數(shù)字信號(hào)處理知識(shí)點(diǎn)整理

1、第一章 時(shí)域離散隨機(jī)信號(hào)的分析引言實(shí)際信號(hào)的四種形式：連續(xù)隨機(jī)信號(hào)、時(shí)域離散隨機(jī)信號(hào)、幅度離散隨機(jī)信號(hào)和離散隨機(jī)序列。本書討論的是離散隨機(jī)序列，即幅度和時(shí)域都是離散的情況。隨機(jī)信號(hào)相比隨機(jī)變量多了時(shí)間因素，時(shí)間固定即為隨機(jī)變量。隨機(jī)序列就是隨時(shí)間n變化的隨機(jī)變量序列。時(shí)域離散隨機(jī)信號(hào)的統(tǒng)計(jì)描述 概率描述概率分布函數(shù)（離散情況）隨機(jī)變量，概率分布函數(shù)： （1）概率密度函數(shù)（連續(xù)情況）若連續(xù)，概率密度函數(shù)： （2）注意，以上兩個(gè)表達(dá)式都是在固定時(shí)刻討論，因此對(duì)于隨機(jī)序列而言，其概率分布函數(shù)和概率密度函數(shù)都是關(guān)于的函數(shù)。當(dāng)討論隨機(jī)序列時(shí)，應(yīng)當(dāng)用二維及多維統(tǒng)計(jì)特性。 數(shù)字特征數(shù)學(xué)期望、方差、均方值都是

2、時(shí)刻n的隨機(jī)變量統(tǒng)計(jì)特征；自相關(guān)函數(shù)和自協(xié)方差函數(shù)是同一隨機(jī)過(guò)程不同時(shí)刻狀態(tài)間的相互關(guān)聯(lián)數(shù)學(xué)期望、方差、均方值都是時(shí)刻n的隨機(jī)變量統(tǒng)計(jì)特征；自相關(guān)函數(shù)和自協(xié)方差函數(shù)是同一隨機(jī)過(guò)程不同時(shí)刻狀態(tài)間的相互關(guān)聯(lián)數(shù)學(xué)期望 （3）均方值與方差均方值： （4）方差： （5）相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)自相關(guān)函數(shù)： （6）自協(xié)方差函數(shù)： （7）由此可進(jìn)一步推出互相關(guān)函數(shù)和互協(xié)方差函數(shù)是不同隨機(jī)過(guò)程變量之間的關(guān)系是不同隨機(jī)過(guò)程變量之間的關(guān)系 平穩(wěn)隨機(jī)序列嚴(yán)平穩(wěn)：N維概率密度函數(shù)或分布函數(shù)與時(shí)間n起始位置無(wú)關(guān)。寬平穩(wěn)：均值、方差和均方值與時(shí)間無(wú)關(guān)；二維概率密度函數(shù)、自相關(guān)函數(shù)和自協(xié)方差函數(shù)與時(shí)間間隔有關(guān)。嚴(yán)平穩(wěn)可以推出寬

3、平穩(wěn)的條件，反過(guò)來(lái)不成立。對(duì)于兩個(gè)隨機(jī)序列則要求各自平穩(wěn)且聯(lián)合平穩(wěn)。其相關(guān)函數(shù)滿足： ， （8）表示互為正交，表示互不相關(guān)。實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)序列相關(guān)函數(shù)、協(xié)方差函數(shù)的性質(zhì)：自相關(guān)函數(shù)和自協(xié)方差函數(shù)是偶函數(shù) （9），自相關(guān)變?yōu)榫街?（10），自相關(guān)變?yōu)榫档钠椒剑措S著時(shí)間間隔增大，序列內(nèi)部相關(guān)性愈來(lái)愈若 （11），協(xié)方差變?yōu)榉讲?（12） 平穩(wěn)隨機(jī)序列功率譜密度由1.2.3中性質(zhì)（3）知，時(shí)，若則收斂，即平穩(wěn)隨機(jī)序列均值為0，自相關(guān)函數(shù)收斂，存在變換，其收斂域包含單位圓，傅里葉變換存在。 （13）即為平穩(wěn)隨機(jī)序列的功率譜密度。即自相關(guān)函數(shù)和功率譜互為傅里葉變換對(duì)。（令，為隨機(jī)序列平均功率，故稱功率

4、譜密度）實(shí)、平穩(wěn)隨機(jī)序列功率譜性質(zhì)：偶函數(shù) （14） 各態(tài)歷經(jīng)性平穩(wěn)隨機(jī)序列樣本的時(shí)間平均依概率趨于序列的集合平均，則平穩(wěn)隨機(jī)序列具有各態(tài)歷經(jīng)性。前面已經(jīng)提到，隨機(jī)序列各統(tǒng)計(jì)特征是時(shí)間的函數(shù)，如均值是時(shí)間的函數(shù)mx(n)。時(shí)間平均就是對(duì)該函數(shù)求時(shí)間上的平均： （15） 特定的隨機(jī)序列正態(tài)（高斯）隨機(jī)序列單變量正態(tài)分布概率密度函數(shù)： （16）正態(tài)隨機(jī)序列的維（個(gè)時(shí)刻的隨機(jī)變量）聯(lián)合概率密度函數(shù)可表示為： （17）式中 （18）分別為樣本列向量、均值列向量和協(xié)方差矩陣。白噪聲序列白噪聲：隨機(jī)序列x(n)，在各時(shí)刻的隨機(jī)變量?jī)蓛苫ゲ幌嚓P(guān)，即 （19）均值為0的平穩(wěn)隨機(jī)白噪聲功率譜密度 。 （20）若

