2023年高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)復(fù)習(xí)-空間幾何中的垂直（解析版）

1、2023年高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)復(fù)習(xí)空間幾何中的垂直考點(diǎn)一、 線線垂直例1、如圖所示，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為3的正方形，DE平面ABCD，求證：ACBE證明：因?yàn)槠矫?，又平面，所以，因?yàn)槭钦叫?，所以，又，所以平面又平面，所以?、如圖，在四棱錐中，平面平面，平面平面，四邊形為直角梯形，其中，E是的中點(diǎn)，求證： 證明：連接，由己知，E為中點(diǎn)，又，故四邊形為正方形，所以知面面又面面，平面平面，故同理可證又，故平面連接，可知又，可知平面又平面由已知，故四邊形為平行四邊形故可知例3、如圖，在側(cè)棱垂直于底面的三棱柱中，是線段的中點(diǎn)，是線段靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，求證： 證明：由題意，在直三棱柱中，不妨設(shè)，

2、則，由余弦定理可得，因?yàn)?，可得，又由是線段的中點(diǎn)，所以，且，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又因?yàn)?，且平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所?在直角中，因?yàn)槭蔷€段靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)，可得，所以,可得，又由且平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所?跟蹤練習(xí)1、如圖所示，為圓錐底面圓的直徑，點(diǎn)為底面半圓弧上不與，重合的一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)為劣弧的中點(diǎn)，求證： 證明：取的中點(diǎn)，連接，則SO平面ABC，且垂直平分，所以，又因?yàn)椋琒O平面SOD，OD平面SOD，所以BC平面SOD，因?yàn)镾D平面SOD，所以2、如圖，在直四棱柱中，分別為，的中點(diǎn)，底面是菱形，且，證明： 證明：證明：連接，.四邊形是菱形，.又是的中點(diǎn)，.又，.是直四棱柱，平面.

3、又平面，.又，平面.又平面，.3、如圖，在四棱錐中，底面ABNM是邊長(zhǎng)為2的菱形，且為正三角形，E，F(xiàn)分別為MN，AC中點(diǎn)，證明： 證明：連接，由于四邊形是菱形，所以，由于，所以平面，所以.4、已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，E，F(xiàn)分別為和的中點(diǎn)，.（1）求三棱錐的體積；（2）已知D為棱上的點(diǎn)，證明：.解： (1)如圖所示，連結(jié)AF，由題意可得：，由于ABBB1，BCAB，故平面，而平面，故，從而有，從而，則，為等腰直角三角形，.(2)由(1)的結(jié)論可將幾何體補(bǔ)形為一個(gè)棱長(zhǎng)為2的正方體，如圖所示，取棱的中點(diǎn)，連結(jié)，正方形中，為中點(diǎn)，則，又，故平面，而平面，從而.5、如圖，在三棱錐中，平面平面，為

4、的中點(diǎn)，證明：證明：因?yàn)锳B=AD,O為BD中點(diǎn)，所以AOBD因?yàn)槠矫鍭BD平面BCD,平面ABD平面BCD，平面ABD，因此AO平面BCD，因?yàn)槠矫鍮CD，所以AOCD6、如圖，在三棱柱中，四邊形是菱形，點(diǎn)是中點(diǎn)，點(diǎn)是上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn).證明：；證明：取中點(diǎn)，連結(jié)，在中，在菱形中，由可知為等邊三角形，又，.7、如圖，在四棱錐中，底面為菱形，平面平面，為棱的中點(diǎn)，證明： 證明：連接AC,BD交于O，取AD的中點(diǎn)F，連接EF，PA=PD,PFAD，又面PAD面ABCD，AD面ABCD，PF面ABCD，PFAC，又EF為ABD中BD邊的中位線平行且等于 又菱形的對(duì)角線相互垂直平分，則BDAC,PF

