概率論與數(shù)理統(tǒng)計：Ch1-5 條件概率與獨立性

1、第一章 隨機事件與概率（二）1.5 條件概率與獨立性 一、 條件概率二、隨機事件的獨立性三、獨立性在可靠性問題中的應用四、 貝努利概型與二項概率一、條件概率 問題的提法給定一個隨機試驗, 是它的樣本空間, 問“事件 發(fā)生的概率是多少” ？在上述條件下, 問“已知某事件 發(fā)生了, 那么事件 發(fā)生的概率是多少” ?例: 某班有100名學生, 共發(fā)了10張電影票, 采取抽簽的方式.問題1: 張小明拿到電影票的概率是多少?問題2: 若李小亮第一個抽簽, 抽中了, 問張小明拿到電影票的概率是多少? 若李小亮沒有抽中, 張小明抽中的概率又是多少?例1 盒中裝有16個球, 其中6個玻璃球、2個紅色4個藍色;

2、 10個木質(zhì)球、其中3個紅色, 7個藍色. 現(xiàn)從中任取一球.記則總球數(shù)166個玻璃2個紅色4個藍色10個木質(zhì)3個紅色7個藍色則問: “如果已知取到的是藍色球, 那么它是玻璃球的概率”是多少？ 上述概率可以記為 . 事實上, 此時的樣本空間已經(jīng)發(fā)生變化, 變成為11 個藍色球（ ）. 所以進一步發(fā)現(xiàn): 定義1.2 給定一個隨機試驗, 是它的樣本空間, 對于 任意兩個事件 , 其中 , 稱為已知事件 發(fā)生的條件下事件 發(fā)生的條件概率.容易得到: 條件概率也是概率, 滿足概率的公理化定義中的三條公理, 即:公理1 非負性公理2規(guī)范性公理3 對可列個兩兩不相容事件可列可加性相仿可以得到如下性質(zhì):以及等

3、類似七條性質(zhì).例2 5個乒乓球, 其中3個新的, 兩個舊的. 每次取一個.無放回地取兩次. 記求:解 例3 某建筑物按設計要求使用壽命超過50年的概率為0.8, 超過60年的概率為0.6. 該建筑物經(jīng)歷了50年后, 它將在10年內(nèi)倒塌的概率有多大?解 :該建筑物的壽命在5 0年以上; :該建筑物的壽命在60年以上.則所求概率為例4 設 為兩個隨機事件, 且求解 因例5 設 為事件, 且則下列選項成立的是 .(A)(B)(C)(D)正確答案 (B)例6 設 為事件, 且則下列選項成立的是 .(A)(B)(C)(D)正確答案 (C)例7 設 為對立事件, 且則下列各式中錯誤的是 .(A)(B)(C

4、)(D)正確答案 (A)則 .例8 設 是隨機事件, 與 互不相容，注意到 . 由條件概率公式: 當 （或 ）時,有或變形后有或上式稱為概率的乘法公式. 乘法公式可推廣到多個事件上去, 例如, 三個事件的乘法公式為例9 10個考題中, 4難6易. 三人參加抽題（不放回）,甲先、乙后、丙最后. 記事件 分別表示三人各抽到難題. 試求:解 二、事件的相互獨立性定義1.3 稱兩個事件 是相互獨立的, 如果思考:相互獨立與互不相容有何區(qū)別? 上式等價于（當 ）. 獨立性的直觀意義是一個事件的發(fā)生不影響另一個事件發(fā)生的概率. 上式也等價于（當 ）. 獨立性往往蘊含在事物的內(nèi)部.例10 一副撲克牌共52張

