歷年自考線性代數(shù)試題真題及答案分析解答

1、全國2010 年度 4 月高等教育自學考試線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題答案一、單項選擇題（本大題共10 小題，每小題2 分，共 20 分）1已知2 階行列式a1a2m ，b1b2n， 則b1b2b1b2c1c2a1c1 a2c2（ B）A m nB n mC m nD ( m n)b1b2b1b2b1b2m nn m a1 c1a2 c2a1a2c1c 22設(shè) A,B ,C均為 n 階方陣， ABBA， ACCA ，則 ABC（ D）A ACBBCABC CBADBCAABC ( AB) C(BA)CB( AC) B(CA)BCA 3設(shè) A為 3 階方陣， B為 4 階方陣，且 | A| 1， |B

2、| 2，則行列式 |B| A|之值為（ A）A 8B 2C 2D8|B| A| | 2A| ( 2)3 |A|8 a11a12a13a113a12a1310010 04 A a21a22a23 ，B a213a22a23 ， P030，Q3 1 0，則Ba31a32a33a313a32a3300100 1（ B）A PABAPC QADAQa11a12a13100a113a12a13AP a21a22a23030a213a22a23B a31a32a33001a313a32a335已知 A是一個 34 矩陣，下列命題中正確的是（C）A若矩陣 A 中所有 3 階子式都為0，則秩 ( A)=2B若

3、 A 中存在 2 階子式不為0，則秩 ( A)=2C若秩 ( A)=2 ，則 A 中所有 3 階子式都為0D若秩 ( A)=2 ，則 A 中所有 2 階子式都不為06下列命題中錯誤的是（C）A只含有 1 個零向量的向量組線性相關(guān)B由 3 個 2 維向量組成的向量組線性相關(guān)C由 1 個非零向量組成的向量組線性相關(guān)D 2 個成比例的向量組成的向量組線性相關(guān)7已知向量組1 ,2 , 3 線性無關(guān)，1 , 2, 3, 線性相關(guān)，則（D）A 1 必能由2 ,3 ,線性表出B 2 必能由1 ,3 ,線性表出C 3 必能由1 ,2 ,線性表出D 必能由1,2 ,3 線性表出注：1,2,3是 1 ,2 , 3

4、 , 的一個極大無關(guān)組8設(shè) A為 mn 矩陣， m n ，則方程組 Ax=0 只有零解的充分必要條件是A的秩（ D）A小于 mB等于 mC小于 nD等于 n注：方程組 Ax=0 有 n 個未知量9設(shè) A 為可逆矩陣，則與A 必有相同特征值的矩陣為（A）A ATB A2CA1D A| E AT|(EA)T|EA | ，所以 A 與 AT 有相同的特征值10二次型 f ( x1 , x2 , x3 )x12x22x322x1 x2 的正慣性指數(shù)為（C）A 0B1C 2D3f ( x1, x2 , x3 ) ( x1x2 ) 2x32y12y22 ，正慣性指數(shù)為 2二、填空題（本大題共10 小題，每

5、小題 2 分，共 20 分）11行列式 2007 2008的值為 _200920102007200820002000782 200920102000200091012設(shè)矩陣 A113 ， B20 ，則 AT B _20101122022AT B1020 01316113 設(shè)(3,1,0,2) T，(3,1, 1,4)T ， 若 向 量滿 足 23， 則_32(9,3,3,12)T(6,2,0,4)T(3,5, 3,8)T 14設(shè) A為 n 階可逆矩陣，且 | A |1 ，則 | | A 1 | _n|A 1|1n | A |15設(shè) A 為 n 階矩陣， B 為 n 階非零矩陣，若 B 的每一個

6、列向量都是齊次線性方程組 Ax=0 的解，則 | A | _個方程、個未知量的=0 有非零解，則0nn| A |16齊次線性方程組x1x2x30的基礎(chǔ)解系所含解向量的個數(shù)為2x1x23x30_A111111，基礎(chǔ)解系所含解向量的個數(shù)為nr 3 2 1213031117設(shè) n 階可逆矩陣 A 的一個特征值是3，則矩陣1 A2必有一個特3征值為 _A 有特征值3，則 1有特征值 13 ， 111 A2( 3)2A 2有特征值333312218設(shè)矩陣 A2x0的特征值為 4,1, 2 ，則數(shù) x _200由 1 x 0 4 12 ，得 x 2a1/ 2019已知 A 1/2b0是正交矩陣，則 a b

7、 _001由第 1、 2 列正交，即它們的內(nèi)積1( a b) 0 ，得 a b 0220二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) 4x1 x2 2 x1 x36x2 x3 的矩陣是 _021203 130三、計算題（本大題共6 小題，每小題9 分，共 54 分）abc21計算行列式 Da 2b 2c2的值aa 3bb 3c c 3abcabc111解： Da 2b 2c 2a2b 2c 2abcabca a3b b 3c c 3a3b3c3a 2b 2c 2abc(ba)(c a)11abc(ba)(ca)(cb) b aca22已知矩陣 B(2,1,3) ， C(1,2,3) ，求（ 1