5、,EF面EFP，PFEF=F，AC面EFP，又PE面EFP，考點(diǎn)二、 線面垂直例1、如圖，在直三棱柱中，為的中點(diǎn)，證明：平面證明：為的中點(diǎn)，直三棱柱中，面面，面，面面，面，又面，即，由題設(shè)易知：，故，又，則，又，平面.例2、如圖，四棱錐中，平面平面，求證：平面 證明：平面平面，平面平面，平面，又平面，又，又，平面；例3、如圖，在三棱臺(tái)中，側(cè)棱平面點(diǎn)在棱上，證明：平面 證明：因?yàn)椋?，又因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，所以平面，所以，又因?yàn)?，所以，所以，又，所以平面；跟蹤練?xí)1、在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，是等邊三角形，O為的中點(diǎn)，E為的中點(diǎn)，求證：平面證明：連接.在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的

6、菱形，且，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，又是等邊三角形，是等腰三角形.E為的中點(diǎn)，又，由勾股定理得，又由，都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，可知，由為等邊三角形，O為的中點(diǎn)，可知.又，平面，平面.平面.2、如圖，在菱形中，且，為的中點(diǎn)將沿折起使，得到如圖所示的四棱錐，求證：平面 證明：連接四邊形為菱形，是等邊三角形為的中點(diǎn)，又，又，平面，平面，平面3、如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，點(diǎn)是的中點(diǎn)，證明：直線平面 證明：因?yàn)槠蕉矫?，所以，又由，且是直角梯形，可得，可得，所以，又因?yàn)?，且平面，所以平?4、如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，BCC1為正三角形，ACBC，ACAA12，AC12，點(diǎn)P為BB1

7、的中點(diǎn)，證明：CC1平面A1C1P 證明：, 得 ,因?yàn)?為正三角形，所以為正三角形.因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn).所以 , 因?yàn)?, 所以 因?yàn)?， 平面 ,所以 平面 5、如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面平面，為中點(diǎn)，求證：平面 證明：因?yàn)榈酌鏋榫匦?，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫嫫矫?，平面平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，由，所以，所以，又因?yàn)槠矫妫云矫?、已知四棱錐中，底面是平行四邊形，分別是的中點(diǎn)，求證：平面 證明：連接，因?yàn)槭瞧叫兴倪呅蔚牡闹悬c(diǎn)，所以又，所以，所以從而.因?yàn)?，所以，所以作BP的中點(diǎn)M，連接DM，AM所以，DMBP，AMBP，又故BP平面ADM，又 平面，所以BPAD.又面面且所以平面；7

8、、如圖，已知斜三棱柱的底面是正三角形，點(diǎn)，分別是和的中點(diǎn)，求證：平面證明：連結(jié)，側(cè)面是平行四邊形，且，所以為正三角形，又點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，所以又因?yàn)椋裕?所以，所以，又，所以平面.8、如圖，點(diǎn)是以為直徑的圓上的動(dòng)點(diǎn)（異于，），已知，平面，四邊形為平行四邊形，求證：平面證明：因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅?，所以因?yàn)槠矫?，所以平面，所以因?yàn)槭且詾橹睆降膱A上的圓周角，所以，因?yàn)椋矫?，所以平?、如圖，多面體ABCDEF中，底面ABCD為正方形，EAFC，且EA=FC=AB=4，EBDFBD都是正三角形，證明：CF平面ABCD 證明：證法一：CF=BC=4，BF=BD=4，F(xiàn)BD都是正三角形，BCCF，C

9、FCD，BCCD=C，BCCD平面ABCD，CF平面ABCD.證法二：連接AC，交BD于O，則四邊形ACFE為平行四邊形，OA=OC，OE=OF，AE=CF，AEOCFO，EAO=FCO，EAFC，EAO=FCO=90，F(xiàn)COC，BDAC，F(xiàn)D=FB，BDFO，ACFO=O，ACFO平面ACFE，BD平面ACFE，CF平面ACFE，CFBD，OCBD=O，OCBD平面ABCD，CF平面ABCD.10、在四棱錐中，四邊形是邊長(zhǎng)為4的菱形，證明：平面證明：因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)闉槠叫兴倪呅危?，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以平面，所以，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以平面，所以，因?yàn)椋云矫?考點(diǎn)

