北京版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)專題8.4直線、平面垂直的判定與性質(zhì)（講解練）教學(xué)講練

1、8.4直線、平面垂直的判定與性質(zhì)數(shù)學(xué) 北京專用考點(diǎn)直線、平面垂直的判定與性質(zhì)考點(diǎn)清單考向基礎(chǔ)1.線面垂直的判定與性質(zhì)類別文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直(即線線垂直線面垂直)l如果兩條平行直線中的一條垂直于一個(gè)平面,那么另一條也垂直于這個(gè)平面b性質(zhì)如果一條直線和一個(gè)平面垂直,則這條直線垂直于平面內(nèi)任意一條直線(即線面垂直線線垂直)ab垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行ab類別文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定兩個(gè)平面相交,如果它們所成的二面角是直二面角,就說這兩個(gè)平面互相垂直AOB是二面角-l-的平面角,且AOB=90,則如果一個(gè)平面過另一個(gè)

2、平面的垂線,則這兩個(gè)平面互相垂直(即線面垂直面面垂直)2.面面垂直的判定與性質(zhì)性質(zhì)如果兩個(gè)平面垂直,則其中一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個(gè)平面(即面面垂直線面垂直)l如果兩個(gè)相交平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面,那么它們的交線垂直于第三個(gè)平面l考向突破考向一線面垂直的判定與性質(zhì)的應(yīng)用例1(2017課標(biāo)文,10,5分)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為棱CD的中點(diǎn),則()A.A1EDC1B.A1EBDC.A1EBC1D.A1EAC解析A1B1平面BCC1B1,BC1平面BCC1B1,A1B1BC1,又BC1B1C,且B1CA1B1=B1,BC1平面A1B1CD,又A1E平面A1B1CD,B

3、C1A1E.故選C.答案C例2(2015安徽,5,5分)已知m,n是兩條不同直線,是兩個(gè)不同平面,則下列命題正確的是()A.若,垂直于同一平面,則與平行B.若m,n平行于同一平面,則m與n平行C.若,則在內(nèi)與平行的直線D.若m,n,則m與n垂直于同一平面解析若,垂直于同一個(gè)平面,則,可以都過的同一條垂線,即,可以相交,故A錯(cuò);若m,n平行于同一個(gè)平面,則m與n可能平行,也可能相交,還可能異面,故B錯(cuò);若,不平行,則,相交,設(shè)=l,在內(nèi)存在直線a,使al,則a,故C錯(cuò);從原命題的逆否命題進(jìn)行判斷,若m與n垂直于同一個(gè)平面,由線面垂直的性質(zhì)定理知mn,故D正確.答案D考向二面面垂直的判定與性質(zhì)的應(yīng)

4、用例3如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是正方形,點(diǎn)E是棱PC的中點(diǎn),平面ABE與棱PD交于點(diǎn)F.(1)求證:ABEF;(2)若PA=AD,且平面PAD平面ABCD,試證明AF平面PCD;(3)在(2)的條件下,線段PB上是否存在點(diǎn)M,使得EM平面PCD?(直接給出結(jié)論,不需要說明理由) 解析(1)證明:因?yàn)榈酌鍭BCD是正方形,所以ABCD.又因?yàn)锳B平面PCD,CD平面PCD,所以AB平面PCD.又因?yàn)锳,B,E,F四點(diǎn)共面,且平面ABEF平面PCD=EF,所以ABEF.(2)證明:在正方形ABCD中,CDAD,因?yàn)槠矫鍼AD平面ABCD,且平面PAD平面ABCD=AD,CD平面A

5、BCD,所以CD平面PAD.又AF平面PAD,所以CDAF.由(1)可知ABEF,又因?yàn)锳BCD,所以CDEF.因?yàn)辄c(diǎn)E是棱PC的中點(diǎn),所以點(diǎn)F是棱PD的中點(diǎn).在PAD中,因?yàn)镻A=AD,所以AFPD.又因?yàn)镻DCD=D,所以AF平面PCD.(3)不存在.方法1證明線面垂直的方法1.線面垂直的定義.2.線面垂直的判定定理(ab,ac,b,c,bc=Ma).3.平行線垂直平面的傳遞性(ab,ba).4.面面垂直的性質(zhì)(,=l,a,ala).5.面面平行的性質(zhì)(a,a).6.面面垂直的性質(zhì)(=l,l).方法技巧例1S是RtABC所在平面外的一點(diǎn),且SA=SB=SC,D為斜邊AC的中點(diǎn).(1)求證:

