大學物理授課教案第四章剛體轉(zhuǎn)動

1、精選教學設(shè)計第四章剛體的轉(zhuǎn)動4-1剛體運動一、剛體定義：物體內(nèi)隨意二點距離不變的物體稱為剛體。說明：剛體是理想模型剛體運動剛體模型是為簡化問題引進的。剛體運動：（1）平動：剛體內(nèi)任向來線方向不變。特色：各點運動狀態(tài)同樣，如：a、V等都同樣，故可用一個點來代表剛體運動。（2）轉(zhuǎn)動：1）繞點轉(zhuǎn)動2）繞軸轉(zhuǎn)動：剛體中全部點都繞向來線作圓周運動說明：剛體的任何運動都可看作平動與轉(zhuǎn)動的合成。（如：乒乓球飛翔等）、定軸轉(zhuǎn)動（本章僅議論此狀況）定義：轉(zhuǎn)軸固準時稱為定軸轉(zhuǎn)動。（如：皮帶輪），各點的同樣。2剛體上各點的V（=）、an（?。?、轉(zhuǎn)動特色：剛體上各點的角位移-同樣at一般狀況下不一樣。說明：是矢量，方

2、向可由右手螺旋法例確立。見圖4-1。v=丫：沁r圖4-1精選教學設(shè)計4-2力矩轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動慣量一、力矩1、外力F在垂直于軸的平面內(nèi)如圖4-2:定義：力矩：M=rF（4-1）力矩：大小：M=Fd=Frsin-（d=rsin二，稱為力臂）；方向：沿（rF）它垂直于r、F構(gòu)成的平面即M與軸平行。注意：。是r、F間夾角。2、外力F不在垂直于軸的平面內(nèi)如圖4-3:F=F（平行軸）?F_（垂直軸）TF對轉(zhuǎn)動無貢獻?對轉(zhuǎn)動有貢獻的僅是F_。F產(chǎn)生的力矩即F_的力矩，故上邊的結(jié)果仍適用。說明：F平行軸或經(jīng)過軸時M=0o、轉(zhuǎn)動定律M-0時，轉(zhuǎn)動狀態(tài)改變，即?-0,那么:?與M的關(guān)系怎樣？這就是轉(zhuǎn)動定律的內(nèi)容。推

3、導：如圖4-4，把剛體當作由很多質(zhì)點構(gòu)成的系統(tǒng),這些質(zhì)點在垂直于軸的平面內(nèi)作圓周運動?？紤]第i個質(zhì)點：質(zhì)量：mi到軸的距離：ri受力：外力：Fi;內(nèi)力：fi（設(shè)Fi、fi在垂直于轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi)）精選教學設(shè)計在切線方向上由牛頓定律有：Fit什Ymat=訕廠（4-2）軸圖4-4精選教學設(shè)計即RsinfjSin-.血片(4-3)(4-3)xri:二Firisini+fiAsin=也口山務(wù)(4-4)每一個質(zhì)點都有一個這樣方程，全部質(zhì)點對應(yīng)方程乞降以后，有、Frsin1frsin山=：mr(4-5)iiiiiiiiILi可證明合內(nèi)力矩、Firisiny=0i證明以下:如圖4-5，剛體內(nèi)力是各質(zhì)點間的互相作

4、使勁，他們是一對一對的作使勁和反作使勁。對i、j兩質(zhì)點，互相作使勁的力矩之和=?設(shè)fj為第i個質(zhì)點對第j個質(zhì)點作使勁，fji為第j個質(zhì)點對第i個質(zhì)點作使勁。fj與fji共線?力臂相等又vfji與fji等值反向?fj與fji產(chǎn)生力矩等值反向，故fj與fji力矩合=0由此可知：剛體的全部內(nèi)力矩之和兩兩抵消，結(jié)果為0。=、firisin可=0iMfirisin令i2=送亦山i|M=JG(4-6)即：剛體角加快度與合外力矩成正比，與轉(zhuǎn)動慣量成反比，這稱為轉(zhuǎn)動定律。說明：M=J,與M方向同樣M為剎時關(guān)系轉(zhuǎn)動中M-J-與平動中F=ma地位同樣，F(xiàn)是產(chǎn)生a的原由，M是產(chǎn)生:的原由。比較J=maM為合外力矩二