5、, 現(xiàn)從中隨機地抽取一張. 記驗證: 事件 與 是相互獨立的.解 因從而有即: 事件 與 是相互獨立的.或者例11 拋一枚均勻硬幣2次, 第一次正面向上 ,第二次正面向上 ,驗證: 事件 與 是獨立的.解 試驗的樣本空間為正正, 正反, 反正, 反反則可見即事件 與 是獨立的.例12 甲、乙兩人同時向一敵機射擊，二人擊中的概率分別為0.6和0.5. 求敵機被擊中的概率.解 設甲擊中目標 ,乙擊中目標 ,則 相互獨立. 所求概率為定理 若下列四對事件與 ;與 ;與 ;與 中有一對相互獨立, 則另外三對也相互獨立. 即有相應可列出其它等式.例12也可用下面的方法求之:定義1.4 稱事件組 是相互獨

6、立的, 如果有四個等式都成立. 獨立性的定義可推廣到 個事件上去. 特別地, 當事件 相互獨立時, 有上述定理也可以推廣.例13 設某型號的高射炮, 每一門炮發(fā)射一發(fā)炮彈擊中敵機的概率為0.6. 現(xiàn)若干門炮同時發(fā)射（每門一發(fā)）.問: 至少需要配置多少門高射炮, 才能以99%的把握擊中敵機?解 記 第 門炮擊中敵機敵機被擊中 . 則由題意,即: 至少需要配備6門炮, 才能以99%的把握命中敵機.例14 設兩兩相互獨立的事件 滿足:且已知則 . 解 記 , 則由獨立性和加法公式 解得 例15 設兩個相互獨立的事件 和 都不發(fā)生的概率為 , 發(fā)生 不發(fā)生的概率與 發(fā)生 不發(fā)生的概率 相等, 則 .解

7、 由題意知 ,又記則三、獨立性在可靠性問題中的應用 一個產(chǎn)品或一個元件、一個系統(tǒng)的可靠性可以用可靠度來刻劃. 所謂可靠度指的是產(chǎn)品能正常工作的概率. 以下討論中, 假定一個系統(tǒng)中的各個元件能否正常工作是相互獨立的. 兩個基本模型:串聯(lián)系統(tǒng)設一個系統(tǒng)由 個元件串聯(lián)而成, 第 個元件的可靠度為 , 則系統(tǒng)的可靠度為并聯(lián)系統(tǒng)設一個系統(tǒng)由 個元件并聯(lián)而成, 第 個元件的可靠度為 , 則系統(tǒng)的可靠度為例15 求下面混聯(lián)系統(tǒng)的可靠度, 其中每個元件的可靠度都是 .1234解 系統(tǒng)的可靠度為四、貝努利概型與二項概率 如果在一個試驗中, 我們只關心某個事件 發(fā)生與否,那么稱這個試驗為貝努利試驗. 此時試驗的結

8、果可以看成只有兩種: 發(fā)生或者 不發(fā)生. 相應的數(shù)學模型稱為貝努利概型. 如果把貝努利試驗重復獨立地做 次, 則稱這 次試驗為 重貝努利試驗. 在 重貝努利試驗中, 我們主要研究事件 發(fā)生的次數(shù)以及事件 恰好發(fā)生 次的概率. 問題的一般提法: 設在單次試驗中, 事件 發(fā)生的概率為 , 將此試驗重復獨立地進行 次, 問事件 恰好發(fā)生 次的概率（記為 ）是多少？定理 重貝努利試驗中, 事件 恰好發(fā)生 次的概率為這里 . 由于因此稱 為二項概率.例16 一部機器在一天內(nèi)發(fā)生故障的概率為0.2. 若一周五個工作日里每天是否發(fā)生故障是相互獨立的. 試求一周內(nèi)發(fā)生了三次故障的概率.解 此為 的二項概率, 因此所求概率為例17 某人向同一目標獨立重復射擊, 每次射擊命中目 標的概率為 , 求此人第四次射擊恰好第二次命中的概率.解 依題意, 知前三次擊中一次, 第四次擊中, 則前三次恰好擊中一次的概率是因此, 所求概率為例18 設每次射擊命中目標的概率為 如果射擊5000次, 試求至少兩次命中目標的概率.解 此為 的二項概率. 由計算公式:例19 考試靠懵行不行. 對于每一個學生而言, 求學過程中會面對很多次的考試, 如果平時不努力學習, 想憑運氣靠懵來通過考試,