8、） ABT C ；（2） A2 2246解：（1） A BT C1 (1,2,3)123 ；33692（ 2）注意到 CB T(1,2,3) 113 ，所以3246A 2(BT C)(BT C) BT (CBT )C 13BT C 13A 13 12336923設(shè)向量組1(2,1,3,1) T ,2(1,2,0,1) T ,3( 1,1, 3,0) T ,4(1,1,1,1)T ，求向量組的秩及一個極大線性無關(guān)組，并用該極大線性無關(guān)組表示向量組中的其余向量211111011101解：A(1,2,3121112110110, 4 )03130310332311012111011111011101

9、1011011001100110，向量組的秩為3，0002000100010001000000001 , 2 , 4 是一個極大無關(guān)組，312 1231424已知矩陣 A 012， B25（ 1）求 A 1 ；（ 2）解矩陣方程00113AXB 123100120103解：（1） (A, E) 012010010012001001001001100121121010012 ，A1012 ；0010010011211449（2）X A1B 012 2 5011 0011313x12x23x3425問 a 為何值時，線性方程組2 x2ax32 有惟一解？有無窮多2 x12x23x36解？并在有解時

10、求出其解（在有無窮多解時，要求用一個特解和導出組的基礎(chǔ)解系表示全部解） 123412341234解：( A,b) 02a 202a202a22236023200a 3 0a 3時 ， r ( A,b) r ( A)3，有惟一解，此時12341204( A, b)02a 202020010001010021002x1202 020101， x21 ；00100010 x301234a3時， r ( A,b)r ( A)2n ，有無窮多解，此時 ( A, b)023200001002100 x122020232013/ 21 ， x213 x3 ，通解為 1k3 / 2，其00000000210

11、x3x3中 k 為任意常數(shù)20026設(shè)矩陣 A03a 的三個特征值分別為1,2,5 ，求正的常數(shù) a 的值及0a3100可逆矩陣 P，使 P 1 AP020 0052003a解：由 |A|03a2 (9a 2 ) 125 ，得 a 24 ， a2 230a3a200E A032023對于 11，解( EA) x0 ：1001 0 0 x100E A0220 1 1， x2x3 ，取 p11；0220 0 0 x3x31對于 22，解( EA) x0 ：000010 x1x11E A 012001， x20 ，取 p20；021000 x300對于 35 ，解( EA) x0 ：300100 x

12、100E A0 22011 ， x2x3 ，取 p3102 2000 x3x31010100令 P ( p1 , p2 , p3 )101，則 P 是可逆矩陣，使 P 1 AP020101005四、證明題（本題6 分）27設(shè) A，B， AB 均為 n 階正交矩陣，證明 ( AB) 1A 1B 1 證：A，B，A B 均為 n 階正交陣，則 ATA 1，BTB 1，(A B)T( AB) 1，所以(A B)1(A B)TATBTA 1B 1 全國 2010 年 7 月高等教育自學考試線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題答案一、單項選擇題（本大題共10 小題，每小題2 分，共20 分）1設(shè) 3 階方陣 A( 1

13、 ,2 ,3)，其中i （ i1,2,3）為 A 的列向量，若|B| |( 1 2 2, 2, 3)| 6，則|A| （ C）|A| |( 1, 2, 3)| |( 12 2, 2, 3)| 6A 12B 6C 6D1230202計算行列式21050（ A）00202323A 180B 120C 120D180302002210533001053(3 (2)30 180 0023 22)100022232033若 A為3階方陣且 |A 1| 2，則 |2A| （ C）A 1B2C 4D82| A |1，|2A| 23 |A| 814 224設(shè) 1,2 ,3 , 4 都是 3 維向量，則必有（B

14、）A 1,2 ,3 ,4 線性無關(guān)B 1,2, 3,4 線性相關(guān)C 1可由2, 3, 4線性表示D 1 不可由2, 3, 4 線性表示5若A為 6 階方陣，齊次方程組=0 基礎(chǔ)解系中解向量的個數(shù)為2，Ax則 r (A)（ C）A 2B3C 4D5由 6r ( A)2 ，得 r (A)46設(shè) A、 B 為同階方陣，且 r ( A)r (B) ，則（ C）AA與 B相似B| A| |B|C A與 B等價DA與 B合同注： A 與 B 有相同的等價標準形7設(shè) A 為 3 階方陣，其特征值分別為2,1,0，則 |A 2E|（ D）A 0B2C 3D242E 的特征值分別為 4,3,2 ，所以 | A

15、2E | 4 3 2 24 8若A、 B 相似，則下列說法錯誤的是（B）A A與B等價BA 與B 合同C |A| |B|DA與B 有相同特征值注：只有正交相似才是合同的9若向量(1,2,1) 與( 2,3, t) 正交，則 t （ D）A 2B0C 2D4由內(nèi)積 26 t0，得 t410設(shè) 3 階實對稱矩陣 A 的特征值分別為 2,1,0 ，則（B）A A正定BA 半正定CA 負定DA 半負定對應的規(guī)范型2 z12z220 z320，是半正定的二、填空題（本大題共10 小題，每小題 2 分，共 20 分）32211 ，則 AB _11設(shè) A01， B2401032211653AB0101001

