“彈簧振子”模型

1、“彈簧振子”模型太原市第十二中學姚維明模型建構：模型常有彈簧振子與其種類問題在簡諧運動中，我們對彈簧振子（如圖1，簡稱模型甲）比較熟悉。在學習過程中，我們經(jīng)常會碰到與此周邊似的一個模型（如圖2，簡稱模型乙）。仔細比較兩種模型的差異和聯(lián)系，對于培養(yǎng)我們的思想質(zhì)量，提高我們的解題能力有必然的意義。圖1圖2特點彈簧振子做簡諧運動時，回答力F=-kx，“回答力”為振子運動方向上的協(xié)力。kx加快度為am簡諧運動擁有對稱性，即以平衡地點（a=0）為圓心，兩側對稱點回答力、加快度、位移都是對稱的。這是解題的重點。模型典案：典案1把一個小球掛在一個豎直的彈簧上，如圖2。當它平衡后再使勁向下拉伸一小段距離后輕輕

2、松手，使小球上下振動。試證明小球的振動是簡諧振動。證明設彈簧勁度系數(shù)為k，不受拉力時的長度為l0，小球質(zhì)量為m，當掛上小球平衡時，彈簧的伸長量為x0。由題意得mg=kx0簡單判斷，由重力和彈力的協(xié)力作為振動的回答力假定在振動過程中的某一剎時，小球在平衡地點下方，走開平衡地點O的距離為x,取向下的方向為正方向則回答力F=mg+-k(x0+x)=mg-kx0-kx=-kx依照簡諧運動定義，得證比較：（1）兩種模型中，彈簧振子都是作簡諧運動。這是它們的相同之處。(2）模型甲中，由彈簧的彈力供應回答力。因此，位移(x)，回答力(F)，速度(v)，加速度(a)，各量大小是對于平衡地點O點對稱的。模型乙中

3、，由彈簧的彈力和重力兩者的協(xié)力供應回答力。彈簧的彈力大小對于平衡地點是不對稱的，這點要特別注意?？墒牵卮鹆Γ涌於龋┐笮τ谄胶獾攸c是對稱的。在解題時我們經(jīng)常用到這點。典案2如圖3所示，質(zhì)量為m的物塊放在彈簧上，彈m簧在豎直方向上做簡諧運動，當振幅為A時，物體對彈簧的FminP點最大壓力是物重的1.8倍，則物體對彈簧的最小壓力是物重aP的多少倍？欲使物體在彈簧振動中不走開彈簧，其振幅最大為多少？mg剖析1)選物體為研究對象，畫出其振動過程的幾個圖3特別點，如圖4所示，O為平衡地點，P為最高點，Q為最低點。1/6經(jīng)判斷,可知物體對彈簧的最大壓力在Q處,Fmax=1.8mg.aQ=(Fmax-m

4、g)/m=(1.8mg-mg)/m=0.8g物體對彈簧的最小壓力時，在P處,依照對稱性知aP=aQaQ=(mg-Fmin)/mFmin/mg=0.2欲使物體在振動過程不走開彈簧，只要在最高點（P點）知足N0即可。其走開彈簧的臨界條件為N=0。此時，ap=g。設振幅最大值為A，勁度系數(shù)為k，則有kA=mapkA=map聯(lián)列兩式得A=1.25A模型體驗：體驗1如圖5所示，一同落機在箱底裝有若干個彈簧，設在某次事故中，起落機吊索在空中止裂，忽略摩擦力，則起落機在下端接觸地后直到最低點的一段運動過程（）A.起落機的速度不斷減小B.起落機的加快度不斷變大a=gC.先是彈力做的負功小于重力做的正功,然AA

5、后是彈力做的負功大于重力做的正功OAaO=0D.到最低點時,起落機加快度的值BBga必然大于重力加快度的值.圖5圖6剖析本題實質(zhì)上是模型乙的變形。起落機吊索斷裂后先做自由落體運動，當彈簧與地面接觸后,簡單判斷,v先增大后減小,a先減小后增大，則AB錯。依照動能定理簡單判斷C正確。難度較大的是D選項。我們能夠把起落機簡化為如圖6所示的彈簧振子,彈簧剛觸地時起落機地點在A處，起落機向下運動到最低點地點為B處,速度最大地點為O處（即簡諧運動的平衡地點），則B為位移等于振幅地點。由振子的對稱關系,不難判斷點A其實不是位移等于振幅地點,與A點對于O點對稱的點應在B點上方。在A點a=g方向向下，因此在B處