5、各個外力力矩的矢量和。三、轉(zhuǎn)動慣量1、miri2:轉(zhuǎn)動慣量=剛體中每個質(zhì)點的質(zhì)量與它到轉(zhuǎn)軸距離平方乘積的和i精選教學設(shè)計J=gr+m22+nr+mn（剛體由n個質(zhì)點構(gòu)成）Jr2dm=JPr2dV（P為密度，dV為體積元）（由連續(xù)體構(gòu)成的剛體）,mm2、轉(zhuǎn)動慣量的意義：轉(zhuǎn)動慣性的量度。例4-1:如圖4-6，在不計質(zhì)量的細桿構(gòu)成的正三角形的頂角上，各固定一個質(zhì)量為m的小球，三角形邊長為l系統(tǒng)對。求:過質(zhì)心且與三角形平面垂直軸C的轉(zhuǎn)動慣量；系統(tǒng)對過A點，且平行于軸C的轉(zhuǎn)動慣量；若A處質(zhì)點也固定在B處，的結(jié)果怎樣？解:Jc二m、2m&3j12Ml2（M=3m）32222JA=mlmlMl3JA=ml2

6、2ml2=MI2議論：J與質(zhì)量相關(guān)（見、結(jié)果）圖4-6J與軸的地點相關(guān)（比較、結(jié)果）J與剛體質(zhì)量散布相關(guān)（比較、結(jié)果）平行軸定理：對平行于質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量二對證心軸轉(zhuǎn)動慣量+剛體質(zhì)量x該軸與質(zhì)心軸之距離平方。如221212JAMlMlMlJM333例4-2:如圖4-7，質(zhì)量為m長為1的勻質(zhì)桿，求：它對過質(zhì)心且與桿垂直的軸c的轉(zhuǎn)動慣量為多少?它對過一端且平行于c軸的A軸轉(zhuǎn)動慣量為多少?解：如圖4-7所取坐標，Jcx2mdxml2圖4-7C5l12軸mdxJml如圖4-8所取坐標,AdmB-l3用平行軸定理解：xdxJA中12叩Jml3圖4-84說明：一些特別形狀的剛體轉(zhuǎn)動慣量應(yīng)會計算并記著。如：

7、勻質(zhì)桿、圓柱、圓盤、圓環(huán)、球等。精選教學設(shè)計解得:例4-3:如圖4-9，輕繩經(jīng)過水平圓滑桌面上的定滑輪c連結(jié)兩物體A和B，A、B質(zhì)量分別為mA、mB，滑輪視為圓盤，其質(zhì)量為mc半徑為R,AC水平并與軸垂直，繩與滑輪無相對滑動，不計軸處摩擦，求B的加快度，ACBC間繩的張力大小。mA解：受力剖析：mA:重力mAg，桌面支持力N1，a二繩的拉力T1；mAmAmBg|mAg譏gJT2A+mc2mBg圖4-912T2mA+mBmAmBmBg議論：不計mc時,mAmBgTi二圖4-10ATmAmBmB：重力mBg，繩的拉力T2；mc:重力mcg，軸作使勁N2，繩作使勁、T2取物體運動方向為正，由牛頓定律