16、02442212設(shè) A為 3 階方陣，且 | A | 3 ， 則 |3 A 1 | _|3A1| 33|A1| 33133 19 | A |313三元方程 x1x2x31 的通解是 _x11 x2x3111x2x2，通解是0k11k2 0 x3x300114設(shè)( 1,2,2)，則與反方向的單位向量是 _|11 (1,2,2)|315設(shè) A 為5 階方陣，且 r ( A)3 ，則線性空間 W x | Ax0的維數(shù)是_W x | Ax0 的維數(shù)等于 Ax0基礎(chǔ)解系所含向量的個數(shù)：n r53216|5A 1|5312531125 | A |(1/ 2)17 若 A、 B 為 5 階 方 陣 ， 且

17、Ax0 只 有 零 解 ，且 r (B) 3 ， 則r ( AB) _Ax0 只有零解，所以 A 可逆，從而 r ( AB)r (B)3 21018實對稱矩陣10 1所對應的二次型011f ( x1, x2 , x3 ) _f ( x, x, x3) 2x2x 22x1x22x2x121331119設(shè) 3 元非齊次線性方程組Axb 有解12， 22 ，且 r ( A) 2 ，33則 Ax b 的通解是 _11110是 Ax0 的基礎(chǔ)解系， Axb 的通解是 2k 0(12)2030120設(shè)2，則 AT 的非零特征值是 _3由 T1(1,2,3) 214 ，可得 A2(T)T14T14A ，設(shè)

18、A 的非零特征值3是，則214 ，14三、計算題（本大題共6 小題，每小題9 分，共 54 分）200010200021計算 5 階行列式 D 002000002010002解 ：連 續(xù)3次 按 第2行展開，2001201020021D2402088324 002012102100220010014322設(shè)矩陣 X滿足方程010 X001201，求 X002010120200100143解：記 A010 ， B001， C201，則 AXBC ，0020101201/ 200100A 101 0， B 10 01，001 / 2010114310011344020014202212001010

19、2x1x23x3x4123求非齊次線性方程組3x1x23x34x44的通解x15x 29 x38x40解：113111131111311( A, b)313 4404 6710467 11598004671000004 4124 44 06 3 51 03/2 3/45 / 40467 1046 7 10 13 / 27 / 41/ 4000000000000000，x153x33x44245/ 43 / 23/ 4x213x37x4，通解為1/ 4k3 / 2k7 / 4 ， k, k都是任意242401x3x30001x4x4常數(shù)24求向量組1(1,2, 1,4) ，2(9,100,10,

20、4) ，3( 2, 4,2, 8) 的秩和一個極大無關(guān)組192192192解： ( 1T,2T, 3T)2100415020410110211020190448112080192102010010，向量組的秩為2，1 , 2 是一個極大無關(guān)000000000000組21225已知 A5a3的一個特征向量(1,1, 1) T ，求 a, b 及 所對應1b2的特征值，并寫出對應于這個特征值的全部特征向量21211解：設(shè)是 所對應的特征值，則A，即 5a311，1b2111從而 a2，可得 a3 ， b0，1；b1對于1，解齊次方程組 ( EA) x0 ：212312101101E A533523

21、5 23022102101312011101x1x31011， x2x3 ，基礎(chǔ)解系為1，屬于1的全部特征向量為000 x3x3111 ， k 為任意非零實數(shù)1211226設(shè) A121a，試確定 a 使 r ( A)2 1122211211221122解： A12 1a2 1120332112 212 1a03 3 a 21122033 2 ， a0 時 r ( A) 2 000a四、證明題（本大題共1小題，6分）27若 1 ,2 ,3 是 Axb （ b0 ）的線性無關(guān)解，證明21 ,31 是對應齊次線性方程組Ax0 的線性無關(guān)解證：因為1 ,2 , 3 是 Axb 的解，所以21 ， 31

22、 是 Ax0的解；設(shè) k (21)k(31) 0，即 ( kk)1k12k230 ，由1,2,31212k1k 20線性無關(guān)，得k10，只有零解 k1k20 ，所以21,31 線性k 20無關(guān)全國 2011 年 1 月高等教育自學考試線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題課程代碼： 04184說明：本卷中， A-1表示方陣 A的逆矩陣， r ( A) 表示矩陣 A 的秩，（ ,）表示向量 與的內(nèi)積，E表示單位矩陣， | | 表示方陣A的行列式 .A一、單項選擇題（本大題共 10 小題，每小題2 分，共 20 分）設(shè)行列式A.12C.36a11a12a13a21a22a 23a31a32a 33=4，則行列式B

23、.24D.482a112a122a13a21a22a23=（）3a313a323a33設(shè)矩陣 A， B， C， X 為同階方陣，且 A， B 可逆， AXB=C，則矩陣 X=（）-1-1-1-1A.A CBB.CAB-1 -1C-1-1C.B AD.CB A3. 已知 A2+A- E=0，則矩陣 A-1 =（）A.A- EB.- A- EC. A+ED.- A+E4.設(shè) 1, 2,3 , 4 , 5 是四維向量，則（）A.1, 2, 3,4 , 5 一定線性無關(guān)B.1, 2, 3 , 4, 5一定線性相關(guān)C.5 一定可以由 1, 2, 3, 4 線性表示D. 1一定可以由2, 3,4, 5 線

