定積分在物理的應(yīng)用課件

1、第三節(jié)一、變力沿直線所作的功二、液體的側(cè)壓力三、引力問題*四、轉(zhuǎn)動慣量 (補(bǔ)充)定積分在物理學(xué)上的應(yīng)用 第六章 下頁第三節(jié)一、變力沿直線所作的功二、液體的側(cè)壓力三、引力問題*四一、變力沿直線所作的功設(shè)物體在連續(xù)變力 F(x) 作用下沿 x 軸從 x a 移動到力的方向與運(yùn)動方向平行,求變力所做的功.在其上所作的功元素為因此變力F(x) 在區(qū)間 上所作的功為下頁一、變力沿直線所作的功設(shè)物體在連續(xù)變力 F(x) 作用下沿 例1.一個(gè)單求電場力所作的功. 解:當(dāng)單位正電荷距離原點(diǎn) r 時(shí),由庫侖定律電場力為則功的元素為所求功為說明:位正電荷沿直線從距離點(diǎn)電荷 a 處移動到 b 處 (a b) , 在

2、一個(gè)帶 +q 電荷所產(chǎn)生的電場作用下, 下頁庫侖定律例1.一個(gè)單求電場力所作的功. 解:當(dāng)單位正電荷距離原點(diǎn) r庫侖定律返回真空中兩個(gè)靜止的點(diǎn)電荷之間的作用力,與這兩個(gè)電荷所帶電量的乘積成正比,與它們距離的平方成反比.作用力的方向沿著這兩個(gè)點(diǎn)電荷的連線,同性電荷相斥, 異性電荷相吸.庫侖定律返回真空中兩個(gè)靜止的點(diǎn)電荷之間的作用力,與這兩個(gè)電荷例2.體, 求移動過程中氣體壓力所解:由于氣體的膨脹, 把容器中的一個(gè)面積為S 的活塞從點(diǎn) a 處移動到點(diǎn) b 處 (如圖), 作的功.建立坐標(biāo)系如圖.由波義耳馬略特定律知壓強(qiáng) p 與體積 V 成反比, 即功元素為故作用在活塞上的所求功為力為在底面積為 S

3、 的圓柱形容器中盛有一定量的氣 下頁例2.體, 求移動過程中氣體壓力所解:由于氣體的膨脹, 把容例3.試問要把桶中的水全部吸出需作多少功 ? 解: 建立坐標(biāo)系如圖.在任一小區(qū)間上的一薄層水的重力為這薄層水吸出桶外所作的功(功元素)為故所求功為( KJ )設(shè)水的密度為(KN)一蓄滿水的圓柱形水桶高為 5m, 底圓半徑為3m, 下頁例3.試問要把桶中的水全部吸出需作多少功 ? 解: 建立面積為 A 的平板二、液體的側(cè)壓力設(shè)液體密度為 深為 h 處的壓強(qiáng): 當(dāng)平板與水面平行時(shí), 當(dāng)平板不與水面平行時(shí),所受側(cè)壓力問題就需用積分解決.平板一側(cè)所受的壓力為下頁面積為 A 的平板二、液體的側(cè)壓力設(shè)液體密度為

4、 深為 h 小窄條上各點(diǎn)的壓強(qiáng)例4. 的液體, 求桶的一個(gè)端面所受的側(cè)壓力. 解: 建立坐標(biāo)系如圖.所論半圓的利用對稱性, 側(cè)壓力元素端面所受側(cè)壓力為方程為一水平橫放的半徑為R 的圓桶, 內(nèi)盛半桶密度為 下頁小窄條上各點(diǎn)的壓強(qiáng)例4. 的液體, 求桶的一個(gè)端面所受的說明:當(dāng)桶內(nèi)充滿液體時(shí),小窄條上的壓強(qiáng)為側(cè)壓力元素故端面所受側(cè)壓力為奇函數(shù)下頁說明:當(dāng)桶內(nèi)充滿液體時(shí),小窄條上的壓強(qiáng)為側(cè)壓力元素故端面所受三、引力問題質(zhì)量分別為的質(zhì)點(diǎn), 相距 r,二者間的引力為大小:方向:沿兩質(zhì)點(diǎn)的連線若考慮物體對質(zhì)點(diǎn)的引力, 則需用積分解決.下頁三、引力問題質(zhì)量分別為的質(zhì)點(diǎn), 相距 r,二者間的引力為大小例5.設(shè)有

5、一長度為 l, 線密度為 的均勻細(xì)直棒,其中垂線上距 a 單位處有一質(zhì)量為 m 的質(zhì)點(diǎn) M,該棒對質(zhì)點(diǎn)的引力.解: 建立坐標(biāo)系如圖.細(xì)棒上小段對質(zhì)點(diǎn)的引力大小為故鉛直分力元素為在試計(jì)算下頁例5.設(shè)有一長度為 l, 線密度為 的均勻細(xì)直棒,其(利用對稱性)棒對質(zhì)點(diǎn)引力的水平分力故棒對質(zhì)點(diǎn)的引力大小為棒對質(zhì)點(diǎn)的引力的鉛直分力為 下頁P(yáng)363(20)(利用對稱性)棒對質(zhì)點(diǎn)引力的水平分力故棒對質(zhì)點(diǎn)的引力大小為棒說明:2) 若考慮質(zhì)點(diǎn)克服引力沿 y 軸從 a 處1) 當(dāng)細(xì)棒很長時(shí), 可視 l 為無窮大,此時(shí)引力大小為方向與細(xì)棒垂直且指向細(xì)棒.移到 b (a b) 處時(shí)克服引力作的功,則有下頁說明:2)

