概率論教學(xué)大綱面上

1、 上海財(cái)經(jīng)大學(xué) 概率論 教學(xué)大綱 數(shù)學(xué)學(xué)院課程名稱：概率論開設(shè)部門：數(shù)學(xué)學(xué)院教學(xué)目的與要求：概率論作為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的重要組成部分，不僅理論嚴(yán)謹(jǐn)，而且應(yīng)用及極其廣泛。由于它的介入，改變了經(jīng)濟(jì)、金融和管理科學(xué)傳統(tǒng)的研究方式，概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是經(jīng)濟(jì)、管理中數(shù)量分析的基礎(chǔ)，是經(jīng)濟(jì)管理工作者不可缺少的有力工具。 本課程介紹概率論的基礎(chǔ)知識(shí)，是財(cái)經(jīng)類各專業(yè)的必修課程。通過本課程的教學(xué)，使學(xué)生初步掌握處理隨機(jī)現(xiàn)象和抽樣數(shù)據(jù)的基本理論和方法，為解決有關(guān)實(shí)際問題以及后繼課程的學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ)。 考慮到初學(xué)者往往對(duì)一些重要的概率統(tǒng)計(jì)概念的實(shí)質(zhì)的領(lǐng)會(huì)感到困難，以及概率統(tǒng)計(jì)應(yīng)用性很強(qiáng)的特點(diǎn)，在講授本課程時(shí)，以介紹基本概

2、念、基本理論和方法為主，盡量使用較少的數(shù)學(xué)知識(shí)，避免過于數(shù)學(xué)化的論證，但仍保持系統(tǒng)的嚴(yán)謹(jǐn)性。 在講授內(nèi)容的同時(shí)，應(yīng)配備一定數(shù)量的習(xí)題，以培養(yǎng)學(xué)生的基本技能。教學(xué)課時(shí)數(shù)：41352教學(xué)方式：課堂講授、作業(yè)考核方式：期末書面考試指定教材：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（第三版） 上海財(cái)經(jīng)大學(xué)出版社，2012年4月參考書目：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題集（第三版），上海財(cái)經(jīng)大學(xué)出版社，2012年4月 概率論基礎(chǔ)（第三版），復(fù)旦大學(xué) 李賢平編著，高等教育出版社，2010年 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)，華東師范大學(xué)茆詩松等編著，中國統(tǒng)計(jì)出版社，2000年版 教學(xué)內(nèi)容第一章 事件與概率1.1 隨機(jī)現(xiàn)象與樣本空間一隨機(jī)現(xiàn)象 隨機(jī)現(xiàn)象是概率

3、論的研究對(duì)象，為了使學(xué)生了解什么是隨機(jī)現(xiàn)象，從具體的例子出發(fā)，指出在自然界和人類社會(huì)中存在著與決定性現(xiàn)象有著本質(zhì)區(qū)別的隨機(jī)現(xiàn)象，并且說明隨機(jī)現(xiàn)象是普遍存在的，從而對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的研究不僅具有理論的意義，而且具有廣泛的應(yīng)用價(jià)值。二樣本空間 本小節(jié)講授隨機(jī)試驗(yàn)、樣本點(diǎn)和樣本空間等概念。對(duì)于樣本空間和樣本點(diǎn)，可以舉一些例子，建議可舉一些含樣本點(diǎn)有限、可列、不可列、一維和多維等階梯型的例子，也可適當(dāng)配備一些習(xí)題。1.2 隨機(jī)事件與頻率穩(wěn)定性一隨機(jī)事件，二.事件之間的關(guān)系與運(yùn)算 這兩小節(jié)講授隨機(jī)事件的概念和事件之間的關(guān)系及運(yùn)算，關(guān)系與運(yùn)算主要介紹包含、等價(jià)、交事件、并事件、差事件、互不相容事件和對(duì)立事件，可