24、性表出5. 設(shè) A 是 n 階方陣，若對任意的n 維向量 x 均滿足 Ax=0, 則（）A. A=0B. A=EC. r ( A)= nD.0 r ( A)( n)6. 設(shè) A 為 n 階方陣， r ( A) n，下列關(guān)于齊次線性方程組Ax=0的敘述正確的是（）A. Ax=0 只有零解B. Ax=0 的基礎(chǔ)解系含r ( A) 個解向量C. Ax=0 的基礎(chǔ)解系含n- r ( A) 個解向量 D. Ax=0 沒有解7. 設(shè)1,2是非齊次線性方程組=的兩個不同的解，則Ax b（）A. 12是 =的解B.Ax bC.31 22是=的解D.Ax b2 是 Ax=b 的解2 13 2 是 Ax=b 的解

25、3908. 設(shè)1 ，2， 3為矩陣 A= 045的三個特征值，則123 =002（）A.20B.24C.28D.309. 設(shè) P為正交矩陣，向量, 的內(nèi)積為（, ）=2，則（ P, P）=（）A. 1B.12C. 3D.2210. 二 次 型 f ( x1, x2, x3 )= x12x 22x322x1 x22x1 x3 2x 2 x3的 秩 為（）A.1B.2C.3D.4二、填空題（本大題共10 小題，每小題2 分，共 20 分）請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。11. 行列式 1 k22k 1=0，則 k=_.12.設(shè) A= 1 0 ， k 為正整數(shù)，則Ak=_.1設(shè) 2

26、 階可逆矩陣 A 的逆矩陣 A-1= 1 2 ，則矩陣34A=_.14.設(shè)向量=（ 6，-2 ，0，4）， =（ -3 ，1，5，7），向量滿足23 ，則 =_.15.設(shè)A 是 m n 矩 陣 ， Ax=0, 只 有零解 ， 則r ( A)=_.16.設(shè)1,2是齊次線性方程組Ax=0的兩個解，則（3172）A=_.實 數(shù) 向 量 空 間 V= （ x1 , x2, x3 ） | x1- x2+x3=0 的 維 數(shù) 是_.18.設(shè) 方陣A有一個特 征 值為0 ，則| A3|=_.19.設(shè)向量 1（ -1，1， -3 ），2（2，-1，）正交，則=_.20.設(shè) f ( x, x, x2222tx1

27、 x22x1 x3 是正定二次型， 則 t滿足123_.三、計算題（本大題共6 小題，每小題9 分，共 54 分）21.abc2a2a計算行列式2bbac2b2c2ccab22.設(shè)矩陣 A=112討論矩陣 A 的秩 .215 ，對參數(shù)1106123.131X=14求解矩陣方程2512500113123124. 求向量組： 12 ， 25 ， 31， 42 的一個極大線16172513性無關(guān)組，并將其余向量通過該極大線性無關(guān)組表示出來.25. 求齊次線性方程組解 .2x13x2x35 x403x1x22x34x40 的一個基礎(chǔ)解系及其通x12x23x3x4026.232的特征值和特征向量 .求矩

28、陣1822143四、證明題（本大題共1小題，6分）27.設(shè)向量1 ， 2， .,k 線性無關(guān)，1 . 證明：1+j ， 2 ，, kjk線性無關(guān) .全國 2011 年 1 月高等教育自學考試線性代數(shù)（經(jīng)管）試題參考答案課程代碼： 04184三、計算題解：原行列式全國 2011 年 4 月高等教育自學考試線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題課程代碼： 04184說明： AT 表示矩陣 A 的轉(zhuǎn)置矩陣， A* 表示矩陣 A 的伴隨矩陣， E 是單位矩陣， | A| 表示方陣 A 的行列式 .一、單項選擇題（本大題共10 小題，每小題2 分，共 20 分）在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其

29、代碼填寫在題后的括號內(nèi)。錯選、多選或未選均無分。1下列等式中，正確的是（）AB 3=C 5D2下列矩陣中，是初等矩陣的為（）ABCD3設(shè) A、 B 均為 n 階可逆矩陣，且 C=，則 C-1是（ABCD4設(shè) A 為 3 階矩陣， A的秩 r ( A)=3 ，則矩陣 A* 的秩 r (A 0B 1C 2D 3）A*)= （）5 設(shè) 向 量， 若 有 常 數(shù)a, b使，則（）A a=-1,b=-2B a=-1,b=2C a=1,b=-2D a=1,b=26向量組的極大線性無關(guān)組為（）ABCD7設(shè)矩陣 A=，那么矩陣A 的列向量組的秩為（）A 3B2C 1D08設(shè)是可逆矩陣A 的一個特征值，則矩陣有

30、一個特征值等于（）ABCD9設(shè)矩陣 A=，則 A的對應于特征值的特征向量為（）A（0， 0， 0）TB（0， 2，-1 ） TC（1， 0， -1 ） TD（0， 1，1）T10二次型 f (x1 , x2 , x3 )2x12x1x2x22 的矩陣為（）ABCD二、填空題（本大題共10 小題，每小題2 分，共 20 分）11行列式_.304012行列式 1111中第 4 行各元素的代數(shù)余子式之和為01005322_.13設(shè)矩陣 A=， B=（1， 2， 3），則 BA=_.14設(shè) 3 階方陣 A 的行列式 | A|= 1 ，則 | A3|=_.215設(shè) A，B 為 n 階方陣，且AB=E，A

