材料力學應(yīng)力狀態(tài)與線性代數(shù)知識點的交叉教學研究

1、材料力學應(yīng)力狀態(tài)與線性代數(shù)知識點的交叉教學研究摘 要 通過將材料力學理論與線性代數(shù)課程交叉教學,建立兩門課程間的知識聯(lián)系。以材料力學中的應(yīng)力分 析章節(jié)為具體依托，探討了兩門課程中的知識點交叉，強化了學生對材料力學中主應(yīng)力的理解，又賦予線性代數(shù) 中特征值和特征向量以物理意義,最終達到提升教學效果和激發(fā)學生創(chuàng)新性思維的目的。關(guān)鍵詞 材料力學 線性代數(shù) 交叉 主應(yīng)力 特征值Cross Teaching Research on Stress State of Material Mechanics and Knowl-edge Points of Linear AlgebraAbstract Throu

2、gh the cross teaching of mechanics of materials and linear algebra, the knowledge connection between the two courses is established. Based on the chapter of stress analysis in mechanics of materials, this paper discusses the intersection of knowledge points in the two courses, strengthens students u

3、nderstanding of principal stress in mechanics of materials, and endows eigenvalues and eigenvectors in linear algebra with physical meaning, so as to improve teaching effect and stimulate students innovative thinking.Keywords material mechanics; linear algebra; cross; principal stress; characteristi

4、c value0引言力學的相關(guān)課程是與數(shù)學聯(lián)系最為緊密的課程，力學 同時也是連接工程的主要橋梁。相對于其他課程而言，材 料力學的知識點龐雜，新概念新名詞多。例如彈性模量、泊 松比、應(yīng)力、應(yīng)變、壓桿失穩(wěn)等名詞都是學生首次接觸。如 何將各類力學概念直觀地表達出來，讓學生易于接受是目 前材料力學教學中的一個挑戰(zhàn)?；玖W概念的不清晰對 知識點的學習和力學公式的應(yīng)用都會帶來影響。例如材料 力學應(yīng)力狀態(tài)分析章節(jié)的學習，官對大多數(shù)同學來說是一 個難點。這一章以純粹的力學模型一一應(yīng)力單元體為研究 對象,通過數(shù)學推導(dǎo)建立任意方向面上的應(yīng)力計算公式，并 推廣出主應(yīng)力等概念。復(fù)雜煩瑣的公式推導(dǎo)造成學生學習 興趣不

5、高而且教學效果差。線性代數(shù)課程也存在同樣的問題，大量的新名詞如行 列式、矩陣、秩讓學生在學習過程中缺乏現(xiàn)實生活的對 照，導(dǎo)致學生的學習興趣和學習主動性低。雖然同學們對 線性代數(shù)中特征值和特征向量等概念已經(jīng)有了清楚的認 識。3但是由于學習過程中，沒有明確的分析對象,學生對 這些基本概念感到非常困惑，因此教學效率相對較低。與線性代數(shù)課程相關(guān)知識點的交叉，是筆者所在的教學 部的一個重要改革方向。本論文依托材料力學中主應(yīng)力和 線性代數(shù)中特征值的對應(yīng)關(guān)系，介紹了這兩門課程中的交叉 教學，在工程力學、材料力學的學習中，回顧線性代數(shù)的知識 交叉,深化學生對力學知識和數(shù)學知識的理解。4-5首先介紹 了材料力學

6、的教學難點及與線性代數(shù)的交叉教學意義，然后 建立了材料力學中任意截面上應(yīng)力計算與線性代數(shù)中坐標 變換的關(guān)系,分析了主應(yīng)力/主應(yīng)力方位與特征值/特征向量 的對應(yīng)關(guān)系,最后通過兩個教學案例給出了詳細的說明。1交叉知識點浙江大學劉鴻文教授的材料力學中應(yīng)力狀態(tài)分析安 排在第7章，位于基本變形和組合變形章節(jié)中間，而哈爾濱 工業(yè)大學的張少實教授的新編材料力學將應(yīng)力狀態(tài)分析 放在了緒論之后?？梢姂?yīng)力狀態(tài)分析這一章的內(nèi)容既可以 是求解工具（劉版），也能是提綱挈領(lǐng)的點睛之筆（張版）。倘若開展材料力學和線性代數(shù)的交叉教學，筆者建議采用 張老師的新編材料力學教材。下面我們著重介紹在相關(guān)的 教學實踐中建設(shè)的材料力學-