4、以結(jié)合集合的相應(yīng)運(yùn)算進(jìn)行講解，盡量用 Venn 圖說明，事件的運(yùn)算是以后各章的必要基礎(chǔ)，要求學(xué)生較熟練地掌握，可配備一定數(shù)量的習(xí)題。三頻率與概率 本小節(jié)講授頻率、頻率穩(wěn)定性和概率的統(tǒng)計(jì)定義等基本概念，為了介紹頻率穩(wěn)定性，我們依然從幾個(gè)著名生動(dòng)的例子出發(fā)，逐漸引出頻率穩(wěn)定性的概念，在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步交代頻率穩(wěn)定性是由隨機(jī)現(xiàn)象本身的固有屬性決定的，表明隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小是客觀存在的，因此可以對(duì)它進(jìn)行度量，由此提出概率的統(tǒng)計(jì)定義。 在講授這一小節(jié)中，要強(qiáng)調(diào)頻率與概率既非同一概念，但又有某種聯(lián)系。1.3 古典概型與幾何概率一古典概型 本小節(jié)講授概率的古典定義。古典概型在概率中占有重要的地位，這

5、一方面因?yàn)樗?jiǎn)單而且直觀，對(duì)它的討論有助于理解概率論中的許多基本概念，另一方面，古典概型有它廣泛的應(yīng)用。要強(qiáng)調(diào)古典概型的特征，指出不符合這些特征的隨機(jī)現(xiàn)象不能用概率的古典定義進(jìn)行計(jì)算，要多舉一些例子，說明古典概型的計(jì)算方法。由于在古典概型的計(jì)算過程中必須要用到排列與組合的知識(shí)，因此學(xué)生應(yīng)掌握一些基本的排列與組合的計(jì)算方法，另外，在講授本小節(jié)的內(nèi)容時(shí)，可適當(dāng)舉一些概率論歷史上著名有趣的例子。二幾何概率本小節(jié)從具體的例子出發(fā)，自然地給出幾何概率的定義，在利用幾何概率的定義計(jì)算時(shí)，可舉一些概率論發(fā)展史上的經(jīng)典例子，如蒲豐投針問題，同時(shí)可舉一維、二維以及高維的例子?？蛇m量安排一些習(xí)題。1.4 概率的公

6、理化定義與性質(zhì)一概率的公理化定義首先說明引出概率的公理化定義的必要性，其次從古典概率、幾何概率以及作為概率近似的頻率具有的三條基本性質(zhì)，即非負(fù)性、規(guī)范性和有限（可列）可加性，介紹概率的公理化定義的思想，其間還應(yīng)說明事件域的概念以及為什么會(huì)產(chǎn)生這一概念?？紤]到本小節(jié)的內(nèi)容相對(duì)抽象和數(shù)學(xué)化，在講授時(shí)，可根據(jù)學(xué)生接受情況酌情刪改。二概率的性質(zhì)本小節(jié)主要介紹如何由概率的公理化定義中所描述的三條基本性質(zhì)，導(dǎo)出其它一些有用的性質(zhì)，通過具體的例子可以說明它們?cè)诟怕视?jì)算中的用途，并且在以后各章中還會(huì)用到, 要求學(xué)生熟悉并掌握概率的這些性質(zhì)。第二章 條件概率與獨(dú)立性2.1 條件概率與事件獨(dú)立性條件概率 對(duì)概率的

7、討論總是在一組固定的條件下進(jìn)行的，在不同條件下，同樣的隨機(jī)事件的概率不一定相同。我們往往要研究除一組固定條件外，再附加一些條件后組成的新條件下事件的概率，這就是條件概率。由條件概率的定義，可以得到兩個(gè)事件的乘法定理，并可推廣到 個(gè)事件的場(chǎng)合。 二.事件的獨(dú)立性 一般說來，在事件 發(fā)生的條件下事件 發(fā)生的條件概率 P() 與概率 P() 不一定相等，因?yàn)槭录?的發(fā)生影響了事件 出現(xiàn)的概率，但有的時(shí)候，事件 的發(fā)生并不影響事件 出現(xiàn)的概率，即 P()=P()，這時(shí)我們稱事件 獨(dú)立于事件 ，由這一定義容易得出事件獨(dú)立性的一些簡(jiǎn)單性質(zhì)。兩個(gè)事件間的獨(dú)立性概念，可以推廣到 個(gè)事件間的獨(dú)立性。要求學(xué)生深刻

