中位數(shù)平均數(shù)眾數(shù)方差講稿

1、關(guān)于中位數(shù)平均數(shù)眾數(shù)方差第1頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，15點(diǎn)48分，星期四1頻率分布直方圖 在頻率分布直方圖中，縱軸表示，數(shù)據(jù)落在各小組內(nèi)的頻 率用表示，所有長(zhǎng)方形面積之和. 提示：注意頻率分布條形圖和頻率分布直方圖是兩個(gè)不同的概念雖然它們的 橫軸表示的內(nèi)容是相同的，但是頻率分布條形圖的縱軸(矩形的高)表示頻率；頻 率分布直方圖的縱軸(矩形的高)表示頻率與組距的比值，其相應(yīng)組距上的頻率等 于該組距上的矩形的面積頻率與組距的比值小長(zhǎng)方形的面積等于1第2頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，15點(diǎn)48分，星期四2頻率分布折線圖和總體密度曲線 (1)頻率分布折線圖：連接頻率分布直方圖中各

2、小長(zhǎng)方形上端的 ， 就得頻率分布折線圖 (2)總體密度曲線：隨著樣本容量的增加，作圖時(shí)所有的組數(shù)增加， 減 小，相應(yīng)的頻率分布折線圖會(huì)越來(lái)越接近于一條光滑曲線，即總體密度曲線 中點(diǎn)組距3莖葉圖當(dāng)樣本數(shù)據(jù)較少時(shí)，莖葉圖表示數(shù)據(jù)的效果較好，一是從統(tǒng)計(jì)圖上沒有 丟失，二是方便記錄與表示，但當(dāng)樣本數(shù)據(jù)較多或數(shù)據(jù)位數(shù)較多時(shí)，莖葉圖就不太方便了原始數(shù)據(jù)第3頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，15點(diǎn)48分，星期四4眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù) (1)在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù) 的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù) (2)將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，把處在 位置的一個(gè)數(shù)據(jù)(或中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平 均數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù) (3)如果有

3、n個(gè)數(shù)x1，x2，xn，那么 叫做這n個(gè)數(shù)的平均數(shù)較多中間5標(biāo)準(zhǔn)差和方差(1)標(biāo)準(zhǔn)差是樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種 (2)s .(3)方差：(xn是樣本數(shù)據(jù)，n是樣本容量， 是樣本平均數(shù)) 平均距離第4頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，15點(diǎn)48分，星期四【思考】 總體平均數(shù)與總體方差分別反映了總體的什么特征，有哪些區(qū)別？答案：總體平均數(shù)即總體期望值，是反映總體平均水平的一個(gè)值；而總體方差是反映總體的波動(dòng)情況的一個(gè)量，二者反映的角度不同，不可相互比較，但有些問題在總體期望值差距不大時(shí)，可考慮用總體方差進(jìn)一步區(qū)分第5頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，15點(diǎn)48分，星期四1(2009福建卷)一個(gè)

4、容量為100的樣本，其數(shù)據(jù)的分組與各組的頻數(shù)如下： 則樣本數(shù)據(jù)落在(10,40上的頻率為() A0.13 B0.39 C0.52 D0.64 解析：由列表可知樣本數(shù)據(jù)落在(10,40上的頻數(shù)為52，故其頻率為0.52. 答案：C組別(0,10(10,20(20,30(30,40(40,50(50,60(60,70頻數(shù)1213241516137第6頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，15點(diǎn)48分，星期四2.右圖是根據(jù)山東統(tǒng)計(jì)年鑒2007中的資料作成的1997年至2006年我省 城鎮(zhèn)居民百戶家庭人口數(shù)的莖葉圖圖中左邊的數(shù)字從左到右分別表示 城鎮(zhèn)居民百戶家庭人口數(shù)的百位數(shù)字和十位數(shù)字，右邊的數(shù)字表