7、線性代數(shù)交叉教學設(shè)計。1.1任意截面上應(yīng)力計算與坐標變換實驗發(fā)現(xiàn),鑄鐵的壓縮破壞發(fā)生在與橫截面成45-55。 夾角的斜截面上，而鑄鐵的扭轉(zhuǎn)破壞發(fā)生在與橫截面成45 夾角的螺旋截面上。在軸向拉壓變形和扭轉(zhuǎn)變形的學習 中，軸向拉壓變形中橫截面上正應(yīng)力最大，而扭轉(zhuǎn)變形中橫 截面最外側(cè)的切應(yīng)力最大，低碳鋼的破壞可以得到理論完 美的解釋。為什么鑄鐵的壓縮破壞和扭轉(zhuǎn)破壞都是發(fā)生在 斜截面上呢？首先需要明確的是，破壞的截面上一定出現(xiàn)了某個應(yīng) 力的最大值，也就是說破壞一定是應(yīng)力超過了許用應(yīng)力造 成的。那么，得到任意方位角上的應(yīng)力函數(shù),便可以得到對 應(yīng)的方位角和極值，這是應(yīng)力狀態(tài)分析的主要內(nèi)容之一。 以一般平面

8、應(yīng)力狀態(tài)為例，已知在應(yīng)力單元體上，存在兩個 正應(yīng)力CTx，y和一個切應(yīng)力Txy，如圖1所示。 體推導(dǎo)可以參考劉鴻文老師的材料力學。在學習中，學生 往往通過機械記憶的方法將這幾組公式記在腦海中，然后 在考試中生搬硬套，極少有學生能夠自己按照靜力學平衡 的思路推導(dǎo)建立這幾組公式。我們在這里直接給出最大應(yīng) 力和最小應(yīng)力的表達式: TOC o 1-5 h z bm牛氣,引(5)2知，1r 2)tan20 =arctan (6)閂2弓-陽根據(jù)線性代數(shù)知識，計算矩陣。=* 土 的特征_Tyx_值,即保證|九1削=0,帶入單位矩陣I后得到：口 四=0(7)、 九_缶，特征值是以下方程的解：/ - (by +

9、 )九 + bqbp _ U，= 0根據(jù)一元二次方程的計算公式直接可以得到：圖1 一般平面應(yīng)力狀態(tài)A =(b +b(9)對比公式(5)和公式(9),可以發(fā)現(xiàn)兩者結(jié)果是完全一致的，而特征向量和截面的方位角恰好也是對應(yīng)的,說明材直接給出a斜截面上正應(yīng)力的計算公式如下：+ ctv % _ avb = -Icos2at sin2a (1) TOC o 1-5 h z 22勺借助三角函數(shù)的換算關(guān)系，可以直接得到與a截面垂 直的截面上,即 =(1+兀/2截面上，有：廣弓；七-cos 2a+j sin la(2)而a斜截面切應(yīng)力的計算公式為1：-Ovt= sin 2a +t cos2a(3)2易上述推導(dǎo)過程

10、數(shù)學本質(zhì)上就是一個應(yīng)力的坐標變換，6對應(yīng)力矩陣% 一的坐標變換如下式所示：E %=cos asina弓%cos a-sin a(4 )_ T住Cr+瀝2-sinacos a J氣，一sin acos a展開公式(4)可以直接得到公式(1-3)需要注意的是,材料力學中切應(yīng)力有正負，但是寫成矩陣的形式應(yīng)該遵循 彈性力學的原則，即矩陣是對稱的。1.2主應(yīng)力/主應(yīng)力方位與特征值/特征向量通過公式(2)可以計算應(yīng)力的極值和對應(yīng)的a角度，具 料力學和線性代數(shù)的這幾個知識點完全可以交叉。并且在 上課的過程中，教師可以利用MATLAB中V,D =eig(A)” 演示,7其中V和D分別表示特征向量和特征值。既能