8、理解獨(dú)立性的概念, 弄清獨(dú)立性與互不相容是兩個(gè)不同的概念，利用獨(dú)立性，可以得到并事件概率的簡(jiǎn)單計(jì)算公式。2.2 全概率公式和貝葉斯公式 為了計(jì)算比較復(fù)雜的事件的概率，我們通常把復(fù)雜事件分解為若干個(gè)互不相容的簡(jiǎn)單事件之和，通過分別計(jì)算這些簡(jiǎn)單事件的概率，再利用概率的可加性得到最終結(jié)果，這就是全概率公式，它是一個(gè)常用的公式。如果已知隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果，反過來判斷在哪一種情況下發(fā)生的，就要用到貝葉斯公式，貝葉斯公式可以幫助人們分析事情發(fā)生的原因，同全概率公式一樣，它在概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)中有著多方面的應(yīng)用。 通過本節(jié)的學(xué)習(xí), 要求學(xué)生熟悉并掌握這兩個(gè)公式的運(yùn)用。2.3 貝努利概型 獨(dú)立性的重要應(yīng)用之一就是重

9、復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)，討論得很多的是貝努利概型，我們?cè)敿?xì)推導(dǎo)這個(gè)模型的二項(xiàng)概率公式，并給出若干應(yīng)用這一公式的例子，通過這一小節(jié)的學(xué)習(xí)，要求學(xué)生 深刻理解重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)?zāi)Ｐ?，能熟練地?yīng)用二項(xiàng)概率公式。第三章 隨機(jī)變量及其分布3.1 隨機(jī)變量和分布函數(shù) 本節(jié)主要介紹隨機(jī)變量的概念。為了更深入地研究隨機(jī)現(xiàn)象，我們需要把隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果數(shù)量化，即用某一變量取各種不同的數(shù)值來描述隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果，這樣就引進(jìn)了隨機(jī)變量的概念。用隨機(jī)變量描述隨機(jī)現(xiàn)象是現(xiàn)代概率論的基本特征，以后我們所討論的隨機(jī)事件將幾乎無一例外地用隨機(jī)變量來描述。但是我們這里給出的隨機(jī)變量的定義只是比較直觀的描述，它的嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義，我們不作介紹, 要求學(xué)

10、生對(duì)隨機(jī)變量的含意有深刻的理解。 離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量是最重要的兩類隨機(jī)變量，它們的取值范圍不同，對(duì)它們的討論方法也不全相同。 在講授分布函數(shù)部分的內(nèi)容時(shí)，除了分布函數(shù)的定義和基本性質(zhì)要求學(xué)生熟記和理解外，還應(yīng)盡量說明引進(jìn)分布函數(shù)的重要意義，以及分布函數(shù)在討論隨機(jī)變量中的作用。3.2 離散型隨機(jī)變量及其分布離散型隨機(jī)變量和概率分布 在正確理解隨機(jī)變量概念的基礎(chǔ)上，應(yīng)當(dāng)弄清隨機(jī)事件和隨機(jī)變量之間的關(guān)系，對(duì)于隨機(jī)變量，要知道它取哪些值以及取這些值的概率，對(duì)于離散型的隨機(jī)變量，我們通常用分布列來描述，這一小節(jié)要求學(xué)生深刻理解分布列這一概念, 會(huì)求一些離散型隨機(jī)變量的分布列，掌握分布列的兩條

