新高考版數(shù)學(xué)高中總復(fù)習(xí)專題8.1空間幾何體的三視圖、表面積與體積（試題練）教學(xué)講練

1、數(shù)學(xué)高考總復(fù)習(xí)PAGE PAGE 13學(xué)好數(shù)理化，走遍天下都不怕專題八立體幾何【考情探究】課標(biāo)解讀考情分析備考指導(dǎo)主題內(nèi)容一、空間幾何體的三視圖、體積與表面積公式1.認(rèn)識柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征,并能運用這些特征描述現(xiàn)實生活中簡單物體的結(jié)構(gòu).2.能畫出簡單空間圖形(長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡易組合)的三視圖,能識別上述三視圖所表示的立體模型;會用斜二測畫法畫出簡單幾何體的直觀圖.3.了解球、棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積的計算公式.1.從近幾年高考考查內(nèi)容來看,這一部分主要考查空間幾何體與涉及數(shù)學(xué)文化、空間幾何體的三視圖、表面積與體積、幾何體的外接、內(nèi)切球的計算,考查空間

2、幾何體側(cè)面展開圖問題,題型既有選擇題,也有填空題,難度適中.2.這一部分突出對空間直線、平面位置關(guān)系的判斷,會求兩異面直線所成的角,在解答題中主要是考查直線與平面平行、垂直的判定與性質(zhì),常出現(xiàn)在解答題第一問,難度中等,解題時注意線線、線面、面面平行、垂直位置關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化.3.利用空間向量證明平行與垂直以及求空間角(特別是二面角)、空間距離均是高考的熱點,通過向量的運算來證明直線平行、垂直,求夾角,難度中等,以解答題形式出現(xiàn),把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為空間向量問題.1.強化識圖能力,還原成自己熟悉的幾何體.2.對圖形或其某部分進行平移、翻折、旋轉(zhuǎn)、展開或割補.3.重視立體幾何最值問題的研究.4.三視

3、圖、平面展開圖(折線轉(zhuǎn)化成直線).5.完善知識網(wǎng)絡(luò),強調(diào)通性通法,以下是平行垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化關(guān)系圖.6.加強空間向量對垂直問題的研究:空間直角坐標(biāo)系的建立是基于三線兩兩垂直的,因此只有真正掌握了對垂直關(guān)系的判斷、論證的研究方法,真正理解法向量的自由性,以及求法向量的方法,才能使問題順利解決.二、空間點、線、面的位置關(guān)系1.理解空間直線、平面位置關(guān)系的定義.2.能運用公式、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的位置關(guān)系的簡單命題.3.以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點,認(rèn)識和理解空間中線、面平行的判定定理與有關(guān)性質(zhì).4.以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點,認(rèn)識和理解空間中線、面垂直的判定定理與有

4、關(guān)性質(zhì).三、空間向量運算及立體幾何中的向量方法1.掌握空間向量的線性運算、數(shù)量積及其坐標(biāo)表示、用向量的數(shù)量積判斷向量的平行與垂直.2.理解直線的方向向量與平面的法向量.3.能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直、平行關(guān)系.4.能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角的計算問題,了解向量方法在研究幾何問題中的作用.【真題探秘】8.1空間幾何體的三視圖、表面積與體積基礎(chǔ)篇固本夯基【基礎(chǔ)集訓(xùn)】考點一三視圖與直觀圖1.(2018課標(biāo),3,5分)中國古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來.構(gòu)件的凸出部分叫榫頭,凹進部分叫卯眼,圖中木構(gòu)件右邊的小長方體是榫頭.若如圖擺放的木構(gòu)件與

5、某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長方體,則咬合時帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是()答案A2.給出下列命題:棱柱的側(cè)棱都相等,側(cè)面都是全等的平行四邊形;在四棱柱中,若兩個過相對側(cè)棱的截面都垂直于底面,則該四棱柱為直四棱柱;存在每個面都是直角三角形的四面體;棱臺的側(cè)棱延長后交于一點.其中正確命題的序號是.答案3.如圖,矩形OABC是水平放置的一個平面圖形的直觀圖,其中OA=6 cm,OC=2 cm,則原圖形OABC的形狀是.答案菱形考點二空間幾何體的體積4.(2018河南頂級名校3月聯(lián)考,10)某四棱錐的三視圖如圖所示,其中正視圖的輪廓是邊長為2的正方形,側(cè)視圖的輪廓是底邊長分別為2和1的直角梯形,則該幾何

