課標(biāo)版高考文科數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)專題7.2 簡單的線性規(guī)劃（講解練）教學(xué)講練

1、專題七不等式7.2簡單的線性規(guī)劃高考文數(shù)考點一平面區(qū)域問題考點清單考向基礎(chǔ)1.在平面直角坐標(biāo)系中,平面內(nèi)所有的點被直線Ax+By+C=0(A,B不同時為0)分成三類:(1)滿足Ax+By+C=0的點;(2)滿足Ax+By+C0的點;(3)滿足Ax+By+C0(或Ax+By+C0)在平面直角坐標(biāo)系中表示直線Ax+By+C=0某一側(cè)所有點組成的平面區(qū)域,且不含邊界,作圖時邊界應(yīng)畫成虛線;在坐標(biāo)系中畫不等式Ax+By+C0(或Ax+By+C0)所表示的區(qū)域時,此區(qū)域的邊界應(yīng)畫成實線.【知識拓展】判斷Ax+By+C0表示的平面區(qū)域在直線的哪一側(cè)的方法:(1)當(dāng)C0時,取原點(0,0),當(dāng)原點坐標(biāo)使Ax

2、+By+C0成立時,就是含原點的區(qū)域;不成立時,就是不含原點的區(qū)域.(2)當(dāng)C=0時,取(0,1)或(1,0),當(dāng)不等式成立時,就是含所取點的一側(cè);不成立時,是另一側(cè).考向一求平面區(qū)域的面積考向突破例1(2020屆甘肅蘭州重點中學(xué)10月聯(lián)考,14)設(shè)x,y滿足約束條件則在平面直角坐標(biāo)系中對應(yīng)的可行域面積為.解析畫出可行域,如圖中陰影部分所示,則可行域的面積為ABC的面積,易求得A,B,C(-1,1),則SABC=. 答案 考向二根據(jù)二元一次不等式組表示的平面區(qū)域求參數(shù)范圍例2(2020屆黑龍江齊齊哈爾10月調(diào)研,7)若不等式組表示的區(qū)域是一個三角形區(qū)域,則a的取值范圍是()A.a B.0a1C

3、.1aD.0a1或a 解析作出不等式組所表示的平面區(qū)域,如圖中陰影部分所示.作基本直線l0:x+y=0,將其沿y軸向上平移,當(dāng)過點B(1,0)時,原不等式組所表示的可行域仍是一個含點B的三角形區(qū)域;繼續(xù)向上平移,當(dāng)直線過點A,即a=時,原不等式組所表示的平面區(qū)域再次變?yōu)橐粋€三角形區(qū)域,結(jié)合圖形,可知00時,直線過可行域且在y軸上的截距最大時,z值最大;在y軸上的截距最小時,z值最小.當(dāng)B0時,直線過可行域且在y軸上的截距最小時,z值最大;在y軸上的截距最大時,z值最小.2.利用圖解法解決線性規(guī)劃問題的一般步驟(1)作出可行域.將約束條件中的每一個不等式當(dāng)作等式,作出相應(yīng)的直線,并確定原不等式表

4、示的半平面,然后求出所有半平面的交集.(2)作出目標(biāo)函數(shù)的等值線.(3)求出最終結(jié)果.在可行域內(nèi)平行移動目標(biāo)函數(shù)等值線,從圖中能判定問題有唯一最優(yōu)解,或者有無窮最優(yōu)解,或者無最優(yōu)解.考向突破考向一求線性目標(biāo)函數(shù)的最值(取值范圍)例3(2018課標(biāo)全國,15,5分)若變量x,y滿足約束條件則z=x+y的最大值是.解析解法一:根據(jù)約束條件作出可行域,如圖所示.z=x+y可化為y=-3x+3z.求z的最大值可轉(zhuǎn)化為求直線y=-3x+3z縱截距的最大值,顯然當(dāng)直線y=-3x+3z過A(2,3)時,縱截距最大,故zmax=2+3=3.解法二:畫出可行域(如上圖),由圖知可行域為三角形區(qū)域,易求得頂點坐標(biāo)

5、分別為(2,3),(2,-7),(-2,1),將三點坐標(biāo)代入,可知zmax=2+3=3.答案3例4(2020屆河南中原聯(lián)盟第二次聯(lián)考,8)若x,y滿足約束條件則x2+y2+2y的最大值為()A.4B.-1C.16D.17考向二求非線性目標(biāo)函數(shù)的最值(取值范圍)解析本題考查非線性規(guī)劃問題.根據(jù)約束條件畫出可行域,如圖所示,令z=x2+y2+2y=x2+(y+1)2-1,其幾何意義為可行域內(nèi)的點到定點(0,-1)的距離的平方再減去1,由圖可知可行域中點A到(0,-1)的距離最大,由解得所以點A(1,3)到點(0,-1)的距離為=,所以zmax=17-1=16. 答案C例5(2020屆江西金太陽大聯(lián)