5、示城鎮(zhèn) 居民百戶家庭人口數(shù)的個(gè)位數(shù)字從圖中可以得到1997年至2006年我省 城鎮(zhèn)居民百戶家庭人口數(shù)的平均數(shù)為() A304.6 B303.6 C302.6 D301.6 解析： 303.6. 答案：B 第7頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，15點(diǎn)48分，星期四3從某項(xiàng)綜合能力測(cè)試中抽取100人的成績(jī)，統(tǒng)計(jì)如表，則這100人成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差 為() A. B. C3 D. 解析：由標(biāo)準(zhǔn)差公式計(jì)算可得 答案：B分?jǐn)?shù)54321人數(shù)2010303010第8頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，15點(diǎn)48分，星期四4(2009湖北卷)如圖是樣本容量為200的頻率 分布直方圖 根據(jù)樣本的頻率分布直方圖估

6、計(jì)， 樣本數(shù)據(jù)落在6,10)內(nèi)的頻數(shù)為_， 數(shù)據(jù)落在2,10)內(nèi)的概率約為_ 解析：2000.08464；(0.020.08)40.4. 答案：640.4第9頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，15點(diǎn)48分，星期四5: 甲、乙兩臺(tái)機(jī)床同時(shí)加工直徑為10 mm的零件，為了檢驗(yàn)產(chǎn)品的質(zhì)量，從產(chǎn)品中各隨機(jī)抽取6件進(jìn)行測(cè)量，測(cè)得數(shù)據(jù)如下(單位mm)甲：99,100,98,100,100,103乙：99,100,102,99,100,100(1)分別計(jì)算上述兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差；(2)根據(jù)(1)的計(jì)算結(jié)果，說(shuō)明哪一臺(tái)機(jī)床加工的這種零件更符合要求第10頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，15點(diǎn)48分

7、，星期四思維點(diǎn)撥：已知一組數(shù)據(jù)x1，x2，xn，其平均數(shù)為 ，方差為標(biāo)準(zhǔn)差為解：(1) (99100)2(100100)2(98100)2(100100)2(100100)2(103100)2 第11頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，15點(diǎn)48分，星期四 (99100)2(100100)2(102100)2(99100)2(100100)2(100100)21.(2)因?yàn)?，說(shuō)明甲機(jī)床加工零件波動(dòng)比較大，因此乙機(jī)床加工零件更符合要求第12頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，15點(diǎn)48分，星期四1平均數(shù)與方差都是重要的數(shù)字特征，是對(duì)總體的一種簡(jiǎn) 明的描述，它們所反映的情況有著重要的實(shí)際意義，

8、 平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)描述其集中趨勢(shì)，方差和標(biāo)準(zhǔn) 差描述波動(dòng)大小附注：第13頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，15點(diǎn)48分，星期四2平均數(shù)、方差的公式推廣 (1)若數(shù)據(jù)x1，x2，xn的平均數(shù)為 ，那么mx1a， mx2a，mx3a，mxna的平均數(shù)是m a. (2)數(shù)據(jù)x1，x2，xn的方差為s2. s2 數(shù)據(jù)x1a，x2a，xna的方差也為s2； 數(shù)據(jù)ax1，ax2，axn的方差為a2s2.第14頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，15點(diǎn)48分，星期四 二 、 眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)與頻率分布直方圖的關(guān)系 1、眾數(shù)在樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中，就是最高矩形的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)。 例如，在上一

9、節(jié)調(diào)查的100位居民的月均用水量的問題中，從這些樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖可以看出，月均用水量的眾數(shù)是2.25t.如圖所示：第15頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，15點(diǎn)48分，星期四頻率組距0.10.20.30.40.5O 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月平均用水量(t)第16頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，15點(diǎn)48分，星期四 2、在樣本中，有50的個(gè)體小于或等于中位數(shù)，也有50的個(gè)體大于或等于中位數(shù)，因此，在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等，由此可以估計(jì)中位數(shù)的值。下圖中虛線代表居民月均用水量的中位數(shù)的估計(jì)值，此數(shù)據(jù)值為2.02t