10、三、 面面垂直例1、在四棱錐中，底面是正方形，若，證明：平面平面證明：取的中點(diǎn)為，連接.因?yàn)椋瑒t，而，故.在正方形中，因?yàn)椋?，故，因?yàn)?，故，故為直角三角形且，因?yàn)?，故平面，因?yàn)槠矫?，故平面平?例2、如圖，正三棱柱中，分別是棱，的中點(diǎn)，在側(cè)棱上，且，求證：平面平面； 證明：在正三棱柱中，平面，平面，.是棱的中點(diǎn)，為正三角形，.，平面.平面.又，.又，平面，平面，平面平面.例3、如圖，四棱錐中，是正三角形，求證：平面底面 證明：由，,得，又,所以.因?yàn)樗栽谌切沃校?所以.因?yàn)椋运?因?yàn)椋云矫?因?yàn)榈酌?，所以平面底?跟蹤練習(xí)1、如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，證明：平面ABC

11、平面A1ACC1.證明：作的中點(diǎn),連接 平面,平面 平面,平面 平面ABC平面A1ACC1. 2、已知正三角形的邊長(zhǎng)為，點(diǎn)、分別是邊、上的點(diǎn)，且滿足（如圖1），將沿折起到的位置（如圖2），且使與底面成角，連接，求證：平面平面 證明：折疊前，在圖1中，由余弦定理可得，所以，則，折疊后，在圖2中，對(duì)應(yīng)地有，平面，平面，因此，平面平面；3、如圖，四棱錐中，平面，為線段上一點(diǎn)，且，證明：平面平面 證明：平面，平面，如圖過(guò)作交于點(diǎn)，所以，所以，又平面，平面，平面，平面平面4、如圖，四棱錐中，平面，為線段上一點(diǎn)，且，證明：平面平面 證明：平面，平面，又平面，平面，平面，平面平面.5、邊長(zhǎng)為1的正方形，平面

12、，求證：平面平面 證明：因?yàn)槠矫?，平面，所以，又為正方形，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以平面平?6、如圖，四棱錐PABCD的底面ABCD為菱形，ABC60，PA平面ABCD，且E，M分別為BC，PD的中點(diǎn)，點(diǎn)F為棱PC上一動(dòng)點(diǎn)，證明：平面AEF平面PAD 證明：連結(jié)AC，因?yàn)榈酌鍭BCD為菱形，ABC60，所以三角形ABC為等邊三角形，因?yàn)镋為BC的中點(diǎn)，所以AEBC.又ADBC，所以AEAD.因?yàn)镻A平面ABCD，所以PAAE.因?yàn)?所以AE面.因?yàn)槊?所以面AEF平面PAD7、在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，為等腰直角三角形，E為的中點(diǎn)，且，求證：平面平面證明：取中點(diǎn)，連接、

13、，如圖，為等腰直角三角形，且，且，即，四邊形是正方形，、面，面，面，且、面，面，面，平面平面8、如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為正方形，PA底面ABCD，PAAB4，E為PB的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段BC上的點(diǎn)，且BFBC，求證：平面AEF平面PBC 證明：證明：因?yàn)镻A底面ABCD，BC底面ABCD，所以，又因?yàn)榈酌鍭BCD為正方形，所以，又因?yàn)锳B平面PBC，PA平面PBC，且，所以BC底面PAB，又因?yàn)锳E平面PBA，所以，因?yàn)镻AAB，E為PB的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)镻B平面PBC，BC平面PBC，所以AE平面PBC，因?yàn)锳E平面AEF，所以平面AEF平面PBC；9、如圖，在四棱錐中，底面

14、為正方形，且底面.（1）求證：平面平面；（2）若為棱的中點(diǎn)，在棱上求一點(diǎn)F，使平面.解：（1）證明：因?yàn)榈酌?，平?所以；又底面為正方形，所以,所以平面,又平面，所以平面平面,得證.（2）如圖所示，取的中點(diǎn),的中點(diǎn),連接、,所以會(huì)有,又,所以且,所以四邊形為平行四邊形，所以,面,面,所以平面平面,所以點(diǎn)，即為我們要找的F點(diǎn).2（2021全國(guó)高考真題（文）如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，M為的中點(diǎn)，且，證明：平面平面 證明：因?yàn)榈酌?，平面，所以，又，所以平面，而平面，所以平面平?0、如圖，在三棱柱中，證明：平面平面證明：如圖，連接，在中，由余弦定理，得，所以，所以，所以，同理，又，平面,所以平