5、各變量取值服從正態(tài)分布，則噪聲為高斯白噪聲，高斯分布互不相關(guān)和相互獨(dú)立等價(jià)。諧波過(guò)程 （21）式中和為常數(shù)，服從均勻分布且相互獨(dú)立。 隨機(jī)信號(hào)采樣定理與確定信號(hào)有類似結(jié)論，即滿足奈奎斯特采樣定理。隨機(jī)序列數(shù)字特征的估計(jì)估計(jì)準(zhǔn)則偏移性偏移量為無(wú)偏估計(jì)，為漸近無(wú)偏估計(jì)估計(jì)量的方差（有效性）無(wú)偏估計(jì)的情況下，有一致性（均方誤差）估計(jì)量的均方誤差 均值的估計(jì)（數(shù)據(jù)內(nèi)部不相關(guān)時(shí)，無(wú)偏一致的好估計(jì)）方差的估計(jì)（數(shù)據(jù)內(nèi)部不相關(guān)時(shí)，有偏估計(jì)）修改估計(jì)式使得估計(jì)為無(wú)偏自相關(guān)函數(shù)的估計(jì)無(wú)偏估計(jì)實(shí)序列自相關(guān)函數(shù)是偶函數(shù)實(shí)序列自相關(guān)函數(shù)是偶函數(shù)有偏估計(jì)漸近無(wú)偏，漸近一致估計(jì)，估計(jì)誤差比無(wú)偏估計(jì)的小，實(shí)際中用這種有偏估

6、計(jì)。平穩(wěn)隨機(jī)序列通過(guò)線性系統(tǒng)系統(tǒng)響應(yīng)（即輸出信號(hào)）的均值、自相關(guān)函數(shù)和平穩(wěn)性分析線性時(shí)不變系統(tǒng)，系統(tǒng)響應(yīng) 輸出的均值 系統(tǒng)對(duì)直流分量的響應(yīng)，即頻率為0處的響應(yīng)，即若mx與時(shí)間無(wú)關(guān)，my也與時(shí)間無(wú)關(guān)系統(tǒng)對(duì)直流分量的響應(yīng)，即頻率為0處的響應(yīng)輸出的自相關(guān)函數(shù)由相關(guān)卷積定理求 由相關(guān)卷積定理求相關(guān)卷積定理：卷積的相關(guān)等于相關(guān)的卷積其中，也可以通過(guò)相關(guān)卷積定理推出（）。輸出響應(yīng)的功率譜密度函數(shù)自相關(guān)函數(shù)和頻譜互為Z變換對(duì)，和功率譜互為傅里葉變換對(duì)。由相關(guān)卷積定理可得對(duì)于實(shí)序列有系統(tǒng)的輸入、輸出互相關(guān)函數(shù)輸入輸出互相關(guān)函數(shù)相關(guān)卷積定理求相關(guān)卷積定理求可以通過(guò)定義來(lái)求，也可以通過(guò)相關(guān)卷積定理來(lái)求。（）時(shí)間序

7、列信號(hào)模型時(shí)間序列信號(hào)模型法采用的是線性模型，是一種研究平穩(wěn)隨機(jī)序列的有效方法。信號(hào)模型：圖中是均值為0、方差為的白噪聲。許多平穩(wěn)隨機(jī)序列都可以看成是由典型噪聲源（一般是白噪聲序列）激勵(lì)一個(gè)線性系統(tǒng)產(chǎn)生。三種時(shí)間序列模型信號(hào)模型用差分方程表示：是需要研究的序列，根據(jù)系數(shù)取值可分為三種模型：MA、AR和ARMA。MA(Moving Average)（全零點(diǎn)）系統(tǒng)函數(shù)：，只有零點(diǎn)，沒(méi)有極點(diǎn)。相應(yīng)的，差分方程中系數(shù)，變?yōu)椋喝绻泓c(diǎn)全部在單位圓內(nèi)，則為最小相位系統(tǒng)，系統(tǒng)可逆。AR（Autoregressive）（全極點(diǎn)）系統(tǒng)函數(shù)：，只有極點(diǎn)，沒(méi)有零點(diǎn)。相應(yīng)的，差分方程中系數(shù)，變?yōu)椋褐挥挟?dāng)全部極點(diǎn)在單位圓內(nèi)時(shí)，系統(tǒng)才穩(wěn)定。ARMA（零極點(diǎn)）系統(tǒng)函數(shù)：任何一個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)序列可以分解為確定信號(hào)與平穩(wěn)隨機(jī)MA序列之和。任意一個(gè)MA序列可用無(wú)限階AR信號(hào)模型表示，或用足夠大的模型近似。三種模型可以相互轉(zhuǎn)化，都具有普遍適用性，僅對(duì)不同序列效率不同。AR適用于僅有尖峰的信號(hào)，MA適用于僅有深谷的信號(hào)，ARMA適用于尖峰深谷都有的情況。自相關(guān)函數(shù)、功率譜與時(shí)間序列信號(hào)模型的關(guān)系自相關(guān)函數(shù)、功率譜和時(shí)間序列信號(hào)模型三者互為等價(jià)關(guān)系。實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)x(n)的功率譜可表示為：有理譜信號(hào)有理譜信號(hào)：信號(hào)模型輸出的功率譜是或的有理