6、a必然大于g，方向向上。體驗2如圖7所示，兩木塊質(zhì)量分別為mM，用勁度系數(shù)為k的輕彈簧連在一同，放在水平川面上，將木塊m壓下一段距離后釋放，它就上下作簡諧運動。在運動過程中木塊M碰巧向來不走開地面（即它對地面最小壓力為零）。1）則木塊m的最大加快度大小是多少？2）木塊M對地面最大壓力是多少？剖析（1）在m運動過程中，彈簧對mM施加的彈力的方向能夠向上也能夠向下。選M為研究對象，碰巧向來不走開地面m即FNmin=0由平衡條件F+F=Mg,可知Fmax=MgN此時，彈簧處于伸長狀態(tài)，m擁有向下的加快度（失重）要使木塊m的加快度最大，應當使彈力F最大am=(Fmax+mg)/m=(M+m)g/m2）

7、要使木塊M對地面的壓力最大，此時彈簧對M的彈力方向應向下。(此時，彈簧處于壓縮狀態(tài))選M為研究對象，對其受力剖析FN=F+Mg2/6要使FN最大，則F最大這里要注意，NmaxFmaxF=Mg依照木塊m做簡諧運動的特點，1）（2）兩種情況，加快度大小相等。對m,有Fmaxmg=mamFmax=mg+ma（3）am=(M+m)g/m聯(lián)列三式，得F/Nmax=Mg+F=2(M+m)g依照牛頓第三定律FN=-F/Nmax=2(M+m)g體驗3如圖9所示，質(zhì)量為3m的框架，放在一水平臺秤上，一輕質(zhì)彈簧上端固定在框架上，下端拴一質(zhì)量為m的金屬小球，小球上下振動，當小球振動到最低點時，臺秤的示數(shù)為5mg，求

8、小球運動到最高點時，臺秤的示數(shù)為_，小球的剎時加速度的大小為_。剖析當小球運動到最低點時，臺秤示數(shù)為5mg，即框架和圖9小球這一整體對臺秤壓力的大小為5mg由牛頓第三定律知，臺秤對這一整體的支持力也為5mg由牛頓第二定律可知小球在該時刻有向上的加快度，設該時刻小球加快度大小為a，此時框架的加快度大小為0則對框架與小球這一整體應用牛頓第二定律得FNMmgFN4mgma3m0解得：ag由彈簧振子的典型特點1知識，小球運動到最高點，即最低點的對稱點時，小球加快度的大小也為g，方向豎直向下，因此該時彈簧處于原長，臺秤的示數(shù)為框架的質(zhì)量3mg。*體驗4如圖10所示，在圓滑的水平面上，有滑塊A和B，A和B

9、的質(zhì)量均為10g，現(xiàn)有一輕質(zhì)彈簧固定在兩滑塊右方的墻壁上，彈簧的勁度系數(shù)為k2N/m。開始時兩滑塊均靜止，現(xiàn)給A滑塊一沖量，使其以10m/s的速度向右滑行，并與B相碰后，與B粘在一同，碰撞時間很短。求彈簧與墻有作使勁的時間。剖析滑塊A向右與滑塊B相碰粘合一同，由動量守恒知，兩者以5m/s的速度向右運動，A、B兩滑塊整體做簡諧圖10運動彈簧作用時間即彈簧與墻存在作使勁的時間兩滑塊整體與彈簧相互作用時，兩者組成了一個彈簧振子，兩滑塊整體與彈簧的作用時T間t為彈簧振子周期T的一半，即t23/6T2mmB0.02kg，k2N/m，已知mmAk代入周期公式得：T02.0628.s因此彈簧與墻存在作使勁的

10、時間：tT0.314s2體驗5如圖11,一水平彈簧振子在圓滑絕緣水平面上振動,其振動小球帶正電,在沒有外加電場時,振子的平衡地點在O點,當它振動到最左邊時突然加一個向左的勻強電場,振子連續(xù)振動時,以下說法正確的選項是:EA.平衡地點在O點的左方,振子的振幅增大:B.平衡地點在O點的右方,振子的振幅減小:OC.平衡地點在O點的左方,振子的振幅減小:圖11D.平衡地點在O點的右方,振子的振幅增大答案C體驗6已勁度系數(shù)為k，絕緣資料制成的輕彈簧，一端固定，另一端與質(zhì)量為m、帶電量為q的小球相連，靜止在圓滑絕緣水平面上。當加入以以下列圖的場強為E的勻強電場后，小球開始運動，以下說法正確的選項是（）A.

