線性代數(shù)重要公

1、線性代數(shù)重要公作者：日期：21、隊(duì)列式1.n隊(duì)列式共有n2個元素，睜開后有n!項(xiàng)，可分解為2n隊(duì)列式；代數(shù)余子式的性質(zhì)：、Aij和aij的大小沒關(guān)；、某行（列）的元素乘以其余行（列）元素的代數(shù)余子式為0；、某行（列）的元素乘以該行（列）元素的代數(shù)余子式為A；3.代數(shù)余子式和余子式的關(guān)系：Mij(1)ijAijAij(1)ijMij4.設(shè)n隊(duì)列式D：將D上、下翻轉(zhuǎn)或左右翻轉(zhuǎn)，所得隊(duì)列式為n(n1)D1，則D1(1)2D；將D順時針或逆時針旋轉(zhuǎn)90o，所得隊(duì)列式為n(n1)D2，則D2(1)2D；將D主對角線翻轉(zhuǎn)后（轉(zhuǎn)置），所得隊(duì)列式為D3，則D3D；將D主配角線翻轉(zhuǎn)后，所得隊(duì)列式為D4，則D4D

2、；5.隊(duì)列式的重要公式：、主對角隊(duì)列式：主對角元素的乘積；、副對角隊(duì)列式：副對角元素的乘積n(n1)(1)2；、上、下三角隊(duì)列式（）：主對角元素的乘積；、和：副對角元素的乘積n(n1)(1)2；、拉普拉斯睜開式：AOACAB、CAOA(1)mgnABCBOBBOBC、范德蒙隊(duì)列式：大指標(biāo)減小指標(biāo)的連乘積；、特點(diǎn)值；對于n階隊(duì)列式A，恒有：EA證明A0的方法：、AA；nkknk，此中k為k階主子式；(1)SSk1、反證法；、結(jié)構(gòu)齊次方程組Ax0，證明其有非零解；、利用秩，證明r(A)n；、證明0是其特點(diǎn)值；12、矩陣1.A是n階可逆矩陣：0（是非奇怪矩陣）；r(A)n（是滿秩矩陣）的行（列）向量

3、組線性沒關(guān)；齊次方程組Ax0有非零解；Rn，Axb總有獨(dú)一解；與E等價；可表示成若干個初等矩陣的乘積；的特點(diǎn)值全不為0；ATA是正定矩陣；A的行（列）向量組是Rn的一組基；是Rn中某兩組基的過渡矩陣；2.對于n階矩陣A：AA*A*AAE無條件恒建立；3.1*11TT1*T(AT*(A)(A)(A)(A)(A)(AB)TBTAT(AB)*B*A*(AB)1B1A1矩陣是表格，推導(dǎo)符號為波濤號或箭頭；隊(duì)列式是數(shù)值，可求代數(shù)和；5.對于分塊矩陣的重要結(jié)論，此中均A、B可逆：A1若AA2，則：OAs、AA1A2LAs；A111A21；AOAs1、OOBABOCOB11AO1；（主對角分塊）OB1B1O

4、；（副對角分塊）A1O11A1CB1AOB1；（拉普拉斯）2、AO1A1O；（拉普拉斯）CB11B1BCA一個的：3、矩陣的初等變換與線性方程組mn矩陣A，總可經(jīng)過初等變換化為標(biāo)準(zhǔn)形，其標(biāo)準(zhǔn)形是獨(dú)一確立ErO；FOOmn等價類：所有與A等價的矩陣構(gòu)成的一個會合，稱為一個等價類；標(biāo)準(zhǔn)形為其形狀最簡單的矩陣；對于同型矩陣A、B，若r(A)r(B)A:B；行最簡形矩陣：、只好經(jīng)過初等行變換獲?。?、每行首個非0元素一定為1；、每行首個非0元素所在列的其余元素一定為0；初等行變換的應(yīng)用：（初等列變換近似，或轉(zhuǎn)置后采納初等行變換）r可逆，且XA；A1、對矩陣(A,B)做初等行變化，當(dāng)A變?yōu)镋時，B就變?yōu)锳

5、1B，即：c(A,B)(E,A1B)；、求解線形方程組：對于個未知數(shù)個方程Axrnnb，假如(A,b):(E,x)，則A可逆，且xA1b；初等矩陣和對角矩陣的觀點(diǎn)：、初等矩陣是行變換仍是列變換，由其地點(diǎn)決定：左乘為初等行矩陣、右乘為初等列矩陣；1、2，左乘矩陣A，i乘A的各行元素；右乘，i乘A的On各列元素；111、對換兩行或兩列，符號E(i,j)，且E(i,j)1E(i,j)，比如：11；11、倍乘某行或某列，符號E(i(k)，且E(i(k)1E(i(1)，比如：k31110)；k(k1k1、倍加某行或某列，符號E(ij(k),且E(ij(k)1E(ij(k)，如：1k1k10)；11(k1