6、SD平面ABC;(2)若AB=BC,求證:BD平面SAC.解題導(dǎo)引 證明(1)如圖所示,取AB的中點(diǎn)E,連接SE,DE, 在RtABC中,D,E分別為AC,AB的中點(diǎn),DEBC,BCAB,DEAB,SA=SB,SEAB.又DE,SE平面SDE,且SEDE=E,AB平面SDE.又SD平面SDE,ABSD.在SAC中,SA=SC,D為AC的中點(diǎn),SDAC.又AC,AB平面ABC,且ACAB=A,SD平面ABC.(2)由于AB=BC,D為AC的中點(diǎn),所以BDAC,由(1)可知,SD平面ABC,且BD平面ABC,SDBD,又SD,AC平面SAC,且SDAC=D,BD平面SAC.方法2證明面面垂直的方法

7、1.利用判定定理.在審題時(shí)要注意直觀判斷哪條直線可能是垂線,充分利用等腰三角形底邊上的中線垂直于底邊,勾股定理的逆定理等.2.用定義法證明.只需判定兩平面所成的二面角為直二面角.3.客觀題中也可應(yīng)用“兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面垂直于第三個(gè)平面,則另一個(gè)平面也垂直于第三個(gè)平面”進(jìn)行證明.例2如圖,在三棱錐P-ABC中,D,E,F分別為棱PC,AC,AB的中點(diǎn).已知PAAC,PA=6,BC=8,DF=5.求證:平面BDE平面ABC.解題導(dǎo)引 證明因?yàn)镈,E,F分別為棱PC,AC,AB的中點(diǎn),PA=6,BC=8,所以DEPA,DE=PA=3,EF=BC=4.又因?yàn)镈F=5,所以DF2=DE2+EF2,

8、所以DEF=90,即DEEF.因?yàn)镻AAC,DEPA,所以DEAC.因?yàn)锳CEF=E,AC平面ABC,EF平面ABC,所以DE平面ABC.又DE平面BDE,所以平面BDE平面ABC.方法3翻折問題的處理方法平面圖形翻折為空間圖形問題的解題關(guān)鍵是看翻折前后線線位置關(guān)系的變化,根據(jù)翻折的過程找到翻折前后線線位置關(guān)系中沒有變化的量和發(fā)生變化的量,這些不變的量和變化的量反映了翻折后的空間圖形的結(jié)構(gòu)特征.例3(2020屆北大附中模擬,17)如圖1,在平行四邊形ABCD中,AB=3,BC=2,過A點(diǎn)作CD的垂線,交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,AE=.連接EB,交AD于點(diǎn)F,將ADE沿AD折起,使得點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)P的位

9、置,如圖2.(1)證明:平面BFP平面BCP;(2)若G為PB的中點(diǎn),H為CD的中點(diǎn),且平面ADP平面ABCD,求三棱錐G-BCH的體積. 圖1圖2解析(1)證明:在題圖1的RtBAE中,AB=3,AE=,所以AEB=60.在RtAED中,AD=2,AE=,所以DAE=30.所以AFE=90,即BEAD.所以在題圖2中,PFAD,BFAD.又因?yàn)锳DBC,所以PFBC,BFBC.又因?yàn)镻F,BF平面BFP,PFBF=F,所以BC平面BFP,又因?yàn)锽C平面BCP,所以平面BFP平面BCP.(2)解法一:因?yàn)槠矫鍭DP平面ABCD,平面ADP平面ABCD=AD,PF平面ADP,PFAD,所以PF平面ABCD.取BF的中點(diǎn)O,連接BD,GO,則GOPF,所以GO平面ABCD,即GO為三棱錐G-BCH的高.又GO=PF=PAsin 30=,所以三棱錐G-BCH的體積V=SBCHGO=SBCD=.解法二:因?yàn)槠矫鍭DP平面ABCD,平面ADP平面ABCD=AD,PF平面ADP,PFAD,所以PF平面ABCD.因?yàn)镚為PB的中點(diǎn),所以三棱錐G-BCH的高等于PF,因