6、體的體積為()A.83B.43C.82答案A5.平面截球O的球面所得圓的半徑為1,球心O到平面的距離為2,則此球的體積為()A.6B.43C.46D.63答案B6.如圖,在四邊形ABCD中,DAB=90,ADC=135,AB=5,CD=22,AD=2,則四邊形ABCD繞AD所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成幾何體的體積為.答案1483考點三空間幾何體的表面積7.(2019安徽黃山二模,6)某空間幾何體的三視圖如圖所示,其中正視圖和俯視圖均為邊長是1的等腰直角三角形,則此空間幾何體的表面積是()A.2+32B.1+32C.2+3+12答案C8.已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6個頂點都在球O的球面上,且A

7、B=3,AC=4,ABAC,AA1=12,則球O的表面積是.答案1699.九章算術(shù)中對一些特殊的幾何體有特定的稱謂,例如:將底面為直角三角形的直三棱柱稱為塹堵,將一塹堵沿其一頂點與相對的棱刨開,得到一個陽馬(底面是長方形,且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐)和一個鱉臑(四個面均為直角三角形的四面體).在如圖所示的塹堵ABC-A1B1C1中,AA1=AC=5,AB=3,BC=4,則陽馬C1-ABB1A1的外接球的表面積是.答案50綜合篇知能轉(zhuǎn)換【綜合集訓(xùn)】考法一與表面積和體積有關(guān)的問題1.(2017課標(biāo),16,5分)如圖,圓形紙片的圓心為O,半徑為5 cm,該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O.D,

8、E,F為圓O上的點,DBC,ECA,FAB分別是以BC,CA,AB為底邊的等腰三角形.沿虛線剪開后,分別以BC,CA,AB為折痕折起DBC,ECA,FAB,使得D,E,F重合,得到三棱錐.當(dāng)ABC的邊長變化時,所得三棱錐體積(單位:cm3)的最大值為.答案4152.(2020屆浙江東陽中學(xué)10月月考,16)頂點為P的圓錐的軸截面是等腰直角三角形,A是底面圓周上的點,B是底面圓內(nèi)的點,O為底面圓圓心,ABOB,垂足為B,OHPB,垂足為H,且PA=4,C是PA的中點,則當(dāng)三棱錐O-HPC的體積最大時,OB的長為.答案23.(2020屆江西南昌調(diào)研,15)已知一個三棱錐的三視圖如圖所示,其中2a+

9、b=2(a0,b0),則此三棱錐體積的最大值為.答案1考法二與球有關(guān)的切、接問題4.(2016課標(biāo)全國,11,5分)在封閉的直三棱柱ABC-A1B1C1內(nèi)有一個體積為V的球.若ABBC,AB=6,BC=8,AA1=3,則V的最大值是()A.4B.92C.6答案B5.(2018四川南充模擬,9)已知A,B,C,D是同一球面上的四個點,其中ABC是正三角形,AD平面ABC,AD=2AB=6,則該球的體積為()A.323B.48C.24D.16答案A6.(2017江蘇,6,5分)如圖,在圓柱O1O2內(nèi)有一個球O,該球與圓柱的上、下底面及母線均相切.記圓柱O1O2的體積為V1,球O的體積為V2,則V1

10、V2答案37.(2018湖南師大附中模擬,16)在體積為43的三棱錐S-ABC中,AB=BC=2,ABC=90,SA=SC,且平面SAC平面ABC,若該三棱錐的四個頂點都在同一球面上,則該球的體積是答案928.(2018江西南昌二中1月模擬,16)在三棱錐S-ABC中,ABC是邊長為3的等邊三角形,SA=3,SB=23,二面角S-AB-C的大小為120,則此三棱錐的外接球的表面積為.答案21應(yīng)用篇知行合一【應(yīng)用集訓(xùn)】1.(2015課標(biāo),6,5分)九章算術(shù)是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著,書中有如下問題:“今有委米依垣內(nèi)角,下周八尺,高五尺.問:積及為米幾何?”其意思為:“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如

11、圖,米堆為一個圓錐的四分之一),米堆底部的弧長為8尺,米堆的高為5尺,問米堆的體積和堆放的米各為多少?”已知1斛米的體積約為1.62立方尺,圓周率約為3,估算出堆放的米約有()A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛答案B2.如圖,有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器,容器高8 cm,將一個球放在容器口,再向容器內(nèi)注水,當(dāng)球面恰好接觸水面時測得水深為6 cm,如果不計容器的厚度,則球的體積為()A.5003 cm3B.866C.1 3723 cm3D.答案A3.(2019課標(biāo),16,5分)學(xué)生到工廠勞動實踐,利用3D打印技術(shù)制作模型.如圖,該模型為長方體ABCD-A1B1C1D1挖去四棱錐O-

12、EFGH后所得的幾何體,其中O為長方體的中心,E,F,G,H分別為所在棱的中點,AB=BC=6 cm,AA1=4 cm.3D打印所用原料密度為0.9 g/cm3.不考慮打印損耗,制作該模型所需原料的質(zhì)量為g.答案118.8【五年高考】考點一三視圖與直觀圖1.(2017課標(biāo),7,5分)某多面體的三視圖如圖所示,其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成,正方形的邊長為2,俯視圖為等腰直角三角形.該多面體的各個面中有若干個是梯形,這些梯形的面積之和為()A.10B.12C.14D.16答案B2.(2019課標(biāo),16,5分)中國有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形狀多為長方體、