11、夠 促進學生對相關(guān)知識點的理解和掌握，還可以強化計算機 輔助教學,讓學生學有所用,用有所依”，而不是僅僅被灌 輸干澀的知識。2材料力學與線性代數(shù)的交叉教學案例本節(jié)中給出了兩個交叉教學案例，第一個問題是純剪 切狀態(tài)中主應(yīng)力的計算。純剪切單元體上只有切應(yīng)力，如 圖2左圖所示。首先采用材料力學知識，利用公式(5)可以 得到。max =多和。min =2，因此三個主應(yīng)力分別為6 =T ,=0 和e=-t。利用公式(6)可以得到。max所在的截面為a 0=-45, 如圖2中右圖所示。圖2案例學習1純剪切應(yīng)力狀態(tài)及其主平面和主應(yīng)力利用線性代數(shù)知識分析這個問題，將應(yīng)力寫成矩陣形式:0 -T。=-（10）-T

12、 0根據(jù)線性代數(shù)的特征值計算過程，可以得到上述矩陣 的特征向量和特征值為入1=T；入2=P，可以發(fā)現(xiàn)應(yīng)力張量矩陣 的特征恰好是主應(yīng)力。特征向量可以計算得到：ei= -0.707,0.707和 e2=-0.707, -0.707。最大正應(yīng)力沿著與 ei 的方向,，=t0沿著截面法線向外，最小正應(yīng)力沿著與e2的 方向,，=-0沿著截面法線向里。因為應(yīng)力張量是實對稱 的，因此一定可以找到代表主應(yīng)力的實數(shù)特征值?？紤]如圖3所示的平面一般應(yīng)力狀態(tài)，已知x=300MPa， Ty =200MPa 和=50MPa。重要的理論實踐意義。在材料力學應(yīng)力狀態(tài)的學習階段, 針對主應(yīng)力，主應(yīng)力的方位聯(lián)系線性代數(shù)中的特征

13、值和特 征向量，并利用線性代數(shù)中的坐標變換解釋了材料力學中 任意方向上的應(yīng)力計算。通過兩門課程知識的交叉，對同 學們理解這些數(shù)學定義和力學物理概念有重要的意義。經(jīng) 過多年的教學實踐，發(fā)現(xiàn)兩門課程的知識交叉講解,可以有 效地提高學生的學習興趣，著重鍛煉了學生利用材料力學 和線性代數(shù)解決工程問題的能力。也期望本文介紹的知識 交叉能夠拋磚引玉，促進材料力學”課程教學的部分內(nèi)容 的教學變革探索和實踐。T=200MPa圖3案例學習2平面一般應(yīng)力狀態(tài)根據(jù)公式（5）可以求出最大正應(yīng)力和最小正應(yīng)力吊/ =320.71MPa 和。皿=179.29MPa，也就是說6 =320.71MPa,E =179.29MPa,，3=0MPa。根據(jù)公式（6）可以推出o0=k/8,因此最 大應(yīng)力應(yīng)該沿著東偏南22.5,然后可以得到最小應(yīng)力位于東 偏北67.5。使用線性代數(shù)的相關(guān)方法,首先將應(yīng)力寫成矩陣 形式：根據(jù)線性代數(shù)的知識，可以得到上述矩陣的特征向量 和特征值為入1=320.71MPa和k2=179.29MPa,即應(yīng)力張量矩 陣的特征恰好是主應(yīng)力。特征向量可以計算得到：e1= -0.9239,0.3827和 e2=-0.3827,-0.9239 最大正應(yīng)力沿著 與垂直的方向，最小正應(yīng)力沿著與e2的方向，因為兩個特 征