10、. 第17頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，15點(diǎn)48分，星期四頻率組距0.10.20.30.40.5O 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月平均用水量(t)第18頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，15點(diǎn)48分，星期四說(shuō)明: 2.02這個(gè)中位數(shù)的估計(jì)值,與樣本的中位數(shù)值2.0不一樣,這是因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù)的頻率分布直方圖,只是直觀地表明分布的形狀,但是從直方圖本身得不出原始的數(shù)據(jù)內(nèi)容,所以由頻率分布直方圖得到的中位數(shù)估計(jì)值往往與樣本的實(shí)際中位數(shù)值不一致.第19頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，15點(diǎn)48分，星期四 3、平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”.是直方圖的平衡

11、點(diǎn). n 個(gè)樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)由公式:X=值為：在頻率分布直方圖中每個(gè)小矩形度面積乘以小矩形的底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和第20頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，15點(diǎn)48分，星期四頻率組距0.10.20.30.40.5O 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月平均用水量(t)第21頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，15點(diǎn)48分，星期四三 三種數(shù)字特征的優(yōu)缺點(diǎn) 1、眾數(shù)體現(xiàn)了樣本數(shù)據(jù)的最大集中點(diǎn)，但它對(duì)其它數(shù)據(jù)信息的忽視使得無(wú)法客觀地反映總體特征.如上例中眾數(shù)是2.25t,它告訴我們,月均用水量為2.25t的居民數(shù)比月均用水量為其它數(shù)值的居民數(shù)多,但它并沒有告訴我們多多少.第

12、22頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，15點(diǎn)48分，星期四 2、中位數(shù)是樣本數(shù)據(jù)所占頻率的等分線，它不受少數(shù)幾個(gè)極端值的影響，這在某些情況下是優(yōu)點(diǎn)，但它對(duì)極端值的不敏感有時(shí)也會(huì)成為缺點(diǎn)。如上例中假設(shè)有某一用戶月均用水量為10t，那么它所占頻率為0.01,幾乎不影響中位數(shù),但顯然這一極端值是不能忽視的。第23頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，15點(diǎn)48分，星期四 3、由于平均數(shù)與每一個(gè)樣本的數(shù)據(jù)有關(guān)，所以任何一個(gè)樣本數(shù)據(jù)的改變都會(huì)引起平均數(shù)的改變，這是眾數(shù)、中位數(shù)都不具有的性質(zhì)。也正因如此 ，與眾數(shù)、中位數(shù)比較起來(lái)，平均數(shù)可以反映出更多的關(guān)于樣本數(shù)據(jù)全體的信息，但平均數(shù)受數(shù)據(jù)中的極端值的

13、影響較大，使平均數(shù)在估計(jì)時(shí)可靠性降低。 第24頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，15點(diǎn)48分，星期四在頻率分布直方圖中，中位數(shù)、眾數(shù)與平均數(shù)如何確定？提示：在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積相等，由此可以估計(jì)中位數(shù)的值，而平均數(shù)的估計(jì)值等于頻率分布直方圖中每個(gè)小矩形的面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和.眾數(shù)是最高的矩形的中點(diǎn)的橫坐標(biāo).第25頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，15點(diǎn)48分，星期四1(2009年上海高考)在發(fā)生某公共衛(wèi)生事件期間，有專業(yè)機(jī)構(gòu)認(rèn)為該事件在一段時(shí)間內(nèi)沒有發(fā)生大規(guī)模群體感染的標(biāo)志為“連續(xù)10天，每天新增疑似病例不超過(guò)7人”，根據(jù)過(guò)去10天甲、乙、丙

14、、丁四地新增疑似病例數(shù)據(jù)，一定符合該標(biāo)志的是()A甲地：總體均值為3，中位數(shù)為4B乙地：總體均值為1，總體方差大于0C丙地：中位數(shù)為2，眾數(shù)為3D丁地：總體均值為2，總體方差為3第26頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，15點(diǎn)48分，星期四【解析】由于甲地總體均值為3，中位數(shù)為4，即中間兩個(gè)數(shù)(第5、6天)人數(shù)的平均數(shù)為4，因此后面的人數(shù)可以大于7，故甲地不符合乙地中總體均值為1，因此這10天的感染人數(shù)總和為10，又由于方差大于0，故這10天中不可能每天都是1，可以有一天大于7，故乙地不符合丙地中中位數(shù)為2，眾數(shù)為3,3出現(xiàn)的最多，并且可以出現(xiàn)8，故丙地不符合故丁地符合【答案】D第27頁(yè)，共