31、-1 B=B-1 A=E，則 A2 +B2=_.16已知 3 維向量=（ 1，-3 ，3），（1，0，-1 ）則 +3 =_.17設(shè)向量=（ 1， 2， 3，4），則的單位化向量為 _.18設(shè) n 階矩陣 A 的各行元素之和均為0，且 A 的秩為 n-1 ，則齊次線性方程組 Ax=0 的通解為 _.19設(shè) 3 階矩陣 A 與 B 相似，若A 的特征值為 1,1,1，則行列式234| B-1 |=_.20設(shè) A=是正定矩陣，則a 的取值范圍為 _.三、計算題（本大題共6 小題，每小題9 分，共 54 分）21已知矩陣 A=， B=，求：（1）ATB；（2）| ATB|.22設(shè) A=， B=， C

32、=，且滿足 AXB=C，求矩陣 X.23求向量組=（ 1, 2, 1, 0） T，=（ 1, 1, 1, 2）T，=（3, 4, 3,4） T，=（4, 5, 6, 4）T 的秩與一個極大線性無關(guān)組 .x1x23x3x4124判斷線性方程組 2 x1x2x34 x42 是否有解，有解時求出它的解 .x14x35x4125已知 2 階矩陣 A 的特征值為=1， =9，對應的特征向量依次為=（-1 ， 1）T，=（ 7，1）T，求矩陣 A.26已知矩陣 A 相似于對角矩陣 =，求行列式 | A- E| 的值 .四、證明題（本大題共6 分）27設(shè) A為 n 階對稱矩陣， B為 n 階反對稱矩陣 .

33、證明：（1）AB- BA為對稱矩陣；（2）AB+BA為反對稱矩陣 .全國 2011 年 7 月高等教育自學考試線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題課程代碼： 04184說明：本卷中， AT 表示方陣A 的轉(zhuǎn)置鉅陣， A* 表示矩陣 A的伴隨矩陣， E表示單位矩陣， | A|表示方陣 A的行列式 .一、單項選擇題（本大題共10 小題，每小題2 分，共 20 分）1011設(shè)A 3 5 0 ，則AAT=（）041A -49B -7C 7D 492設(shè) A 為 3 階方陣，且 A4 ，則2A （）A -32B -8C 8D 323設(shè) A，B 為 n 階方陣， 且 AT=- A，BT=B，則下列命題正確的是 （）A（A

34、+B）T=A+BB（AB）T=- ABC A2 是對稱矩陣D B2+A 是對稱陣4設(shè) A， B， X， Y都是 n 階方陣，則下面等式正確的是（）A若 A2 =0，則 A=0B（ AB） 2=A2 B2C若 AX=AY，則 X=YD若 A+X=B，則 X=B- A11315設(shè)矩陣 A= 021400050000，則秩（ A） =（）A 1C 36若方程組B 2D 4kxz02xkyz0 僅有零解，則 k=（）kx2yz0A -2B -1C 0D 27實數(shù)向量空間 V=（x1， x2， x3） | x1 + x3=0 的維數(shù)是（）A 0B 1C 2D 3x12x 2x 318若方程組3x2x32

35、有無窮多解，則=x2x3 (3)(4) (2)（）A 1B 2C 3D 41009設(shè) A= 010，則下列矩陣中與A 相似的是（）002100110A 020B010001002100101C 011D02000200110設(shè)實二次型 f ( x1, x2 , x3 ) x22x32 ，則 f （）A正定B不定C負定D半正定二、填空題（本大題共10 小題，每小題2 分，共20 分）請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。TTT11設(shè) A=(-1,1,2) ， B=(0,2,3), 則 | AB|=_.12設(shè)三階矩陣 A1, 2 , 3 ，其中 i (i1,2,3) 為 A 的列向量，

36、 且 | A|=2 ，則12,2, 123_.01013設(shè) A a0c ，且秩 ( A)=3 ，則 a,b,c應滿足 _.b0123114矩陣 Q22 的逆矩陣是 _.132215三元方程 x1 +x3=1 的通解是 _.16已知 A 相似于10 ，則 | A- E|=_.0200117矩陣 A 010的特征值是 _.10018與矩陣 A12相似的對角矩陣是 _.21100，則 A419設(shè) A相似于010_.00120二次型 f ( x1 , x2, x3)= x1 x2 - x1x3+x2x3 的矩陣是 _.三、計算題（本大題共6 小題，每小題9 分，共 54 分）123421計算 4 階行

37、列式 D= 2341 .3412412310122設(shè) A= 02 0 ，而 X滿足 AX+E=A2 +X，求 X.1611253210123求向量組： 13 , 22, 37 , 45 的秩，并給出該向12532341量組的一個極大無關(guān)組，同時將其余的向量表示成該極大無關(guān)組的線性組合 .24當為何值時，齊次方程組x12x22x302x1x2x30有非零解？并求其全部3x1x2x30非零解 .25已知 1,1,-1 是三階實對稱矩陣A的三個特征值，向量 1(1,1,1)T 、2 (2, 2,1)T 是 A的對應于 12 1的特征向量，求 A的屬于31的特征向量 .26求正交變換Y=PX，化二次型