11、球的速度為零時，彈簧伸長量為qEkB.球做簡諧運動，振幅為qEk運動過程中，小球的機械能守恒運動過程中，是電勢能、動能和彈性勢能的相互轉變答案BD體驗7如圖12所示，在圓滑的水平面上有一彈簧振子，彈簧的勁度系數(shù)為k，開始時，振子被拉到平衡地點O的右側某處，此時拉力為F，爾后輕輕釋放振子，振子從初速度為零的狀態(tài)開始向左運動，經(jīng)過時間t后抵達平衡地點O處，此時振子的速度為v，則在這過程中，振子的平均速度為()A.v/2B.F/（2kt）C.vD.F/（kt）答案D圖12體驗8在圓滑水平面上有一彈簧振子，彈簧的勁度系數(shù)為k，振子質(zhì)量為M，振動的最大速度為v0以以下列圖，當振子在最大位移為A的時刻把質(zhì)

12、量為m的物體輕放在其上，則(1)要保持物體和振子一同振動，兩者間動摩擦因數(shù)最少多大？(2)一同振動時，兩者經(jīng)過平衡地點的速度多大?兩者的振幅又是多大？(已知彈簧彈時局能EP=kx2,x為彈簧相對原長伸長量體驗9在一種叫做“蹦極”的運動中，質(zhì)量為m的游戲者身系一根長為圖13)L、彈性優(yōu)秀的橡皮繩，從高處由靜止開始下落，下落到1.5L時抵達最低點，若在下落過程中不計空氣阻力，則以下說法中正確的選項是（）A速度先增大后減小B在下落位移為L時速度達到最大值C加快度先減小后增大D在下落位移為1.5L時加快度達到最大值剖析游戲者從高處由靜止開始下落，下落到1.5L時抵達最低點的過程，我們可把它分紅兩段來剖

13、析，在下落L的過程中自由落體運動，加快度不變，速度素來增大；從L4/6到1.5L的過程可當作簡諧振動，等效成彈簧振子模型，因此，人的運動可當作是先向平衡地點再走開平衡地點運動，因此加快度先減小后增大，而速度是先增大后減小，平衡地點速度最大，在最低點是最大位移處加快度最大。因此答案選A和D。體驗10一同落機在箱底裝有若干個彈簧，以以下列圖，設在某次事故中，起落機吊索在空中止裂，忽略摩擦力，則起落機在從彈簧下端觸地后直到最低點的一段過程中()起落機的速度不斷減小起落機的加快度不斷變大先是彈力做的負功小于重力做的正功，爾后是彈力做的負功大于重力做的正功到最低點時，起落機加快度的值必然大于重力加快度的

14、值剖析起落機在從彈簧下端觸地后直到最低點的一段過程可等效成彈簧振子模型。升降機先向平衡地點后向最大位移處（最低點）運動，因此速度先增大后減小，加快度先減小后增大，因此選項A和B不對。同時可知彈力先小于重力后大于重力，因此先彈力做的負功小于重力做的正功，爾后是彈力做的負功大于重力做的正功，選項C正確。在最低點時加快度大于剛落地時的重力加快度，選項D正確。體驗11如圖14所示，質(zhì)量為m的物體A用一輕彈簧與下方地面上質(zhì)量也為m的物體B相連，開始時A和B均處于靜止狀態(tài)，此時彈簧壓縮量為x0，一條不可以伸長的輕繩繞過輕滑輪，一端連結物體A、另一端C握在手中，各段繩均處于碰巧挺直狀態(tài)，A上方的一段繩子沿豎

15、直方向且足夠長?，F(xiàn)在C端施水平恒力F而使A從靜止開始向上運動。（整個過程彈簧向來處在彈性限度以內(nèi)）1）若是在C端所施恒力大小為3mg，則在B物塊剛要走開地面時A的速度為多大？2）若將B的質(zhì)量增加到2m，為了保證運動中B向來不走開地面，則F最大不高出多少？圖14剖析由題意可知：彈簧開始的壓縮量x0mg，在B物塊剛mgk要走開地面時彈簧的伸長量也是x0k1）若F=3mg，在彈簧伸長到x0時，B開始走開地面，此時彈簧彈性勢能與施力前相等，F(xiàn)所做的功等于A增加的動能與重力勢能的和。即F2x0mg2x01mv2可解得：v22gx02（2）所施力為恒力F0時，物體B不走開地面，類比豎直彈簧振子，物體A在豎直方向上除了受變化的彈力外，再碰到恒定的重力和拉力。故物體A做簡諧運動。在最低點：Fmg+kx=ma001式中k為彈簧勁度系數(shù)，a1為在最低點A的加快度。在最高點，B碰巧不走開地面，此