初等數(shù)學(xué)研究1自然數(shù)基數(shù)理論課件

1、初等數(shù)學(xué)研究第一講自然數(shù)初等數(shù)學(xué)研究第一講自然數(shù)自然數(shù)的基數(shù)理論與序數(shù)理論第一節(jié) 人類認(rèn)識和表達(dá)自然數(shù)的歷史第二節(jié) 自然數(shù)的基數(shù)理論和序數(shù)理論第三節(jié) 數(shù)學(xué)歸納法自然數(shù)的基數(shù)理論與序數(shù)理論第一節(jié) 人類認(rèn)識和表達(dá)自然數(shù)的人類認(rèn)識和表達(dá)自然數(shù)的歷史自然數(shù)的基數(shù)理論和序數(shù)理論怎樣定義自然數(shù)怎樣定義自然數(shù)的大小關(guān)系怎樣定義自然數(shù)的加法和乘法自然數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)人類認(rèn)識和表達(dá)自然數(shù)的歷史數(shù)、十進(jìn)制、位值制中國數(shù)字春秋時(shí)期創(chuàng)造了算籌計(jì)數(shù)法，表示數(shù)目一到九的算籌有縱橫兩種形式：縱式 橫式 在表示多位數(shù)時(shí)，順序是從右向左，一縱一橫，遇有零數(shù)則空著不放籌 325107應(yīng)擺成算盤羅馬數(shù)字 每個(gè)符號與它所在的位置無關(guān) X

2、 L C D M XXIII 十 五十 一百 五百 一千 二十三 兩個(gè)羅馬數(shù)字相加，須先合并再化簡 希臘數(shù)字 數(shù)字單詞 J K L M N P S T X Z & XPE 10 20 30 40 50 70 100 200 600 800 900 675數(shù)、十進(jìn)制、位值制中國數(shù)字代數(shù)學(xué)在代數(shù)學(xué)的早期歷史上，中國有不少成果九章算術(shù)有正負(fù)數(shù)加減法則，正系數(shù)的二次方程的數(shù)值解法唐初有正系數(shù)的三次方程的數(shù)值解法宋有高次多項(xiàng)式方程的一般數(shù)值解法金、元提出了根據(jù)應(yīng)用問題條件列方程解方程的天元術(shù)元給出了高階等差級數(shù)論和多元聯(lián)立方程組解法代數(shù)學(xué)在代數(shù)學(xué)的早期歷史上，中國有不少成果中小學(xué)數(shù)的教學(xué)安排第一學(xué)段（1

3、-3年級）：認(rèn)識萬以 內(nèi)的數(shù)、小數(shù)、簡單的 分?jǐn)?shù)和常見的量第二學(xué)段（4-6年級）：認(rèn)識億以內(nèi)的數(shù)，了解分?jǐn)?shù)、百分 數(shù)、負(fù)數(shù)的意義、字母表示數(shù)第三學(xué)段（7-9年級）：認(rèn)識有理數(shù)、實(shí)數(shù)高中文、理選修：數(shù)系擴(kuò)充與復(fù)數(shù)中小學(xué)數(shù)的教學(xué)安排第一學(xué)段（1-3年級）：認(rèn)識萬以 內(nèi)的數(shù)、數(shù)系的擴(kuò)展數(shù)的歷史發(fā)展（添加法）自然數(shù) 添正分?jǐn)?shù)正有理數(shù) 添零非負(fù)有理數(shù) 添負(fù)數(shù)有理數(shù) 添無理數(shù)實(shí)數(shù) 添虛數(shù)復(fù)數(shù) 實(shí)際上是交錯(cuò)發(fā)展的數(shù)的理論架構(gòu)（邏輯構(gòu)造法）有了自然數(shù)集，可以構(gòu)造整數(shù)集（自然數(shù)對） 可以構(gòu)造有理數(shù)集 可以構(gòu)造實(shí)數(shù)集 可以構(gòu)造復(fù)數(shù)集 數(shù)系的擴(kuò)展數(shù)的歷史發(fā)展（添加法）自然數(shù)的兩種作用計(jì)數(shù)（有幾個(gè)） 自然數(shù)的康托爾基