38、 f ( x1, x2, x3 )=2 x1x2+2x1x3-2 x2x3 為標準形 .四、證明題（本大題6 分）27設(shè)1，2， 3 線性無關(guān)，證明1，12 2，13 3 也線性無關(guān) .全國 2011 年 7 月高等教育自學考試線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題答案課程代碼： 04184全國 2011 年 10 月高等教育自學考試線性代數(shù) ( 經(jīng)管類 ) 試題課程代碼： 04184說明：在本卷中， AT 表示矩陣 A 的轉(zhuǎn)置矩陣， A* 表示矩陣 A 的伴隨矩陣，E 表示單位矩陣。A 表示方陣 A 的行列式， r( A) 表示矩陣 A 的秩。一、單項選擇題（本大題共10 小題，每小題2 分，共 20 分）

39、1.設(shè) 3階方陣 A 的行列式為2，則1()A2A.-1B.1C.1D.144x2x1x22.設(shè) f ( x) 2 x 2 2x12 x 2 , 則 方 程 f ( x )0的根的個數(shù)為3x23x23x 5（）A.0B.1C.2D.33.設(shè) A 為 n 階方陣，將A的第 1列與第 2列交換得到方陣B，若B ,則必有（）A.A0B.AB0C.A0D.AB04. 設(shè) A, B 是任意的 n 階方陣，下列命題中正確的是（）A. (AB)2A22AB B2B.(A B)(A B) A2B2C.(A E)(A E) (A E)(A E)D.(AB)2A2B2a1b1a1b2a1b35.設(shè) A a2 b1

40、a2b2a2b3 , 其中 ai0, bi0, i1,2,3, 則矩陣 A 的秩為a3 b1a3b2a3b3（）A.0B.1C.2D.36.設(shè) 6 階方陣 A 的秩為 4，則 A 的伴隨矩陣 A* 的秩為（）A.0B.2C.3D.47.設(shè)向量 =（ 1，-2 ，3）與 =（ 2，k，6）正交，則數(shù) k 為（）A.-10B.-4C.3D.10 x1x2x348.已知線性方程組x1ax2x33 無解，則數(shù) a=( )2 x12ax24A.1B.02C. 1D.129.設(shè) 3 階方陣 A的特征多項式為E A(2)( 3)2, 則 A()A.-18B.-6C.6D.1810. 若 3 階實對稱矩陣 A

41、(aij ) 是正定矩陣，則 A 的 3 個特征值可能為（）A.-1 ， -2 ， -3B.-1 ， -2 ，3C.-1 ，2，3D.1，2，3二、填空題（本大題共10 小題，每小題2 分，共 20 分）30411. 設(shè)行列式 D222 , 其第3 行各元素的代數(shù)余子式之和為532_.12.設(shè)Aaa, Bbb,則 AB_.aabb10313. 設(shè)A是43矩陣且r ( A ) B2 ,0則20,103r ( AB)_.向量組（ 1， 2） , （ 2， 3）（ 3， 4）的秩為 _.設(shè)線性無關(guān)的向量組 1，2， r 可由向量組 1， 2，, s線性表示，則 r 與 s 的關(guān)系為 _.x1x2x3

42、 016. 設(shè) 方 程 組x1x2x3 0有非零解，且數(shù)0, 則x1x2x3 0_.17.設(shè) 4元 線性 方程 組 Axb 的三 個解 1 ， 2 ， 3 ， 已知1 (1,2,3,4)T , 23(3,5,7,9)T , r( A) 3. 則 方 程 組 的 通 解 是_.設(shè) 3 階方陣 A 的秩為 2，且 A2 5A 0, 則 A 的全部特征值為_.21119. 設(shè)矩陣 A0a0有一個特征值2, 對應的特征向量為41312 , 則數(shù) a=_.220.設(shè)實二次型 f ( x1 , x2 , x3 )xT Ax, 已知 A 的特征值為 -1 ，1，2，則該二次型的規(guī)范形為 _.三、計算題（本大

43、題共6 小題，每小題9 分，共54 分）21.設(shè)矩陣A (, 22 ,33), B(,2, 3), 其中, , 2, 3均為 3維列向量，且A 18,B求AB .2.111011122.解矩陣方程022X1011 .1104321設(shè)向量組 1=（1， 1， 1， 3） T， 2=（ -1 ， -3 ，5，1） T， 3=（ 3，2，-1 ，p+2） T， 4=（3， 2， -1 ， p+2） T 問 p 為何值時，該向量組線性相關(guān)？并在此時求出它的秩和一個極大無關(guān)組.2x1x2x3124. 設(shè) 3 元線性方程組x1x2x32,4x15x25x311）確定當 取何值時，方程組有惟一解、無解、有無

