對(duì)稱，即SAO=SOB，tAO=tOB。質(zhì)點(diǎn)從B再回到B的時(shí)間關(guān)于C點(diǎn)對(duì)稱即tEC =tCEo所以質(zhì)點(diǎn)從0點(diǎn)到C點(diǎn)所用時(shí)間為 =臨+虹=1秒，故T = 4秒質(zhì)點(diǎn)從A到B經(jīng)C后再到B點(diǎn)，由于對(duì)稱就等效于質(zhì)點(diǎn)從D點(diǎn)過O后到C點(diǎn)，即2A=SAC+SCB=12 厘米，所以A=6厘米。所以答案選B?！纠?】 甲、乙兩只相同的擺鐘

8、同時(shí)計(jì)時(shí)，當(dāng)甲鐘指示45分鐘時(shí)，乙鐘已指示1小時(shí)，則甲、 乙兩鐘的擺長(zhǎng)之比為L(zhǎng)甲：L乙=?！痉治鏊悸贰坑蓴[鐘的計(jì)時(shí)原理知道，擺鐘只所以能夠計(jì)時(shí)，是利用擺振動(dòng)過程中所用的時(shí)間與表盤面上所顯示的時(shí)間相等。即擺每振動(dòng)一次所用的時(shí)間（即擺的周期）與表指針指示數(shù)據(jù)相同， 這就是標(biāo)準(zhǔn)鐘的設(shè)計(jì)。設(shè)計(jì)好的表由于機(jī)械結(jié)構(gòu)已定，當(dāng)由于外界因素的影響（如溫度的變化，影響 l的變化；或由于地理位置變化而影響g的大小），導(dǎo)致擺的振動(dòng)周期變化時(shí)，在一定時(shí)間內(nèi)，擺的 振動(dòng)次數(shù)與設(shè)計(jì)的振動(dòng)次數(shù)就不再相符，但機(jī)械結(jié)構(gòu)已定的鐘不論擺的周期有多大，它總是按設(shè)計(jì)好 的每振一次的時(shí)間進(jìn)行顯示。即每振一次所顯示的時(shí)間都是標(biāo)準(zhǔn)鐘的周期。這

9、樣相同時(shí)間內(nèi)振動(dòng)次數(shù) 多的（與標(biāo)準(zhǔn)鐘比較）顯示的時(shí)間也多，表快（此鐘的周期小于標(biāo)準(zhǔn)鐘的周期）。相反，相同時(shí)間內(nèi)振動(dòng) 次數(shù)少的顯示的時(shí)間也少，表慢了。本題兩鐘所用時(shí)間相同，但顯示的時(shí)間各不相同，無法判斷那只表準(zhǔn)確，也可能都不準(zhǔn)確。但 表是相同的，即設(shè)計(jì)是一樣的，擺每振動(dòng)一次所顯示的時(shí)間是一樣的。表所顯示的時(shí)間就是擺的振動(dòng) 次數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)鐘的周期的乘積。【解題方法】由單擺的周期公式計(jì)算出每只擺的周期。因甲、乙及標(biāo)準(zhǔn)鐘所用的時(shí)間相同，根據(jù)鐘的設(shè)計(jì)原理表達(dá)出甲、乙鐘所顯示的時(shí)間，從而計(jì)算擺長(zhǎng)關(guān)系。解此題時(shí)，不少學(xué)生誤將顯示的時(shí)間當(dāng)成擺的周期（或周期的倍數(shù)），要引起注意?！窘忸}】設(shè)甲、乙鐘經(jīng)過的時(shí)間為t，周

10、期分別為T1、T2,標(biāo)準(zhǔn)鐘的周期為T0，則兩鐘顯示的時(shí)間為：.如=&由 T = 2/77L 甲：L己=t* ： t； = 16 ： 9【例3】 如圖7-6所示，質(zhì)量為m的木塊放在豎直的彈簧上，m在豎直方向做簡(jiǎn) 諧振動(dòng)，當(dāng)振幅為A時(shí)，物體對(duì)彈簧的壓力最小值為物體自重的0.5倍，則物體對(duì)彈簧壓 力的最大值為 ，欲使物體在振動(dòng)中不離開彈簧，其振幅不能超過 ?！痉治鏊悸贰课矬wm放在彈簧上讓其緩慢下落，當(dāng)重力mg與彈力kx相等時(shí)，物體處于平衡。在此位置對(duì)物體施加向下的壓力，使物體下移位移A時(shí)，撤去外力F，物體m將在豎直方向做簡(jiǎn)諧振 動(dòng)。在振動(dòng)過程中物體受重力和彈力作用，當(dāng)壓縮最小時(shí)，物體和彈簧的相互作用