8、及轉(zhuǎn)動定律得：7T|=mAa“mBTmBaB122R-T1R=mcRaL2及斤二，T2=T2，a=R:精選教學設(shè)計N2mBg1mmB2cBc（即為質(zhì)點狀況）例4-4:一質(zhì)量為m的物體懸于一條輕繩的一端，繩繞在一輪軸的軸上，如圖4-11。軸水平且垂直于輪軸面，其半徑為r，整個裝置架在圓滑的固定軸承上。當物體從靜止開釋后，在時間t內(nèi)降落了一段距離S，試求整個滑輪的轉(zhuǎn)動慣量（用m，r，t和S表示）解：受力剖析m:重力mg、繩作使勁T輪：重力Mg*、軸作使勁N、繩作使勁T精選教學設(shè)計由牛頓第二定律及轉(zhuǎn)動定律得:mgT=maTr=Ja及T=T,a,S=at2圖4-11fNT一2gt2=J=mr(1)4-

9、3轉(zhuǎn)動動能力矩的功轉(zhuǎn)動動能定理2S、轉(zhuǎn)動動能Mg*圖4-12如圖4-13，剛體繞過0處軸（垂直圖面）轉(zhuǎn)動，角速度為在轉(zhuǎn)動中剛體各個質(zhì)點都擁有動能，剛體轉(zhuǎn)動動能=各個質(zhì)點動能之和。m1,m2,m3，與軸距離為23，轉(zhuǎn)動動能為:設(shè)各質(zhì)點質(zhì)量為-r，r121212m2r2m3r3，i亠Ekm1r1222=1訂；?2r/v3r32宀22”mLmLmJ、血山22中22亡1.2Ek=二J(4-6)2Ek1J：；轉(zhuǎn)動Ek2圖4-13=-mv2平動、力矩的功2如圖4-14，剛體繞定軸轉(zhuǎn)動，設(shè)作用在剛體P點力F（能夠是內(nèi)力，或外力，也能夠是協(xié)力或單個力）在F作用下剛體有一角位移dr，力的作用點的位移為dr，則F

10、在該位移中作的功為：NN兀dW=Fdr二Fdrcos：二Fdrcos（）2二Fdrsin=Frsind-MdT（4-7）即：力矩元功二力矩x角位移（力矩與角位移點積）在力矩作用下，從弓二2過程中，力矩的功為W=fMd日(4-8)精選教學設(shè)計說明：常力矩功w=MG2-R)力矩功是力矩的空間累積效應(yīng)內(nèi)力矩功之和=0(與質(zhì)點狀況不一樣)力矩的功功率：p=W=MdMdtdtb-比較:p=F訂平動W=Fdrp=M1轉(zhuǎn)動w=fMd6kI蛆、剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理M=11d-ddd-=M=Jdt二JJ；：;ddtdr做以下積分8他/yd.可得(4-)即：合外力矩功等于剛體轉(zhuǎn)動動能增量，稱此為剛體的轉(zhuǎn)動動能定

11、理例4-5:在例4-3中，若B從靜止開始著落h時,合外力矩對c做的功=?RR精選教學設(shè)計精選教學設(shè)計mEBgRh/R2(mAmB1mc)2mcmBgh=12(mAmBmJ212Wr-02izAmcmBgh12國=一1/_mcR2mAmBmc22m)Bgh例4-6:如圖4-16所示，一輕彈簧與一勻質(zhì)細桿I=1m相連，彈簧倔強系數(shù)K=40NmJ，細桿質(zhì)量為m=3kg。桿可繞c軸無摩擦轉(zhuǎn)動。若當W時彈簧為原長，那么細桿在二=0的地點上起碼擁有多大的角速度才能轉(zhuǎn)到水平地點？解：取K、桿、地為系統(tǒng)，由題意知系統(tǒng)機械能守恒。21.02-0.=mg1111ml222223Ep=0=K=40Nm4，m=3kg

12、。l=1m，g=9.8ms代入得1-6.18rads注意：機械能守恒定律條件及應(yīng)用。4-4角動量角動量定理角動量守恒定律角動量1、角動量定義：L=J，稱L為剛體角動量（或動量矩）大?。篖=J方向：與矗同向動量p=mv平動角動說明：L為矢量*量L=J轉(zhuǎn)動2、沖量矩精選教學設(shè)計轉(zhuǎn)動定律M二口叫（4-10）dt-%（4-11=Mdt=dL）t做以下積分：Mdt二L2-L,=J2-2-片1定義：t2Mdt為M在t1_t2內(nèi)對剛體的沖量矩（4-12）t1說明：（1）沖量矩是矢量（2）沖量矩是力矩的時間累積效應(yīng)rt2沖量Fdt平動*比較：1t2-沖量矩Mdt轉(zhuǎn)動二、角動量定理t由上知Mdt=J?JQ*1即