44、窮多解？2）當方程組有無窮多解時，求出該方程組的通解（要求用其一個特解和導出組的基礎(chǔ)解系表示） .25. 已知 2 階方陣 A 的特征值為 11及 21,方陣 BA2.3（ 1）求 B 的特征值；（2）求 B 的行列式 .26. 用配方法化二次型f ( x1 , x2 , x3 )x122x222x324x1 x212x2 x3 為標準形，并寫出所作的可逆線性變換.四、證明題 ( 本題 6 分)設(shè) A 是 3 階反對稱矩陣，證明 A 0.全國 2012 年 1 月自考線性代數(shù) ( 經(jīng)管類 ) 試題課程代碼： 04184說明：本卷中， A-1 表示方陣A 的逆矩陣， r ( A) 表示矩陣 A的

45、秩， | |表示向量的長度，T 表示向量 的轉(zhuǎn)置， E 表示單位矩陣， | A|表示方陣A 的行列式 .一、單項選擇題（本大題共 10 小題，每小題2 分，共 20 分）a11a12a133a113a123a131設(shè)行列式 a21a22a23=2，則a31a32a33 =（）a31a32a33a21 a31a22 a32a23 a33A-6B-3C3 D62設(shè)矩陣A， X 為同階方陣，且A 可逆，若A（X- E） =E，則矩陣X=（）A E+A-1B E- A C E+A DE- A-13設(shè)矩陣 A， B 均為可逆方陣，則以下結(jié)論正確的是（）AA可逆，且其逆為BCA可逆，且其逆為BA-1B-1

46、A-1B-1B -1A-1BDA不可逆BA可逆，且其逆為B4設(shè)1 ，2 ，k 是n 維列向量，則1，2，k 線性無關(guān)的充分必要條件是（）A向量組1 ，2 ，k 中任意兩個向量線性無關(guān)B存在一組不全為0 的數(shù) l 1，l 2 ， l k，使得 l 11 +l 22+l kk 0C向量組1，2，k 中存在一個向量不能由其余向量線性表示D向量組1，2，k 中任意一個向量都不能由其余向量線性表示5已知向量 2(1, 2,2, 1)T ,32(1, 4, 3,0) T , 則=（）A（0，-2 ， -1 ，1）TB（-2 ，0， -1 ， 1） TC（1，-1 ， -2 ，0）TD（2， -6 ， -5

47、 ， -1 ）T6實數(shù)向量空間 V=( x,y,z)|3 x+2y+5z=0 的維數(shù)是（）A1 B 2C 3D 47設(shè) 是非齊次線性方程組Ax=b 的解， 是其導出組 Ax=0 的解，則以下結(jié)論正確的是（）A+是 Ax=0 的解B +是 Ax=b 的解C-是 Ax=b 的解D -是 Ax=0 的解8設(shè)三階方陣 A 的特征值分別為1,1,3 ，則 A-1 的特征值為（）24A 2,4, 1B 1,1,1C 1,1,3D 2,4,33243249設(shè)矩陣 A=1，則與矩陣 A 相似的矩陣是（2）11101A12B 103221C1D21110以下關(guān)于正定矩陣敘述正確的是（）A正定矩陣的乘積一定是正定

48、矩陣B正定矩陣的行列式一定小于零C正定矩陣的行列式一定大于零D正定矩陣的差一定是正定矩陣二、填空題 （本大題共 10 小題，每空 2 分，共 20 分）請在每小題的空格中填上正確答案，錯填、不填均無分。11設(shè) det ( A)=-1 ， det (B)=2 ，且 A， B 為同階方陣，則det( AB) 3 )=_ 122B12設(shè) 3 階矩陣 = 4t3 ，為 3 階非零矩陣，且=0，則AAB311t =_13設(shè)方陣 A 滿足 Ak=E，這里k 為正整數(shù)，則矩陣A 的逆A-1 =_14實向量空間 Rn 的維數(shù)是 _15設(shè) A是 mn 矩陣， r ( A)= r , 則 Ax=0 的基礎(chǔ)解系中含

49、解向量的個數(shù)為 _16非齊次線性方程組Ax=b 有解的充分必要條件是 _17設(shè) 是齊次線性方程組Ax=0 的解，而 是非齊次線性方程組Ax=b的解，則 A(32) =_18設(shè)方陣 A有一個特征值為8，則 det （-8 E+A） =_19設(shè) P 為 n 階正交矩陣，x 是 n 維單位長的列向量，則| Px|=_ 20二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) x125x226 x324x1 x2 2x1 x3 2 x2 x3 的正慣性指數(shù)是_三、計算題 （本大題共 6 小題，每小題9 分，共 54 分）111221計算行列式1141 24611242222設(shè)矩陣 A= 3-1-1-1，且矩陣

50、 B 滿足 ABA=4A+BA ，求矩陣 B523設(shè)向量組 1 (3,1,2,0),2 (0,7,1,3), 3 ( 1,2,0,1),4 (6,9,4,3), 求其一個極大線性無關(guān)組，并將其余向量通過極大線性無關(guān)組表示出來14324設(shè)三階矩陣A= 253 ，求矩陣A 的特征值和特征向量24225求下列齊次線性方程組的通解2242026求矩陣 A= 30611 的秩0300111210四、證明題 （本大題共 1 小題， 6 分）a11a12a1327設(shè)三階矩陣 A= a21a22a23a31a32a33a11a12a131a21, 2a22, 3a23a31a32a33的行列式不等于0，證明：