11、力最小，應(yīng)在平衡 位置上方；當(dāng)壓縮量最大時(shí)，物體和彈簧的相互作用力最大，此位置應(yīng)在平衡位置下方，且最小作用 力和最大作用力的位置關(guān)于O點(diǎn)對(duì)稱，離開平衡位置的距離均為A。若要m在振動(dòng)過程中不脫離，則物體m與彈簧的相互作用力達(dá)最小，即N=0。所以最大振幅即為 物體m平衡時(shí)的壓縮量?！窘忸}方法】應(yīng)用平衡求物體的壓縮量。物體m在振動(dòng)過程中的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)合外力可表示為kA，均由重力及彈力提供，即應(yīng)用kA=F合求解?！窘忸}】如圖7-7所示，物體m在最高點(diǎn)時(shí)彈力為N1(壓力的反作用力)，最低點(diǎn)時(shí)彈力大小為N2，由回復(fù)力的來源得： TOC o 1-5 h z kA = mg - N!(1)kA = N2 -

12、mg聯(lián)立(1)(2)得 N2=2mg-N=1.5mg由牛頓第三定律知最低點(diǎn)時(shí)物體m對(duì)彈簧的壓力，即最大壓力為1.5mg。設(shè)m能達(dá)到的最大振幅為A，則& =mg(3)由(1)(3)聯(lián)立得A =2A?！纠?】 如圖7-8所示，一塊涂有碳黑的玻璃板，質(zhì)量為2千克，在拉力F的作用下由靜止 開始豎直向上作勻變速運(yùn)動(dòng)，一個(gè)裝有指針的振動(dòng)頻率為5赫的電動(dòng)音叉在玻璃板上畫出如圖所示的 曲線，量得OA=1厘米，OB=4厘米，OC=9厘米，則外力F的大小為多少牛？【分析思路】電動(dòng)音叉所做的振動(dòng)為簡(jiǎn)諧振動(dòng)，若玻璃板不動(dòng)，則振針在在平衡位置附近振動(dòng)，軌跡重合，為了能將振動(dòng)位移隨時(shí)間形象的表達(dá)出來就要建立時(shí)間軸。描述時(shí)

13、間軸的辦法是讓板 勻速運(yùn)動(dòng)。由于時(shí)間均勻流失，所以利用S=vt，就可以用S軸來代替時(shí)間軸，這樣形成的x-S圖象 就是我們看到的x-t的振動(dòng)圖象，圖象為正(余)弦曲線。若板的運(yùn)動(dòng)是勻加速的，則S軸就不能代表 時(shí)間軸，它只能反映在振針振動(dòng)過程中，在某時(shí)間內(nèi)的位移。它巧妙的應(yīng)用了振動(dòng)的等時(shí)性，記下了 半個(gè)周期內(nèi)板的位移?！窘忸}方法】振針在振動(dòng)過程，每次經(jīng)過平衡位置的時(shí)間為振動(dòng)的半個(gè)周期。由于物體做初速度為零的勻加速度運(yùn)動(dòng)，所以在相同時(shí)間內(nèi)位移之比為1 ： 3 ： 5 ：，或 S=aT2，由牛頓第二定 律可求出玻璃加速時(shí)需要的外力。驪題振動(dòng)的振針每經(jīng)過t = ? = * = o. 1秒一次平衡位置，由

14、于板作勻加速直線運(yùn)動(dòng)，所以：玻璃板在拉力F作用下運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律得：F - mg = ma(2)ASF=tng+tn-ASF=tng+tn-2X IQ-2 土 =小10 + 2乂（S 淀=24（牛）【例5】 密度為p，邊長(zhǎng)為a的均勻木塊，靜止浮于水面上，木塊的一半露在水面外.現(xiàn)將木塊向下按距離然后釋放,使木塊在水面上振動(dòng)。設(shè)水的密度為p (p 0p )，水的阻力不計(jì)，試證明木塊的振動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)?！痉治鏊悸贰?木塊放在水中，由于木塊密度小于水的密度，木塊浮于水面上而處于平衡，即 重力與浮力相等。木塊下按任意位移釋放x時(shí)，仍受重力和浮力，浮力要大于重力，合力指向平衡位 置與位移方向相反。只要求