15、面,又平面，所以平面平面.考點(diǎn)四 垂直中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題例1、如圖，三棱柱，平面，四棱錐為陽(yáng)馬，且，分別是，的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. 證明：（1）取中點(diǎn)，連接，在中，因?yàn)?，分別是，中點(diǎn)，所以，且，在平行四邊形中，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，且，所以，且，所以四邊形是平行四邊形，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平?（2）在線段上存在點(diǎn)，使得平面，取的中點(diǎn)，連，連，因?yàn)槠矫妫矫?，平面，所以，在中，因?yàn)?，分別是，中點(diǎn)，所以，又由（1）知，所以，由得平面，故當(dāng)點(diǎn)是線段的中點(diǎn)時(shí)，平面.此時(shí)，.例2、如圖，在直三梭柱中，點(diǎn)，分別為和的中點(diǎn)（1

16、）棱上是否存在點(diǎn)使得平面平面？若存在，寫(xiě)出的長(zhǎng)并證明你的結(jié)論；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由（2）求點(diǎn)到平面的距離 證明：（1）存在點(diǎn)滿足題意，且證明如下：取的中點(diǎn)為，連接，則，所以平面因?yàn)?，是的中點(diǎn)，所以在直三棱柱中，平面平面，且交線為，所以平面，所以在平面內(nèi)，所以，從而可得又因?yàn)?，所以平面因?yàn)槠矫?，所以平面平面?）過(guò)點(diǎn)作，垂足為，連接設(shè)點(diǎn)到平面的距離為而，所以是等腰三角形，腰長(zhǎng)為，底邊長(zhǎng)為，所以，因此，解得例3、如圖所示，在幾何體中，是等邊三角形，平面，且，試在線段上確定點(diǎn)的位置，使平面，并證明； 證明：當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，平面.證明如下：取中點(diǎn)，連接，且，又，且，四邊形為平行四邊形，.又平面，平面，

17、又CD面BCD,平面平面，是等邊三角形，又平面平面，平面，平面.跟蹤練習(xí)1、如圖，三棱柱的側(cè)面是平行四邊形，平面平面，且分別是的中點(diǎn).（）求證：；（）求證：平面；（）在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. 證明：（）因?yàn)椋制矫嫫矫?，且平面平面，所以平?又因?yàn)槠矫?，所?（）取中點(diǎn)，連連.在中，因?yàn)榉謩e是中點(diǎn)，所以，且.在平行四邊形中，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，且.所以，且.所以四邊形是平行四邊形.所以.又因?yàn)槠矫?，平面，所以平?（）在線段上存在點(diǎn)，使得平面.取的中點(diǎn)，連，連.因?yàn)槠矫妫?平面, 平面,所以 , .在中，因?yàn)榉謩e是中點(diǎn)，所以.又由（）知，所以 ，.

18、由 得平面.故當(dāng)點(diǎn)是線段的中點(diǎn)時(shí)，平面.此時(shí)，.2、如圖，在長(zhǎng)方體中， 分別為的中點(diǎn)，是上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且.（1）當(dāng)時(shí)，求證：平面平面；（2）是否存在，使得？若存在，請(qǐng)求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. 證明：(1)當(dāng)時(shí)，為中點(diǎn)，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以,則四邊形是平行四邊形，所以.又平面平面，所以平面.因?yàn)榉謩e是中點(diǎn)，所以.因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平?因?yàn)槠矫嫫矫妫云矫嫫矫?(2)如圖，連接與,因?yàn)槠矫嫫矫妫?若又平面，且，所以平面.因?yàn)槠矫妫?在矩形中，由，得,所以.又，所以,則，即.3、如圖，在正三棱柱中，側(cè)棱長(zhǎng)和底面邊長(zhǎng)均為1，是的中點(diǎn)（1）求證：平面；（2）試問(wèn)線段上是否存在點(diǎn)，使？若存在，求 的值，若不存在，說(shuō)明理由 證明：（1）連結(jié)交于點(diǎn)O，連結(jié)OD 交