51、線性無關(guān)全國 2012 年 4 月高等教育自學考試線性代數(shù) ( 經(jīng)管類 ) 試題課程代碼： 04184說明：在本卷中,AT 表示矩陣 A 的轉(zhuǎn)置矩陣， A* 表示矩陣 A 的伴隨矩陣，E 是單位矩陣， | A| 表示方陣 A 的行列式， r (A) 表示矩陣 A 的秩 .一、單項選擇題（本大題共10 小題，每小題2 分，共 20 分）a11a12a13a112a123a131. 設(shè)行列式 a21a22a23=2, 則a212a223a23=(D)a31a32a33a312a323a33A.-12B.-6C.6D.121202. 設(shè)矩陣 A= 120, 則 A*中位于第 1 行第 2列的元素是

52、(A )003A.-6B.-3C.3D.63.設(shè) A為 3階矩陣，且 |A|=3，則 ( A)1 =( B )A. 3B.1C. 1D.3334.已知 4 3 矩陣 A 的列向量組線性無關(guān)，則AT的秩等于 ( C )A.1B.2C.3D.41005.設(shè)A為3階矩陣,P= 210, 則用 P左乘 A，相當于將 A( A )001A.第 1行的 2倍加到第2 行B.第 1列的 2倍加到第2 列C.第 2行的 2倍加到第1 行D.第 2列的 2倍加到第1 列6.齊次線性方程組x12x2 3x30 的基礎(chǔ)解系所含解向量的個數(shù)為x2 +x3x4 = 0(B )A.1B.2C.3D.47.設(shè) 4 階矩陣

53、A的秩為 3，1，2 為非齊次線性方程組 Ax =b 的兩個不同的解， c 為任意常數(shù)，則該方程組的通解為( A)A. 1c 12B.1 2c 1C. 1 c 12D. 12c 122228.設(shè) A 是 n 階方陣，且 |5 A+3E|=0 ，則 A 必有一個特征值為 (B )A.5B.3C.3D. 535531009.若矩陣 A 與對角矩陣 D=010相似，則 A3=( C)001A. EB. DC. AD.- E10. 二次型 f22x22是( D )123( x1, x2 , x3 ) =3xxA. 正定的B. 負定的C. 半正定的D. 不定的二、填空題（本大題共10 小題，每小題2 分

54、，共 20 分）11111. 行列式 246 =_16_.4163600110012. 設(shè) 3 階矩陣 A的秩為 2，矩陣 P= 010， Q=010，若矩陣100101B=QAP,則 r (B) =_2_.13. 設(shè)矩陣 A=14 ，B=48，則 AB=_.141214.向量組1=(1,1,1,1),2=(1,2,3,4),3 =(0,1,2,3) 的 秩 為_2_.15.設(shè) 1 , 2 是 5 元 齊 次 線 性 方 程 組 Ax =0 的 基 礎(chǔ) 解 系 ， 則r (A) =_3_.16.非 齊 次 線 性 方 程 組 Ax =b的增廣矩陣經(jīng)初等行變換化為1000201002，0012-

55、2則方程組的通解是_.17.設(shè) A 為3 階矩陣，若A 的三個特征值分別為1， 2， 3，則| A|=_6_.設(shè) A 為 3 階矩陣，且 | A|=6 ，若 A 的一個特征值為 2，則 A* 必有一個特征值為_3_.19. 二次型f (x1 , x2 , x3 )= x12x223x32 的正慣性指數(shù)為_2_.20. 二次型f (x1 , x2 , x3 )= x122x222x324x2 x3經(jīng)正交變換可化為標準形.三、計算題（本大題共6 小題，每小題9 分，共 54 分）3512453321. 計算行列式 D =2011203413022. 設(shè) A= 210，矩陣 X 滿足關(guān)系式A+X=X

56、A,求 X.00223.設(shè) ，均為4維列向量，=（，）和=234234AB（，2，3，4）為 4 階方陣 . 若行列式 |=4 ，|=1 ，求行列式 |ABA+B的值 .24.已知向量組1 =(1,2,1,1) T,2 =(2,0, t ,0) T,3 =(0, 4,5,2) T, 4 =(3,2,t+4,-1) T（其中 t 為參數(shù)），求向量組的秩和一個極大無關(guān)組 .x1x22x3x4325. 求線性方程組 x12x2x3x42的通解 .2x1x25x34x47（要求用它的一個特解和導出組的基礎(chǔ)解系表示）26. 已知向量1 = (1,1,1)T，求向量2， 3 , 使 1，2， 3 兩兩正交 .四、證明題（本題6 分）27. 設(shè) A為 m n 實矩陣， ATA 為正定矩陣 . 證明：線性方程組 Ax =0 只有零解 .全國 2012 年 7 月自考線性代數(shù) ( 經(jīng)管類 ) 試題課程代碼 :04184國 2012 年 10 月自考 線性代數(shù) ( 經(jīng)管類 ) 試題課程代碼： 04184說明：本卷中，A-1 表示方陣A的逆矩陣， r ( A) 表示矩陣 A 的秩， | |表示向量的長度，T 表示向