6、1矩陣秩的基天性質(zhì)：、0r(Amn)min(m,n)；、r(AT)r(A)；、若A:B，則r(A)r(B)；、若P、Q可逆，則r(A)r(PA)r(AQ)r(PAQ)；（可逆矩陣不影響矩陣的秩）、max(r(A),r(B)r(A,B)r(A)r(B)；（）、r(AB)r(A)r(B)；（）、r(AB)min(r(A),r(B)；（）、假如A是mn矩陣，B是ns矩陣，且AB0，則：（）、B的列向量所有是齊次方程組AX0解（轉(zhuǎn)置運(yùn)算后的結(jié)論）；、r(A)r(B)n、若A、B均為n階方陣，則r(AB)r(A)r(B)n；6.三種特別矩陣的方冪：、秩為1的矩陣：必定能夠分解為列矩陣（向量）行矩陣（向量

7、）的形式，再采納聯(lián)合律；1ac、型如01b的矩陣：利用二項(xiàng)睜開式；001二項(xiàng)睜開式：(ab)nnCnmambnm；Cn0anCn1an1b1LCnmanmbmLCnn1a1bn1Cnnbnm0注：、(ab)n睜開后有n1項(xiàng)；、Cnmn(n1)LL(nm1)n!m)!Cn0Cnn11g2g3gLgmm!(n、組合的性質(zhì)：Cnmn11；CnnmCnm1CnmCnm1Cnr2nrCnrnCnrr0、利用特點(diǎn)值和相像對角化：4陪伴矩陣：、陪伴矩陣的秩：r(A*)nr(A)n1；1r(A)n0r(A)n1、陪伴矩陣的特點(diǎn)值：A(AXX,A*AA1A*XAX)；、A*AA1、A*An18.對于A矩陣秩的描

8、繪：0，n1階子式所有為0；（兩句話）、r(A)n，A中有n階子式不為、r(A)n，A中有n階子式所有為0；、r(A)n，A中有n階子式不為0；線性方程組：Axb，此中A為mn矩陣，則：、m與方程的個數(shù)同樣，即方程組Axb有m個方程；、n與方程組得未知數(shù)個數(shù)同樣，方程組Axb為n元方程；10.線性方程組Axb的求解：、對增廣矩陣B進(jìn)行初等行變換（只好使用初等行變換）；、齊次解為對應(yīng)齊次方程組的解；、特解：自由變量賦初值后求得；11.由n個未知數(shù)m個方程的方程組構(gòu)成n元線性方程：a11x1a12x2La1nxnb1、a21x1a22x2La2nxnb2；LLLLLLLLLLLam1x1am2x2

9、Lanmxnbna11a12La1nx1b1、a21a22La2nx2b2Axb（向量方程，A為mn矩陣，m個方程，MMOMMMam1am2Lamnxmbm個未知數(shù)）、x1a1a2Lanx2Mxna1x1a2x2Lanxnb1（所有按列分塊，此中b2）；Mbn（線性表出）、有解的充要條件：r(A)r(A,)n（n為未知數(shù)的個數(shù)或維數(shù)）54、向量組的線性有關(guān)性1.m個n維列向量所構(gòu)成的向量組A：1,2,L,m構(gòu)成nm矩陣A(1,2,L,m)；T1m個n維行向量所構(gòu)成的向量組B：1T,2T,L,mT構(gòu)成mn矩陣BT；2MTm含有有限個向量的有序向量組與矩陣一一對應(yīng)；、向量組的線性有關(guān)、沒關(guān)Ax0有

10、、不過零解；（齊次線性方程組）、向量的線性表出Axb能否有解；（線性方程組）、向量組的互相線性表示AXB能否有解；（矩陣方程）3.矩陣Amn與Bln行向量組等價的充分必需條件是：齊次方程組Ax0和Bx0同解；(P101例14)4.r(ATA)r(A)；(P101例15)5.n維向量線性有關(guān)的幾何意義：、線性有關(guān)0；、,線性有關(guān),坐標(biāo)成比率或共線（平行）；、,線性有關(guān),共面；線性有關(guān)與沒關(guān)的兩套定理：若1,2,L,s線性有關(guān)，則1,2,L,s,s1必線性有關(guān)；若1,2,L,s線性沒關(guān)，則1,2,L,s1必線性沒關(guān)；（向量的個數(shù)加加減減，兩者為對偶）若r維向量組A的每個向量上添上nr個重量，構(gòu)成n