4、數(shù)理論排序（第幾個(gè)） 自然數(shù)的皮亞諾序數(shù)理論自然數(shù)的兩種作用計(jì)數(shù)（有幾個(gè)）自然數(shù)的基數(shù)定義怎樣定義自然數(shù)？“表示物體個(gè)數(shù)的一種數(shù)”？物體：集合（具有某種屬性的一些對象組成的一個(gè)整體）個(gè)數(shù)：基數(shù)（等價(jià)集合在數(shù)量上所具有的共同特征）非空有限集的基數(shù)叫做自然數(shù)，所有等價(jià)于 的集合的基數(shù)，用符號“1”表示，即 1“5”是什么？五只羊的集合、a,b,c,d,e等都是等價(jià)的集合，這類集合的基數(shù)就是5自然數(shù)的基數(shù)定義怎樣定義自然數(shù)？非空有限集的基數(shù)叫做自然數(shù)，定義自然數(shù)的大小關(guān)系 集合間的包含關(guān)系兩個(gè)自然數(shù)： a b 非空有限集的基數(shù)定義自然數(shù)的大小關(guān)系 大小關(guān)系的定義如果非空有限集A、B的基數(shù)分別是a、b

5、，A、B分別是A、B的真子集，那么當(dāng)AB時(shí)，就說 ab當(dāng)AB B時(shí)，就說 ab大小關(guān)系的定義如果非空有限集A、B的基數(shù)分別是a、b，A、自然數(shù)大小關(guān)系的性質(zhì)定理：自然數(shù)的相等關(guān)系具有反身性、對稱性、傳遞性；自然數(shù)的順序關(guān)系具有全序性、對逆性、傳遞性 證明等價(jià)關(guān)系、集合的性質(zhì)自然數(shù)大小關(guān)系的性質(zhì)定理：自然數(shù)的相等關(guān)系具有反身性、對稱性 2)對任何a，b，c N，若ab，bc，則ac 2)對任何a，b，c N，若ab，bc，定義自然數(shù)的加法和乘法 不交的集合的并 并集的基數(shù)a + b = c非空有限集的基數(shù) b個(gè)兩兩不交的等價(jià)集合的并 并集的基數(shù)a b = c定義自然數(shù)的加法和乘法 自然數(shù)的加法和

6、乘法定義如果非空有限集A、B的基數(shù)分別是a、b，且 那么a+b=c設(shè)Ai（i1，2，b）是b個(gè)兩兩不交的等價(jià)集合，它們的基數(shù)都是a，且 那么，ab=c 因?yàn)閎1,所以補(bǔ)充規(guī)定a1=a 自然數(shù)的加法和乘法定義如果非空有限集A、B的基數(shù)分別是a、b11個(gè)運(yùn)算定律（1）加法有五個(gè)基本定律：1a+b 仍然為一個(gè)數(shù)，即正數(shù)加正數(shù)總是可能的2a+b是單值的3結(jié)合律成立：(a+b)+ca+(b+c)因此完全可以脫去括號4. 交換律成立: a+bb+a5. 單調(diào)律成立: 若證明70+14=70+(10+4)=(70+10)+4=80+48411個(gè)運(yùn)算定律（1）加法有五個(gè)基本定律：證明70+14=7011個(gè)運(yùn)算

7、定律（2）乘法有六個(gè)基本定律：1ab仍然為一個(gè)數(shù)2ab是單值的3結(jié)合律：a(bc)(ab)c=abc4交換律：abba5. 單調(diào)性定律：若ac，則abbc6分配律:a(b+c)ab+ac證明緊扣定義借用集合的運(yùn)算律712=7(10+2)70+14證明11個(gè)運(yùn)算定律（2）乘法有六個(gè)基本定律：證明緊扣定義712自然數(shù)加法有單調(diào)律設(shè)a、b、c分別是非空有限集A、B、C的基數(shù)，且 由已知，AB ，或者存在非空有限集B，使ABB.當(dāng)AB時(shí)，當(dāng)ABB時(shí)，顯然自然數(shù)加法有單調(diào)律設(shè)a、b、c分別是非空有限集A、B、C的基排序：自然數(shù)的序數(shù)理論該理論是從自然數(shù)列構(gòu)成的特點(diǎn)中抽象出來的只有一個(gè)數(shù)不跟隨任何其他的數(shù)

