MBA數(shù)學(xué)輔導(dǎo)：極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、積分的概念

1、MBA數(shù)學(xué)輔導(dǎo)：極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、積分的概念MBA數(shù)學(xué)輔導(dǎo)：極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、積分的概念極限的概念是整個微積分的基礎(chǔ)，需要深刻地理極限的概念首先是從數(shù)列的極限引出的。對于任意小的正數(shù)NM AX0 (不包X0 這一點F(X)X0 點的極限為AF(X)=(X2-3X+2)/(X-2)X=2 X X 2， 2 1F(X)2 處的極1。X0 X0 F(X)X0 續(xù)。以上的三個條件缺一不可。在上例中，F(xiàn)(X)X=2 X=2 這一點X=2 不連續(xù);F(2)=1，補(bǔ)上“缺口”X=2 變成連續(xù)的;F(2)=3X=2 時，極限值和X=2 還是不連續(xù)。由連續(xù)又引出了左極限、右極限和左連續(xù)、右連續(xù)的概念。函數(shù)值等于

2、左極限為左連續(xù)，函數(shù)值等于右極X0 X=X0 分段函數(shù)連續(xù)問題的最重要的、幾乎是唯一的方法。如果函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)每一點都連續(xù)，在區(qū)間的左右端點分別左右連續(xù)(對閉區(qū)間而言)，則稱函數(shù)在這個區(qū)間上連續(xù)。導(dǎo)數(shù)的概念。導(dǎo)數(shù)是函數(shù)的變化率，直觀地看是指切Y 時斜率為無窮大，因此導(dǎo)數(shù)不存在，但切線存在。 導(dǎo)數(shù)的求法也是一個極限的求法。對于 X=X0，在 X1X0 X1 X1 X0X0 F(X)X=X0 。導(dǎo)數(shù)同樣分為左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)。導(dǎo)數(shù)存在的條件是： F(X)X=X0 連續(xù)，左右導(dǎo)數(shù)存在且相等。這個定義是解決分段函數(shù)可導(dǎo)問題的最重要的、幾乎是唯一的方法。如果函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)每一點都可導(dǎo)，在區(qū)間的左右端點分

3、別左右導(dǎo)數(shù)存在(對閉區(qū)間而言)，則稱函數(shù)在這個區(qū)間上可導(dǎo)。復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例如是集合A 中的自變量x，產(chǎn)生微小變化引起集合B 中對應(yīng)數(shù)u 的微小變化 的變化又引起集合C 中的對應(yīng)數(shù)f(u)的變化則復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)函數(shù) f*u(x)+=df(u)/dx=df(u)/du* du/dx=f(u)*u(x)導(dǎo)數(shù)在生活中的例子最常見的是距離與時間的關(guān)系。物體在極其微小的時間內(nèi)，移動了極其微小的距離， 二者的比值就是物體在這一刻的速度。對于自由落體t0 的速度為V(t0)=S(t0+a)-S(t0)/a, 當(dāng)a 0 gt0; g 度。加速度是距離對時間的二階導(dǎo)數(shù)。從直觀上看，可導(dǎo)意味著光滑的、沒有尖角，因為在

4、尖角處左右導(dǎo)數(shù)不相等。有笑話說一位教授對學(xué)生抱怨道：“這飯館讓人怎么吃飯?你看這碗口，處處不可導(dǎo)!”積分的概念。從面積上理解，積分就是積少成多，把0 0 形()， 分別計算各個長方形的面積再加總，可近似地得出圖形的面積。當(dāng)我們把長方形的寬度設(shè)定得越來越窄， 計算結(jié)果就越來越精確，與圖形實際面積的差距越來越小。如果函數(shù)的積分存在，則長方形寬度趨近于 時，求出的長方形面積總和的極限存在，且等于圖形的實際面積。這里又是一個極限的概念。函數(shù)仍是可積的。只要間斷點的個數(shù)是有限的，則它0，不影響計算結(jié)果。在廣義積分中，允許函數(shù)在無限區(qū)間內(nèi)積分，或某些點的函數(shù)值趨向無窮大，只要積分的極限存在，函數(shù)都是可積的。嚴(yán)格地說，我們只會計算長方形的面積。從我們介紹的積分的求法看，我們實際上是把求面積化為了數(shù)列求和的問題，即求數(shù)列的前N S(N)，在N 無窮大時的極限。很多時候，求積分和求無限數(shù)列的和是可以相互轉(zhuǎn)換的。當(dāng)我們深刻地理解了積分的定義和熟練地掌握了積分公式之后，我們同樣可用它來解決相當(dāng)棘手的數(shù)列求和問題。例 如 ： 求LIMN正 無 窮 大 時 ，的值?？此茻o從下手，可當(dāng)我們把它轉(zhuǎn)化為一連串的小長方 1，2上的積分嗎?ln2。除了基本的積分公式外，換元法和分步法是常用的