13、正方體或圓柱體,但南北朝時期的官員獨孤信的印信形狀是“半正多面體”(圖1).半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體.半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美.圖2是一個棱數(shù)為48的半正多面體,它的所有頂點都在同一個正方體的表面上,且此正方體的棱長為1.則該半正多面體共有個面,其棱長為.(本題第一空2分,第二空3分)圖1圖2答案26;2-1考點二空間幾何體的體積3.(2019課標(biāo),12,5分)已知三棱錐P-ABC的四個頂點在球O的球面上,PA=PB=PC,ABC是邊長為2的正三角形,E,F分別是PA,AB的中點,CEF=90,則球O的體積為()A.86B.46C.26D.6答案D4.(2017課

14、標(biāo),4,5分)如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗實線畫出的是某幾何體的三視圖,該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得,則該幾何體的體積為()A.90B.63C.42D.36答案B5.(2019浙江,4,4分)祖暅?zhǔn)俏覈媳背瘯r代的偉大科學(xué)家,他提出的“冪勢既同,則積不容異”稱為祖暅原理,利用該原理可以得到柱體的體積公式V柱體=Sh,其中S是柱體的底面積,h是柱體的高.若某柱體的三視圖如圖所示(單位:cm),則該柱體的體積(單位:cm3)是()A.158B.162C.182D.324答案B6.(2019江蘇,9,5分)如圖,長方體ABCD-A1B1C1D1的體積是120,E為CC1的中點,則

15、三棱錐E-BCD的體積是.答案107.(2019天津,11,5分)已知四棱錐的底面是邊長為2的正方形,側(cè)棱長均為5.若圓柱的一個底面的圓周經(jīng)過四棱錐四條側(cè)棱的中點,另一個底面的圓心為四棱錐底面的中心,則該圓柱的體積為.答案8.(2018天津,11,5分)已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,除面ABCD外,該正方體其余各面的中心分別為點E,F,G,H,M(如圖),則四棱錐M-EFGH的體積為.答案19.(2018江蘇,10,5分)如圖所示,正方體的棱長為2,以其所有面的中心為頂點的多面體的體積為.答案410.(2017天津,10,5分)已知一個正方體的所有頂點在一個球面上,若這個正方

16、體的表面積為18,則這個球的體積為.答案9211.(2015江蘇,9,5分)現(xiàn)有橡皮泥制作的底面半徑為5、高為4的圓錐和底面半徑為2、高為8的圓柱各一個.若將它們重新制作成總體積與高均保持不變,但底面半徑相同的新的圓錐和圓柱各一個,則新的底面半徑為.答案712.(2016江蘇,17,14分)現(xiàn)需要設(shè)計一個倉庫,它由上下兩部分組成,上部的形狀是正四棱錐P-A1B1C1D1,下部的形狀是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1(如圖所示),并要求正四棱柱的高O1O是正四棱錐的高PO1的4倍.(1)若AB=6 m,PO1=2 m,則倉庫的容積是多少?(2)若正四棱錐的側(cè)棱長為6 m,則當(dāng)PO1為多少時,倉

17、庫的容積最大?解析(1)由PO1=2 m知O1O=4PO1=8 m.因為A1B1=AB=6 m,所以正四棱錐P-A1B1C1D1的體積V錐=13A1B12PO1=13622=24(m3);正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的體積V柱=AB2O1O=628=288(m3).所以倉庫的容積V=V錐+V設(shè)A1B1=a(m),PO1=h(m),則0h6,O1O=4h(m).連接O1B1.因為在RtPO1B1中,O1B12+PO12=PB12,所以2a22于是倉庫的容積V=V柱+V錐=a24h+13a2h=133a2h=263從而V=263(36-3h2)=26(12-h2).令V=0,得h=23或h=

18、-23(舍).當(dāng)0h0,V是單調(diào)增函數(shù);當(dāng)23h6時,V0,V是單調(diào)減函數(shù).故h=23時,V取得極大值,也是最大值.因此,當(dāng)PO1=23 m時,倉庫的容積最大方法指導(dǎo)(1)根據(jù)已知條件求出相關(guān)數(shù)據(jù),進而利用相應(yīng)體積公式求解.(2)選擇中間關(guān)聯(lián)變量PO1為主變量把相關(guān)邊長與高用主變量表示出來,再把容積表示成主變量的函數(shù),進而轉(zhuǎn)化成研究函數(shù)最值的問題.本題主要考查函數(shù)的概念、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、棱柱和棱錐的體積等基礎(chǔ)知識,考查空間想象能力和運用數(shù)學(xué)模型及數(shù)學(xué)知識分析和解決實際問題的能力.考點三空間幾何體的表面積13.(2016課標(biāo),6,5分)下圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖,則該幾何體的表面積為