11、維向量組B：若A線性沒關(guān)，則B也線性沒關(guān)；反之若B線性有關(guān)，則A也線性有關(guān)；（向量組的維數(shù)加加減減）簡言之：沒關(guān)組延伸后仍沒關(guān)，反之，不確立；向量組A（個數(shù)為r）能由向量組B（個數(shù)為s）線性表示，且A線性沒關(guān)，則rs(二版P74定理7)；向量組A能由向量組B線性表示，則r(A)r(B)；（P86定理3）向量組A能由向量組B線性表示AXB有解；r(A)r(A,B)（P85定理2）向量組A能由向量組B等價r(A)r(B)r(A,B)（P85定理2推論）68.方陣A可逆存在有限個初等矩陣P1,P2,L,Pl，使AP1P2LPl；、矩陣行等價：rPAB（左乘，P可逆）Ax0與Bx0同解AB、矩陣列等價

12、：cAQB（右乘，Q可逆）；AB、矩陣等價：ABPAQB（P、Q可逆）；對于矩陣Amn與Bln：、若A與B行等價，則A與B的行秩相等；、若A與B行等價，則Ax0與Bx0同解，且A與B的任何對應(yīng)的列向量組擁有同樣的線性有關(guān)性；、矩陣的初等變換不改變矩陣的秩；、矩陣A的行秩等于列秩；10.若AmsBsnCmn，則：、C的列向量組能由A的列向量組線性表示，B為系數(shù)矩陣；、C的行向量組能由B的行向量組線性表示，AT為系數(shù)矩陣；（轉(zhuǎn)置）11.齊次方程組Bx0的解必定是ABx0的解，考試中能夠直接作為定理使用，而無需證明；、ABx0只有零解Bx0只有零解；、Bx0有非零解ABx0必定存在非零解；12.設(shè)向

13、量組Bnr:b1,b2,L,br可由向量組Ans:a1,a2,L,as線性表示為：（P110題19結(jié)論）(b1,b2,L,br)(a1,a2,L,as)K（BAK）此中K為sr，且A線性沒關(guān)，則B組線性沒關(guān)r(K)r；（B與K的列向量組擁有同樣線性有關(guān)性）（必需性：Qrr(B)r(AK)r(K),r(K)r,r(K)r；充分性：反證法）注：當(dāng)rs時，K為方陣，可看作定理使用；Pmn，存在nm，m13.、對矩陣AQAQEr(A)m、Q的列向量線性沒關(guān)；（87）、對矩陣Amn，存在Pnm，PAEnr(A)n、P的行向量線性沒關(guān)；14.1,2,L,s線性有關(guān)存在一組不全為0的數(shù)k1,k2,L,ks，

14、使得k11k22Lkss0建立；（定義）x1(1,2,L,x20有非零解，即Ax0有非零解；s)Mxsr(1,2,L,s)s，系數(shù)矩陣的秩小于未知數(shù)的個數(shù)；15.設(shè)mn的矩陣A的秩為r，則n元齊次線性方程組Ax0的解集S的秩為：7r(S)nr；16.若*為Axb的一個解，1,2,L,nr為Ax0的一個基礎(chǔ)解系，則*,1,2,L,nr線性沒關(guān)；（P111題33結(jié)論）5、相像矩陣和二次型正交矩陣ATAE或A1AT（定義），性質(zhì)：、A的列向量都是單位向量，且兩兩正交，即aTiaj、若A為正交矩陣，則A1AT也為正交陣，且A、若A、B正交陣，則AB也是正交陣；注意：求解正交陣，千萬不要忘掉施密特正交化1ij0i(i,j1,2,Ln)；j；和單位化；施密特正交化：(a1,a2,L,ar)b1a1；b1,a2b2a2b1,b1gb1LLLbrarb1,argb1b2,argb2Lbr1,argbr1;b1,b1b2,b2br1,br1對于一般方陣，不一樣特點(diǎn)值對應(yīng)的特點(diǎn)向量線性沒關(guān)；對于實(shí)對稱陣，不一樣特點(diǎn)值對應(yīng)的特點(diǎn)向量正交；4.、A與B等價A經(jīng)過初等變換獲取B；PAQB，