11、基本性質(zhì)。常用離散型隨機(jī)變量的分布本小節(jié)講授概率論中的幾個(gè)常用離散型隨機(jī)變量的分布，包括分布、二項(xiàng)分布、普阿松分布、幾何分布和超幾何分布，對(duì)每一種分布，詳細(xì)介紹它們的背景、各自的性質(zhì)以及計(jì)算，并講解一定量的例題。 3.3 連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布連續(xù)隨機(jī)變量和密度函數(shù)與離散型隨機(jī)變量不同，連續(xù)型隨機(jī)變量的所有可能取值充滿某一區(qū)間，這類隨機(jī)變量的分布 可以表示為一個(gè)非負(fù)可積函數(shù) 的積分， 稱為密度函數(shù)，由密度函數(shù)的定義可推導(dǎo)出它的一些基本性質(zhì)以及與分布函數(shù)的關(guān)系，另外，對(duì)于連續(xù)型的隨機(jī)變量，它取任一特定值的概率總是。 在講授這一節(jié)的內(nèi)容時(shí)，要求學(xué)生深刻理解密度函數(shù)這一概念, 弄清分布函數(shù)與密度函數(shù)

12、之間的關(guān)系，并建議與離散型隨機(jī)變量對(duì)比，從而加深理解。二、常用連續(xù)隨機(jī)變量的分布 本小節(jié)講授概率論中的幾個(gè)常用連續(xù)型隨機(jī)變量的分布，包括均勻分布、指數(shù)分布和正態(tài)分布，對(duì)每一種分布，詳細(xì)討論各自的密度函數(shù)、性質(zhì)和分布函數(shù)的計(jì)算，指出指數(shù)分布在服務(wù)系統(tǒng)中的應(yīng)用，這里的重點(diǎn)是正態(tài)分布，它是整個(gè)概率論基礎(chǔ)的重點(diǎn)內(nèi)容，這不僅因?yàn)檎龖B(tài)分布常見，而且它在理論研究中也很重要，用它能導(dǎo)出許多其它重要分布，要求學(xué)生能熟練地使用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，弄清一般正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布之間的關(guān)系。3.4 隨機(jī)變量函數(shù)的分布 本節(jié)講授隨機(jī)變量函數(shù)的分布的推導(dǎo)，我們分離散型和連續(xù)型兩種不同的類型介紹，講解不同類型下基本的處理方法。

13、關(guān)于隨機(jī)變量函數(shù)的分布的推導(dǎo)，在概率論和后繼課程數(shù)理統(tǒng)計(jì)中很重要，建議配備一定數(shù)量的習(xí)題，通過多動(dòng)手練習(xí)，達(dá)到掌握的目的。第四章 隨機(jī)向量及其分布4.1 二維隨機(jī)向量 在很多隨機(jī)現(xiàn)象中，往往涉及多個(gè)隨機(jī)變量，當(dāng)然我們可以一個(gè)個(gè)地研究，但是這些隨機(jī)變量之間一般來說有某種聯(lián)系，因此需要把它們作為一個(gè)整體來討論。 我們著重介紹二維離散型隨機(jī)向量及其分布，二維連續(xù)型隨機(jī)向量及其密度函數(shù)，二維分布函數(shù)的性質(zhì)給予敘述說明，但不證明。對(duì)于邊際分布列，邊際密度和邊際分布函數(shù)均要舉例說明，并配備一定數(shù)量的習(xí)題。4.2 隨機(jī)變量的獨(dú)立性 本節(jié)主要講授隨機(jī)變量的獨(dú)立性，并給出二維離散型與連續(xù)型隨機(jī)向量?jī)煞至开?dú)立的形

14、式。當(dāng)兩分量獨(dú)立時(shí)，聯(lián)合分布和邊際分布可以相互唯一確定。要求學(xué)生熟悉掌握獨(dú)立性這一概念。4.3 二維隨機(jī)向量函數(shù)的分布 本節(jié)前半部分講授已知二維隨機(jī)向量的聯(lián)合分布，求的分布，分離散和連續(xù)分別介紹。后半部分介紹分布可加性的概念，特別是二項(xiàng)分布、泊松分布和正態(tài)分布的可加性及其應(yīng)用，要求學(xué)生熟練掌握。第五章 數(shù)字特征和特征函數(shù)5.1 數(shù)學(xué)期望 本節(jié)介紹數(shù)學(xué)期望的概念，給出離散型和連續(xù)型隨機(jī)變量以及隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式，在介紹數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)時(shí)，除了隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望公式僅給予說明外，其它的給予證明。本節(jié)要求學(xué)生熟練掌握數(shù)學(xué)期望的概念，能計(jì)算分布的數(shù)學(xué)期望以及利用數(shù)學(xué)期望解決一些實(shí)際問題