13、：合外力矩對剛體的沖量矩等于剛體角動量增量。稱此為角動量（或動量矩）定理。、角動量守恒定律已知M=匹-dtdL當M=0時，0dt有L=Ji=常矢即：當合外力矩M三0時，則此狀況下剛體角動量守恒，稱此為角動量守恒定律。說明：角動量守恒條件是某一過程中M三0a）J、國均不變p）J、曲勻變，但J懇變角動量守恒定律、動量守恒定律和能量守恒定律是自然界中的廣泛規(guī)律,（如電子，中子，原子，光子，）等微觀粒子的運動。不單合用于宏觀物體的機械運動，并且也合用于原子、原子核和基本粒子例4-7:如圖4-17，輕繩一端系著質(zhì)量為m的質(zhì)點，另一端穿過光滑水平桌面上的小孔o使勁F拉著,以下圖。質(zhì)點本來以等速率v作半徑為

14、r的圓周運動，當F拉動繩索向正下方挪動r/2時，質(zhì)點的角速度川二?4-13）4-14）圖4-17精選教學設(shè)計解：研究對象：m受力剖析：重力、桌面支持力、繩的作使勁?？梢娹D(zhuǎn)動中，受合外力矩=0，即L二常矢J?1二J?”?=mr2()=m注意：角動量守恒條件及應(yīng)用（L守恒時，p不必定守恒，反過來也這樣）例4-8:如圖4-18，AB兩圓盤分別繞過此中心的垂直軸轉(zhuǎn)動，角速度分別是，A、?B，它們半徑和質(zhì)量分別為RA、RB和mA、mB。求A、B對心連接后的最后角速度。解：研究對象：A、B系統(tǒng)在連接過程中,對軸無外力矩作用，故有L=常矢=JAJB二JA，AJB即：.=JAAJBBJA*JB1mARAA1m

15、BRBB_22打人只；miBR；22mARAAmBRBBmAR：+mBRB議論：倘若的轉(zhuǎn)動方向與題中相反，貝U假定-A為正，則有:圖4-18JAJB=JAA_JBB0與A原轉(zhuǎn)動同向“0與A原轉(zhuǎn)動反向EARAEBRB原A、B角動量等值反向=o停止例4-9:如圖4-19,長為I，質(zhì)量為m的勻質(zhì)細桿，可繞過O的圓滑水平軸轉(zhuǎn)動。開初桿水沉靜止。求：t=0時，二？桿到豎直地點時，-=?桿從水平到豎直過程中外力矩功=?桿從水平到豎直過程中桿受沖量矩大小為多少？精選教學設(shè)計o解：Mmg2丄口I2：3a2I以m、地為系統(tǒng)，其能量方程末態(tài)111W=丄,2-0mgl2沖量矩=J.,例4-10:長為I,質(zhì)量為M的勻質(zhì)細桿，可繞上端的圓滑水平軸轉(zhuǎn)動，開初桿豎直靜止。一質(zhì)量為m的小球在桿的轉(zhuǎn)動面內(nèi)以速度v0垂直射向桿的A點，求以下狀況下桿開始運動的角速度及最大擺角。子彈留在桿內(nèi)子彈以Vo射出2解：子彈留在桿內(nèi)分兩個過程：1）彈射入桿過程。、m、M為系統(tǒng)，角動量守恒，即mvo31MI24|3mvol36mv04z、.21MIm-I31416MI27mI丿（重申：此過程動量不守恒及原由）2）上擺過程。m、M、地為系統(tǒng)，系統(tǒng)機械能守恒，有