蘇教版數(shù)學(xué)高一蘇教版必修4知識必備2.2向量的線性運(yùn)算

1、2.2 向量的線性運(yùn)算知識梳理一、向量加法1.定義:如圖2-2-1，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)A，作=a，=b，則向量叫做向量a與b的和，記作a+b，即a+b=+=.圖2-2-1求兩個(gè)向量和的運(yùn)算，叫做向量的加法.對于零向量與任意向量a，仍然有a+0=0+a=a.2.運(yùn)算律(1)交換律：a+b=b+a.(2)結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c).二、向量減法與a長度相等且方向相反的向量，叫做a的相反向量，記作-a.定義:求兩個(gè)向量差的運(yùn)算叫做向量的減法：a-b=a+(-b)，即向量a減去向量b相當(dāng)于加上向量b的相反向量-b.三、向量數(shù)乘1.定義:一般地，實(shí)數(shù)與向量a的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)

2、乘，記作a，它的長度與方向規(guī)定如下：(1)|a|=|a|；(2)當(dāng)0時(shí)，a的方向與a的方向相同,當(dāng)0時(shí)，a的方向與a的方向相反；(3)當(dāng)=0時(shí)，a=0.2.運(yùn)算律設(shè)、是實(shí)數(shù)，則有：(1)(a)=()a;(結(jié)合律)(2)(+)a=a+a；(第一分配律)(3)(a+b)=a+b.(第二分配律)知識導(dǎo)學(xué)數(shù)能進(jìn)行運(yùn)算，向量是否也能進(jìn)行運(yùn)算呢？要學(xué)好本節(jié)內(nèi)容，從數(shù)的加法啟發(fā)我們,借助于物理中位移的合成、力的合成來理解向量的加法，從而順理成章地接受向量的加法定義.結(jié)合圖形掌握向量加法的三角形法則和平行四邊形法則.聯(lián)系數(shù)的運(yùn)算律理解和掌握向量加法運(yùn)算的交換律和結(jié)合律.減法運(yùn)算是加法運(yùn)算的逆運(yùn)算，應(yīng)在理解相反

3、向量的基礎(chǔ)上結(jié)合向量的加法運(yùn)算掌握向量的減法運(yùn)算；并利用三角形作出減向量.通過探究引類比數(shù)的加法交換律和結(jié)合律，通過畫圖驗(yàn)證的實(shí)驗(yàn)方法理解向量加法的交換律和結(jié)合律.疑難突破1.向量加法的運(yùn)算法則.剖析：(1)向量加法的平行四邊形法則：先把兩個(gè)已知向量的起點(diǎn)平移到同一點(diǎn)，再以這兩個(gè)已知向量為鄰邊作平行四邊形，則這兩鄰邊所夾的對角線就表示這兩個(gè)向量的和.如圖2-2-2，以A為起點(diǎn)作向量=a，=b，以AB、AD為鄰邊作ABCD，則以A為起點(diǎn)的對角線就是向量a與b的和，記作向量a+b=.圖2-2-2(2)向量加法的三角形法則：根據(jù)向量加法的定義求向量和的方法，叫向量加法的三角形法則.使用三角形法則特別

4、要注意“首尾相接”.具體做法是：把用小寫字母表示的向量，用兩個(gè)大寫字母表示(其中后面向量的起點(diǎn)與其前一個(gè)向量的終點(diǎn)重合，即用同一字母來表示)，則由第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量終點(diǎn)的有向線段就表示這些向量的和.簡記“首尾相連，首是首，尾是尾”.如設(shè)a=,b=,c=,則a+b+c=+=.用三角形法則求兩個(gè)向量和的步驟是：第一步：將b(或a)平移，使兩個(gè)向量的一個(gè)起點(diǎn)與另一個(gè)終點(diǎn)相連；第二步：將剩下的起點(diǎn)與終點(diǎn)相連，并指向終點(diǎn)，則該向量即為兩向量的和，也就是“作平移，首相連”.注意：三角形法則和平行四邊形法則是向量和的基本方法.但在應(yīng)用上也有講究，求兩個(gè)向量和，當(dāng)一個(gè)向量的終點(diǎn)為另一個(gè)向量的始點(diǎn)

5、時(shí)，可用向量加法的三角形法則；而當(dāng)它們始點(diǎn)相同時(shí)，可用向量加法的平行四邊形法則.2.向量加法的性質(zhì)特征.剖析:(1)兩個(gè)向量的和仍是一個(gè)向量.(2)當(dāng)兩個(gè)非零向量a與b不共線時(shí)，則a+b的方向與a、b的方向都不相同，且|a+b|a|+|b|,這是三角形兩邊之和大于第三邊的向量表示.(3)特殊位置關(guān)系的兩向量的和：向量a與b共線且方向相同時(shí)，則a+b的方向與a(或b)的方向相同，且|a+b|=|a|+|b|,如圖2-2-3(1)；向量a與b反向且|a|b|時(shí),則a+b的方向與b的方向相同(與a方向相反)，且|a+b|=|b|-|a|,如圖2-2-3(2).圖2-2-33.如何從“相反向量”這個(gè)角

6、度求作a-b？三角形法則可行嗎？平行四邊形法則呢？剖析：a-b的作法從“相反向量”這個(gè)角度有兩種作法：三角形法則和平行四邊形法則.減法的三角形法則作法：(a-b)+b=a+(-b)+b=a+0=a，在平面內(nèi)取一點(diǎn)O，作=a,=b,則=a-b，即a-b可以表示為從向量b的終點(diǎn)指向向量a的終點(diǎn)的向量(注意：差向量“箭頭”指向被減向量).具體作法如圖2-2-4(a、b不共線 )和圖2-2-5(a、b共線).圖2-2-4圖2-2-5減法的平行四邊形法則作法：當(dāng)a、b不共線時(shí)，如圖2-2-6(1)中，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作=a，=-b，則由向量加法的平行四邊形法則可得=a+(-b)=a-b，這是向量減法的平行四邊形法則.若a、b同向共線，如圖2-2-6(2)；若a、b異向共線，如圖2-2-6(3).圖2-2-64.向量數(shù)乘的幾何意義.剖析：(1)對于向量a(a0)、b，如果有一個(gè)實(shí)數(shù)，使b=a，那么由向量共線的定義知向量a與b共線；已知向量a與b共線，a0，且向量b的長度是向量a的長度的倍，即|b|=|a|，那么當(dāng)a與b同方向時(shí)，有b=a，當(dāng)a與b反方向時(shí)，有b=-a.(2)判斷向量a(a0)與b是否共線的方法：判斷是否有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)，使得b=