6、考,16)外地務(wù)工人員小明準(zhǔn)備回家鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè),他從當(dāng)?shù)劂y行貸款9萬元作為創(chuàng)業(yè)基金,并在當(dāng)?shù)爻邪艘粔K300畝的耕地,承包費用為20萬元(此筆費用可在獲得收益后再支付),計劃種植甲、乙兩個品種的蔬菜.當(dāng)年種植甲、乙兩種蔬菜的成本分別是600元/畝和200元/畝,預(yù)計當(dāng)年種植甲、乙兩個品種的蔬菜除去種植成本后分別帶來3 000元/畝和2 000元/畝的收益,則合理分配資源后,當(dāng)年能帶來的最大利潤是萬元.(利潤=總收益-承包費用)考向三線性規(guī)劃的實際問題解析設(shè)甲、乙兩種蔬菜的種植面積分別為x畝、y畝,利潤為z萬元,根據(jù)題意,可列出不等式組目標(biāo)函數(shù)z=0.3x+0.2y-20,將以上不等式組化為畫出可行域

7、,如圖中陰影區(qū)域所示,由解得當(dāng)目標(biāo)函數(shù)圖象經(jīng)過點M(75,225)時,z取得最大值,zmax=0.375+0.2225-20=47.5.故當(dāng)年能帶來的最大利潤是47.5萬元.答案47.5方法1目標(biāo)函數(shù)的最值(取值范圍)問題的求解方法1.求目標(biāo)函數(shù)的最值(取值范圍)的步驟:(1)畫出可行域;(2)根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義確定取得最優(yōu)解的點;(3)求出目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值(取值范圍).2.常見的目標(biāo)函數(shù):(1)截距型:形如z=ax+by(ab0),可以轉(zhuǎn)化為y=-x+,利用直線在y軸上的截距大小確定目標(biāo)函數(shù)的最值(取值范圍);(2)距離型:形如z=(x-a)2+(y-b)2,表示區(qū)域內(nèi)的動點(x

8、,y)與定點(a,b)連線的距離的平方;(3)斜率型:形如z=,表示區(qū)域內(nèi)的動點(x,y)與定點(a,b)連線的斜率.方法技巧例1(2019天津,2,5分)設(shè)變量x,y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z=-4x+y的最大值為()A.2B.3C.5D.6解析本題主要考查簡單的線性規(guī)劃問題.通過求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值考查學(xué)生的運算求解能力,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).作出可行域(如圖中陰影部分),平移直線-4x+y=0可知,目標(biāo)函數(shù)z=-4x+y在P點處取最大值,由得P(-1,1).zmax=-4(-1)+1=5.故選C.答案C例2(2019安徽馬鞍山一模,5)已知實數(shù)x、y滿足則x2+y2的最大值與最小值之

9、和為()A.5B.C.6D.7解析作出不等式組表示的可行域如圖,x2+y2的幾何意義是原點O到可行域內(nèi)點的距離的平方,由圖可知,O到直線x+y-1=0的距離最小,為.可行域內(nèi)的點B與坐標(biāo)原點的距離最大,為=.x2+y2的最大值與最小值之和為5+=.故選B.答案B方法2線性規(guī)劃的實際問題的求解方法1.能建立線性規(guī)劃模型的實際問題有:(1)給定一定量的人力、物力資源,使完成的任務(wù)最多,收益最大;(2)給定一項任務(wù),使完成這項任務(wù)耗費人力、物力資源最少.2.解決線性規(guī)劃實際問題的一般步驟:(1)認真審題,設(shè)出未知數(shù),寫出線性約束條件和目標(biāo)函數(shù);(2)畫出可行域;(3)作出目標(biāo)函數(shù)值為0時對應(yīng)的直線l

10、0;(4)在可行域內(nèi)平行移動直線l0,從圖中判斷問題有唯一最優(yōu)解或有無窮最優(yōu)解或無最優(yōu)解;(5)求出最優(yōu)解,從而得到目標(biāo)函數(shù)的最值;(6)得到實際問題的解,寫出結(jié)論.例3(2017天津,16,13分)電視臺播放甲、乙兩套連續(xù)劇,每次播放連續(xù)劇時,需要播放廣告.已知每次播放甲、乙兩套連續(xù)劇時,連續(xù)劇播放時長、廣告播放時長、收視人次如下表所示:已知電視臺每周安排的甲、乙連續(xù)劇的總播放時間不多于600分鐘,廣告的總播放時間不少于30分鐘,且甲連續(xù)劇播放的次數(shù)不多于乙連續(xù)劇播放次數(shù)的2倍.分別用x,y表示每周計劃播出的甲、乙兩套連續(xù)劇的次數(shù).(1)用x,y列出滿足題目條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式,并畫出相應(yīng)的平面區(qū)域;(2)問電視臺每周播出甲、乙兩套連續(xù)劇各多少次,才能使總收視人次最多? 連續(xù)劇播放時長(分鐘)廣告播放時長(分鐘)收視人次(萬)甲70560乙60525解析(1)由已知得,x,y滿足的數(shù)學(xué)關(guān)系式為即該二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域為圖1中的陰影部分:圖1(2)設(shè)總收視人次為z萬,則目標(biāo)函數(shù)為z=60 x+25y.考慮z=60 x+25