15、出合力的大小與x成正比，則可以說明木塊的振動(dòng)為簡(jiǎn)諧振動(dòng)?！窘忸}方法】物體做簡(jiǎn)諧振動(dòng)的充要條件是回復(fù)力F=-kx，根據(jù)物體的平衡及下移x時(shí)的受力求木塊的回復(fù)力的表達(dá)式?！窘忸}】木塊靜止在水面時(shí)，受到向上的浮力耳=|p招/和向下的重力G=p ga3作用，根據(jù)共點(diǎn)力的平衡條件有 TOC o 1-5 h z P ga3 - | P 0ga3 = 0將木塊下按至偏離靜止位置(即平衡位置)的位移為或eV 時(shí)，其 回復(fù)力F由木塊所受浮力F2= P0ga2(p + x)和重力G= Pg的合力提 供。設(shè)向下為正方向，則有F= P ga3 - P 0ga2(|a+x)由(1)(2)得 F=-p 0ga2x由木塊和

16、水組成的振動(dòng)系統(tǒng)來說，上式中p 0ga2為恒量，設(shè)k=p 0ga2，則F=-kx上式表明維持木塊振動(dòng)的回復(fù)力滿足作簡(jiǎn)諧振動(dòng)的條件，由此證明木塊的 振動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)?！纠?】 如圖7-9所示，AB為半徑R=7.50米的光滑圓弧形導(dǎo)軌，BC忤V/為長(zhǎng)S=0.900米的光滑水平導(dǎo)軌，在B點(diǎn)與圓弧導(dǎo)軌相切。BC離地面高度h=1.80o百米。一質(zhì)量m=0.100千克的小球1置于C點(diǎn)，另一質(zhì)量m2=0.200千克的小球2 E置于B點(diǎn)：現(xiàn)給小球1 一個(gè)瞬時(shí)沖量使它獲得大小為0.900米/秒的水平速度， 叫當(dāng)小球1運(yùn)動(dòng)到B時(shí)與小球2發(fā)生正碰。如果碰撞過程中沒有機(jī)械能損失，求圖T-9(1)兩球落地的時(shí)間差 t。(

17、2)兩球落地點(diǎn)之間的距離S?！痉治鏊悸贰?小球1獲得一定速度后沿光滑水平面向B點(diǎn)的球2運(yùn)動(dòng)，在B點(diǎn)與球2發(fā)生正 碰。由碰撞過程中滿足動(dòng)量和機(jī)械能守恒，碰后1球返回速度為V1，2球以速度V2沿圓弧向上 滑動(dòng)。小球2在圓弧上運(yùn)動(dòng)過程中受力如圖7-10所示(b)，與單擺的受力情況(圖中7-10(a)相比，兩者是相似的，只要能求出小球2在圓弧上運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)所對(duì)應(yīng)的圓心角。W5，則可以把小球 2在圓弧上的運(yùn)動(dòng)過程看作是相當(dāng)于一個(gè)擺長(zhǎng)為R的單擺的簡(jiǎn)諧振動(dòng)。小球2滑上弧面后再滑回B點(diǎn) （在圓弧上的時(shí)間只能用簡(jiǎn)諧振動(dòng)求）時(shí)速度大小與碰后相等。BC段1球、2球均為勻速運(yùn)動(dòng)，從C點(diǎn) 滑下后均為平拋運(yùn)動(dòng)，速度分別

18、為V1和V2，下落高度相同?！窘忸}方法】 小球1與小球2發(fā)生碰撞時(shí)，滿足動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒，球1到c點(diǎn)時(shí)間為t】=號(hào);球2沿弧面向上完成!的簡(jiǎn)諧振動(dòng)振動(dòng)（需要證明），時(shí)間為t2，回到B點(diǎn)又以V2通過BC，時(shí)間為t2，由于平拋下落時(shí)間 相同，所以落地時(shí)間差為 t=t2 +t1/ -t10兩球落地時(shí)的位移差為兩球以速度V 1和V 2的水平射程之差:BPAS=|V/ |-|V/ | K【解題】 （1）以小球1原來的運(yùn)動(dòng)方向?yàn)槭噶康恼较?。由系統(tǒng)的動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒可 列出：聯(lián)立（1）（2）得:V/（m】-mQ0.1- 0.2V/研=X 0.900mi + m20.1 + 0.2= -0.300（米/秒）2X0.1業(yè).+跖=和節(jié)=0.600（米/秒）m1 + m2 0.1 + 0.2小球1由E點(diǎn)返回C點(diǎn)的時(shí)間允=鬲小球2沿圓弧上升時(shí)由于小球2的機(jī)械能守恒可得:壬=nigR(l