19、()A.20B.24C.28D.32答案C14.(2016課標(biāo),9,5分)如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗實線畫出的是某多面體的三視圖,則該多面體的表面積為()A.18+365B.54+185C.90D.81答案B15.(2015課標(biāo),9,5分)已知A,B是球O的球面上兩點,AOB=90,C為該球面上的動點.若三棱錐O-ABC體積的最大值為36,則球O的表面積為()A.36B.64C.144D.256答案C16.(2018課標(biāo),16,5分)已知圓錐的頂點為S,母線SA,SB所成角的余弦值為78,SA與圓錐底面所成角為45.若SAB的面積為515,則該圓錐的側(cè)面積為答案402【三年模擬】一、

20、單項選擇題(每題5分,共50分)1.(2020屆山東夏季高考模擬,5)已知三棱錐S-ABC中,SAB=ABC=2,SB=4,SC=213,AB=2,BC=6,則三棱錐S-ABC的體積是(A.4B.6C.43D.63答案C2.(2020屆九師聯(lián)盟9月質(zhì)量檢測,3)埃及金字塔是古埃及的帝王(法老)陵墓,世界七大奇跡之一,其中較為著名的是胡夫金字塔,令人吃驚的并不僅僅是胡夫金字塔的雄壯身姿,還有發(fā)生在胡夫金字塔上的數(shù)字“巧合”.如胡夫金字塔的底部周長如果除以其高度的兩倍,得到的商為3.141 59,這就是圓周率較為精確的近似值.金字塔底部為正方形,整個塔形為正四棱錐,經(jīng)古代能工巧匠建設(shè)完成后,底座邊

21、長大約為230米.因年久風(fēng)化,頂端剝落10米,則胡夫金字塔現(xiàn)高大約為()A.128.4米B.132.4米 C.136.4米D.140.4米答案C3.(2018江西南昌二中3月月考,9)一個幾何體的三視圖如圖所示,在該幾何體的各個面中,面積最小的面的面積為()A.8B.4C.43D.42答案D4.(2020屆安徽合肥高三調(diào)研,6)已知一個機械工件的正(主)視圖與側(cè)(左)視圖如圖所示,俯視圖與正(主)視圖完全一樣.若圖中小網(wǎng)格都是邊長為1的正方形,則該工件的表面積為()A.24B.26C.28D.30答案C5.(2019青海西寧二模,8)九章算術(shù)中描述的“羨除”是一個五面體,其中有三個面是梯形,另

22、兩個面是三角形.已知一個羨除的三視圖如圖中粗線所示,其中小正方形網(wǎng)格的邊長為1,則該羨除的體積為()A.20B.24C.28D.32答案B6.(2020屆遼寧瓦房店高級中學(xué)10月月考,11)一個圓錐的母線長為2,圓錐的母線與底面的夾角為4,則圓錐的內(nèi)切球的表面積為(A.8 B.4(2-2)2C.4(2+2)2D.32(答案B7.(2018廣東惠州二模,10)已知三棱錐S-ABC的底面是以AB為斜邊的等腰直角三角形,AB=2,SA=SB=SC=2,則三棱錐S-ABC的外接球的球心到平面ABC的距離是()A.33B.1C.3D.答案A8.(2020屆遼寧阜新高級中學(xué)10月月考,11)在三棱錐S-A

23、BC中,AB=10,ASC=BSC=4,AC=AS,BC=BS,若該三棱錐的體積為153,則三棱錐S-ABC外接球的體積為(A.B.43C.5D.答案B9.(2020屆河北衡水中學(xué)模擬,11)在菱形ABCD中,DAB=60,將這個菱形沿對角線BD折起,使得平面DAB平面BDC,若此時三棱錐A-BCD的外接球的表面積為5,則AB的長為()A.52B.3C.5答案B10.(2020屆湖南長沙一中第一次月考,12)已知三棱錐D-ABC的四個頂點在球O的球面上,若AB=AC=BC=DB=DC=1,當(dāng)三棱錐D-ABC的體積取到最大值時,球O的表面積為()A.53B.2C.5答案A二、多項選擇題(每題5分,共15分)11.(改編題)已知三棱錐A-BCD中,BCCD,AB=AD=2,BC=1,CD=3,則()A.三棱錐的外接球的體積為4B.三棱錐的外接球的體積為8C.三棱錐的體積的最大值為3D.三棱錐的體積的最大值為3答案AC12.(改編題)如圖,矩形ABCD中,M為BC的中點,將ABM沿直線AM翻折成AB1M,連接B1D,N為B