8、，它就是1在每一個(gè)數(shù)的后面都緊跟著唯一的一個(gè)數(shù)除了1以外，每一個(gè)數(shù)都有唯一的一個(gè)先行的數(shù)沒有兩個(gè)相等的數(shù)排序：自然數(shù)的序數(shù)理論該理論是從自然數(shù)列構(gòu)成的特點(diǎn)中抽象出來自然數(shù)的序數(shù)定義（皮亞諾定義）如果有一個(gè)集合N，在它的元素間有一個(gè)基本關(guān)系“后繼”（用符號或表示），并滿足下列公理，那么這個(gè)集合N的元素叫做自然數(shù)：“5”是什么？是滿足上述五條公理的一個(gè)集合的元素，排在1后面后面后面的后面自然數(shù)的序數(shù)定義（皮亞諾定義）如果有一個(gè)集合N，在它的元素間定義自然數(shù)的加法和乘法加數(shù)是1還是某一個(gè)自然數(shù)b的后繼自然數(shù)1還是自然數(shù)某一個(gè)自然數(shù)b的后繼222+1后繼2221定義自然數(shù)的加法和乘法加數(shù)是1還是某一個(gè)

9、自然數(shù)b的后繼22為什么 235？為什么236？為什么 235？為什么236？證明自然數(shù)的乘法交換律用基數(shù)理論證明用序數(shù)理論證明設(shè)使abba成立的所有a組成的集合為M，1M假定a M，則a M，即a bb a 所以MN左右是等價(jià)的集合a b = b ab個(gè)兩兩不交的基數(shù)為a的集合的并集a個(gè)兩兩不交的基數(shù)為b的集合的并集證明自然數(shù)的乘法交換律用基數(shù)理論證明左右是等價(jià)的集合定義自然數(shù)的大小關(guān)系“相等”在自然數(shù)定義中已經(jīng)說明若a與b相同，則ab“大于”借助加法定義若a，bN，且存在k N，使得abk，則稱ab，也說ba定義自然數(shù)的大小關(guān)系“相等”在自然數(shù)定義中已經(jīng)說明證明自然數(shù)的全序性對任何a，b

10、N，在ab中有且只有一個(gè)成立有：取定a，設(shè)使它們總有一個(gè)成立的一切b組成的集合為M，說明1M假定b M，則b M （分三種情況都有b M ）只有一個(gè)轉(zhuǎn)化為至多有一個(gè)：反證：若ab, a=b同時(shí)成立，推出矛盾。同理拿其他兩個(gè)也不行。緊扣歸納公理證明自然數(shù)的全序性對任何a，b N，在ab, a=b, 用序數(shù)理論證11個(gè)運(yùn)算定律練一練證明：加法結(jié)合律 a+(b+c)=(a+b)+c用序數(shù)理論證11個(gè)運(yùn)算定律練一練自然數(shù)集的其他幾個(gè)性質(zhì)自然數(shù)集的離散性：在任意兩個(gè)相繼的自然數(shù)a與a之間不存在自然數(shù)b，使aba+ 反證 ab 任何一個(gè) 確定的數(shù)b，使用任何一個(gè)單位a去度量它，總是可以在經(jīng)過n次度量之后，

11、得到的na大于b 最小數(shù)原理:自然數(shù)集的任一非空子集中必存在一個(gè)最小數(shù) 最小數(shù)原理與歸納公理等價(jià)自然數(shù)集的其他幾個(gè)性質(zhì)自然數(shù)集的離散性：在任意兩個(gè)相繼的自然歸納公理最小數(shù)原理（反證）假設(shè)自然數(shù)集N有一個(gè)非空子集A，A中沒有最小數(shù)，所以1肯定不屬于A；令所有小于A中任何一個(gè)數(shù)的自然數(shù)組成的集合為M，設(shè)法證MN；1M，若m M，要證m M（反證）假設(shè)m不屬于M，設(shè)法證m也不屬于M，即在A中找到比m小的數(shù)因?yàn)锳非空，有一個(gè)元素t，tt 矛盾。歸納公理最小數(shù)原理（反證）假設(shè)自然數(shù)集N有一個(gè)非空子集A，最小數(shù)原理歸納公理設(shè)（反證）若M不是N，令B是NM，所以B是N的非空子集，有最小數(shù)b，b不能屬于M，所以b不是1，是某一個(gè)自然數(shù)c的后繼，所以cb，c不能屬于B，屬于M，根據(jù)歸納公理?xiàng)l件，所以c的后繼（b）屬于M，這與b不屬于M矛盾最小數(shù)原理歸納公理設(shè)擴(kuò)大的自然數(shù)集：含0在基數(shù)理論中，把空集的基數(shù)定義為“零”，在序數(shù)理論中把“零”作為1的先行數(shù)，這樣便構(gòu)成了擴(kuò)大的自然數(shù)集。贊成：0并不難接受；加進(jìn)去不難，也說得通；聯(lián)系正負(fù)數(shù)的橋梁，序關(guān)系