15、36頁(yè)，2022年，5月20日，15點(diǎn)48分，星期四2： (2009安徽高考)某良種培育基地正在培育一種小麥新品種A.將其與原有的一個(gè)優(yōu)良品種B進(jìn)行對(duì)照試驗(yàn)兩種小麥各種植了25畝，所得畝產(chǎn)數(shù)據(jù)(單位：千克)如下：品種A：357,359,367,368,375,388,392,399,400,405,412,414,415,421,423,423,427,430,430,434,443,445,445,451,454品種B：363,371,374,383,385,386,391,392,394,394,395,397,397,400,401,401,403,406,407,410,412,415

16、,416,422,430(1)完成數(shù)據(jù)的莖葉圖；(2)用莖葉圖處理現(xiàn)有的數(shù)據(jù)，有什么優(yōu)點(diǎn)？(3)通過(guò)觀察莖葉圖，對(duì)品種A與B的畝產(chǎn)量及其穩(wěn)定性進(jìn)行比較，寫出統(tǒng)計(jì)結(jié)論第28頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，15點(diǎn)48分，星期四【解】(1)第29頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，15點(diǎn)48分，星期四(2)由于每個(gè)品種的數(shù)據(jù)都只有25個(gè)，樣本不大，畫莖葉圖很方便；此時(shí)莖葉圖不僅清晰明了地展示了數(shù)據(jù)的分布情況 ，便于比較，沒有任何信息損失，而且還可以隨時(shí)記錄新的數(shù)據(jù)(3)通過(guò)觀察莖葉圖可以看出：品種A的畝產(chǎn)平均數(shù)(或均值)比品種B高；品種A的畝產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)差(或方差)比品種B大，故品種A的畝產(chǎn)穩(wěn)定性

17、較差第30頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，15點(diǎn)48分，星期四3從甲、乙兩品種的棉花中各抽測(cè)了25根棉花的纖維長(zhǎng)度 (單位：mm)，結(jié)果如下： 甲品種：271273280285285287292294295 301303303307308310314319323 325325328331334337352 乙品種：284292295304306307312313315 315316318318320322322324327 32933133333633734335609海南寧夏第31頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，15點(diǎn)48分，星期四由以上數(shù)據(jù)設(shè)計(jì)了如下莖葉圖：根據(jù)莖葉圖，對(duì)甲、乙

18、兩品種棉花的纖維長(zhǎng)度作比較，寫出兩個(gè)統(tǒng)計(jì)結(jié)論：第32頁(yè)，共36頁(yè)，2022年，5月20日，15點(diǎn)48分，星期四解：可從以下幾個(gè)結(jié)論中任意寫出兩個(gè)乙品種棉花的纖維平均長(zhǎng)度大于甲品種棉花的纖維平均長(zhǎng)度(或：乙品種棉花的纖維長(zhǎng)度普遍大于甲品種棉花的纖維長(zhǎng)度)甲品種棉花的纖維長(zhǎng)度較乙品種棉花的纖維長(zhǎng)度更分散(或：乙品種棉花的纖維長(zhǎng)度較甲品種棉花的纖維長(zhǎng)度更集中(穩(wěn)定)甲品種棉花的纖維長(zhǎng)度的分散程度比乙品種棉花的纖維長(zhǎng)度的分散程度更大)甲品種棉花的纖維長(zhǎng)度的中位數(shù)為307 mm，乙品種棉花的纖維長(zhǎng)度的中位數(shù)為318 mm.乙品種棉花的纖維長(zhǎng)度基本上是對(duì)稱的，而且大多集中在中間(均值附近)甲品種棉花的纖維長(zhǎng)度除一個(gè)特殊值352外，也大致對(duì)稱，其分布較均勻.第33頁(yè)，共36頁(yè)，2022年