15、，必要時(shí)應(yīng)利用數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)求解。第三章中所介紹的常見的離散及連續(xù)型隨機(jī)變量的分布的數(shù)學(xué)期望均作為例子加以計(jì)算，對(duì)于這些結(jié)果要求學(xué)生熟記。5.2 方 差 數(shù)學(xué)期望表示了隨機(jī)變量取值平均的大小，但在許多實(shí)際問題中，往往還需要進(jìn)一步了解隨機(jī)變量與其數(shù)學(xué)期望之間的偏差情況或離散程度，為此引入隨機(jī)變量的方差概念，給出離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量的方差的計(jì)算公式，證明常用的公式。證明方差的性質(zhì)，指出方差的性質(zhì)與期望性質(zhì)的異同之處。第三章中所介紹的常見的離散及連續(xù)型隨機(jī)變量的分布的方差均作為例子加以計(jì)算。本節(jié)的最后介紹切比雪夫不等式，這一方面可作為數(shù)學(xué)期望和方差的應(yīng)用，另一方面也可向?qū)W生介紹利用比雪夫不

16、等式估計(jì)有關(guān)事件的概率。 本節(jié)要求學(xué)生熟練掌握方差的概念，能計(jì)算分布的方差，必要時(shí)也應(yīng)會(huì)利用方差的性質(zhì)。熟記常見的離散及連續(xù)型隨機(jī)變量的分布的方差。 5.3 協(xié)方差和相關(guān)系數(shù) 協(xié)方差是二維隨機(jī)向量的一個(gè)重要的數(shù)字特征，它刻劃了兩個(gè)隨機(jī)變量間的相互關(guān)系，給出二維離散型隨機(jī)向量與連續(xù)型隨機(jī)向量的協(xié)方差的計(jì)算例子。 由于協(xié)方差的大小與隨機(jī)變量所取單位有關(guān)，因此引入相關(guān)系數(shù)的概念，它的大小與所取單位無關(guān)，而且反映了兩個(gè)隨機(jī)變量間線性相關(guān)的程度。這里的重點(diǎn)要說明相關(guān)系數(shù)的含義和不相關(guān)與獨(dú)立性之間的關(guān)系，可適當(dāng)舉例說明。*5.4 特征函數(shù)前面所介紹的數(shù)字特征只反映了概率分布的某些側(cè)面，本節(jié)介紹的特征函數(shù)既

17、能完全決定分布函數(shù)，又具有良好的分析性質(zhì)。本節(jié)較全面地介紹特征函數(shù)的概念和性質(zhì)，對(duì)于一些數(shù)學(xué)要求較高的結(jié)論免去了其證明。本節(jié)內(nèi)容與其他章節(jié)相對(duì)獨(dú)立，刪去后不影響全書的連貫和系統(tǒng)性，同時(shí)考慮到本節(jié)內(nèi)容對(duì)數(shù)學(xué)的要求相對(duì)較高，在課時(shí)充分及學(xué)生接受情況良好時(shí)可講授本節(jié)內(nèi)容。 第六章 極限定理6.1 大數(shù)定律 首先證明切貝謝夫不等式（證明離散型隨機(jī)變量的情況，連續(xù)型隨機(jī)變量的情況由學(xué)生證明），要求學(xué)生理解切貝謝夫不等式給出了隨機(jī)事件 的概率的一種估計(jì)方法。 用切貝謝夫不等式證明切貝謝夫大數(shù)定律，理解它的概率意義，并正確領(lǐng)會(huì)它的現(xiàn)實(shí)意義。 貝努利大數(shù)定律作為切貝謝夫大數(shù)定律的特例得到論證，貝努利大數(shù)定律對(duì)