6、若考慮質(zhì)點(diǎn)克服引力沿 y 軸從 a 處1) 當(dāng)細(xì)引力大小為注意正負(fù)號3) 當(dāng)質(zhì)點(diǎn)位于棒的左端點(diǎn)垂線上時(shí), 下頁引力大小為注意正負(fù)號3) 當(dāng)質(zhì)點(diǎn)位于棒的左端點(diǎn)垂線上時(shí), 質(zhì)量為 m 的質(zhì)點(diǎn)關(guān)于軸 l 的轉(zhuǎn)動慣量為的質(zhì)點(diǎn)系若考慮物體的轉(zhuǎn)動慣量, 則需用積分解決.關(guān)于軸 l 的轉(zhuǎn)動慣量為下頁*四、轉(zhuǎn)動慣量 (補(bǔ)充)質(zhì)量為 m 的質(zhì)點(diǎn)關(guān)于軸 l 的轉(zhuǎn)動慣量為的質(zhì)點(diǎn)系若考慮物體例6.(1) 求圓盤對通過中心與其垂直的軸的轉(zhuǎn)動慣量;(2) 求圓盤對直徑所在軸的轉(zhuǎn)動慣量.解: (1) 建立坐標(biāo)系如圖.設(shè)圓盤面密度為 .小圓環(huán)質(zhì)量對應(yīng)于的小圓環(huán)對軸 l 的轉(zhuǎn)動慣量為故圓盤對軸 l 的轉(zhuǎn)動慣量為設(shè)有一個(gè)半徑為

7、R , 質(zhì)量為 M 的均勻圓盤, 下頁例6.(1) 求圓盤對通過中心與其垂直的軸的轉(zhuǎn)動慣量;(2)平行 y 軸的細(xì)條關(guān)于 y 軸的轉(zhuǎn)動慣量元素為細(xì)條質(zhì)量故圓盤對y 軸的轉(zhuǎn)動慣量為(2) 取旋轉(zhuǎn)軸為 y 軸, 建立坐標(biāo)系如圖.下頁平行 y 軸的細(xì)條關(guān)于 y 軸的轉(zhuǎn)動慣量元素為細(xì)條質(zhì)量故圓盤內(nèi)容小結(jié)(1) 先用元素法求出它的微分表達(dá)式 dQ一般元素的幾何形狀有:扇, 片, 殼 等.(2) 然后用定積分來表示整體量 Q , 并計(jì)算之. 1.用定積分求一個(gè)分布在某區(qū)間上的整體量 Q 的步驟:2.定積分的物理應(yīng)用:變力作功;側(cè)壓力;引力;轉(zhuǎn)動慣量等.條, 段, 環(huán), 帶,下頁作業(yè): P291 2; 3;

8、 5; 9; 12內(nèi)容小結(jié)(1) 先用元素法求出它的微分表達(dá)式 dQ一般元素(1999考研)思考與練習(xí)提示: 作 x 軸如圖.1.為清除井底污泥, 用纜繩將抓斗放入井底, 泥后提出井口,纜繩每在提升過程中污泥以20N/s 的速度從抓斗縫隙中漏掉,現(xiàn)將抓起污泥的抓斗提升到井口,抓斗抓起的污泥重2000N,提升速度為3m/s , 問克服重力需作多少焦耳( J ) 功?已知井深30m,抓斗自重400N, 將抓起污泥的抓斗由抓起污x 提升 dx 所作的功可分為三部分: 米重50N,下頁(1999考研)思考與練習(xí)提示: 作 x 軸如圖.1.為清除提升抓斗中的污泥:井深 30 m, 抓斗自重 400 N,

9、 纜繩每米重50N, 抓斗抓起的污泥重 2000N, 提升速度為3m/s, 污泥以 20N/s的速度從抓斗縫隙中漏掉克服纜繩重:抓斗升至 x 處所需時(shí)間 :克服抓斗自重: 下頁提升抓斗中的污泥:井深 30 m, 抓斗自重 400 N, 2. 設(shè)星形線上每一點(diǎn)處線密度的大小等于該點(diǎn)到原點(diǎn)距離的立方,提示: 如圖.在點(diǎn)O 處有一單 位質(zhì)點(diǎn),求星形線在第一象限的弧段對這質(zhì)點(diǎn)的引力.下頁2. 設(shè)星形線上每一點(diǎn)處線密度的大小等于該點(diǎn)到原點(diǎn)距離的立方同理故星形線在第一象限的弧段對該質(zhì)點(diǎn)的引力大小為結(jié)束同理故星形線在第一象限的弧段對該質(zhì)點(diǎn)的引力大小為結(jié)束銳角 取多大時(shí), 薄板所受的壓力 P 最大.備用題斜邊為定長的直角三角形薄板, 垂直放置于解: