北京大學 真題量子力學

1、 8/8北京大學 真題量子力學 北京大學20032012學年 量子力學 考研真題 與原子物理試題答案 可能會有用的公式： 薛定諤方程： ?H i t ?=? 一維定態(tài)薛定諤方程：()()()2 2 2 2d V x x E x m dx ?-+= ? 動量算符： ?p i x ?=? 高斯積分： 2 x e dx - = ? 一。30分一維無限深方勢阱： 質量為 m 的粒子在一維無限深方勢阱中運動，勢阱可表示為： ()()0;0,;0,x a V x x x a ?=? 1。10分求解能量本征值 n E 和歸一化的本征函數(shù)()n x ； 2。5分若已知 0t =時，該粒子狀態(tài)為：() 12,0

2、()()x x x = +，求t 時刻該粒子的波函數(shù)； 3。5分求 t 時刻測量到粒子的能量分別為1E 和2E 的幾率是多少？ 4。10分求t 時刻粒子的平均能量E 和平均位置x 。 解：1）10分 222 22n n n x a n E ma ?=? ?=? 2）5分 ()(),n iE t n n x t x e - = 時刻的波函數(shù)：( )1212,()()iE t iE t x t x e x e -? ?=+? 3）5分 t 時刻測量到粒子的能量為1E 的幾率是：()() 2 11 ,2 x t x t = 時刻測量到粒子的能量為2E 的幾率是：()() 2 21,2 x t x t

3、 = 4）10分 平均能量：()()()()22122 5?,24E E E x t E x t x t i x t t ma +?=? 平均位置： ()()()12216,cos 29E E t a a x x t x x t -?= - ? 二。30分一維線性諧振子： 質量為m 的粒子在一維線性諧振子勢：22 ()2 m x V x = 中運動。按占有數(shù)表象，哈密頓可寫為： ( ) ? 12 H a a =+ 。這里 ?a 是湮滅算符， ? ?a 是產(chǎn)生算符： ?i a x p m i a x p m ?=+? ? ? ?=-? 已知一維線性諧振子基態(tài)波函數(shù)為： 1。10分利用產(chǎn)生算符性質

4、： ()()?01?a x x =，求線性諧振子第一激發(fā)態(tài)在坐標表象下的波函數(shù)：()1x ；（()1 2 42 0m x m x e -?= ? ） 2。10分假設粒子處在基態(tài)()0 x ，突然改變一維線性諧振子的“振動頻率”為2=，粒子新的基態(tài)能是多少？新的基態(tài)波函數(shù)是 什么？ 3。10分假設這時粒子波函數(shù)仍然保持不變（()1 2 42 m x m x e -?= ? ），此時測量粒子能量，發(fā)現(xiàn)粒子能量取新的基態(tài)能的幾率是多 少？ 解：1）10分 ()( )12 4?2 10m x i m x a x x p e m -?= -? ? 利用：,d x x p i dx =，( )2202x

5、x ?=-? ，其中： =()( ) )22? 101/42221/ 422223/222222 3/2 1/4 exp 21exp 222exp 22ex i d x x a x x m i dx d x x dx x x x x x x ?=-? ?= - ? ? ?=-?=-+-?= ()220p 2x x x ? -=? ? 2）10分 新基態(tài)能： 2 E = 新基態(tài)波函數(shù)：()1 1 2 2 4 42 02m x m x m m x e e - -? ?= ? ? ? 3）10分 測量粒子能量取新基態(tài)能的幾率： ()2 2 1/0 20.94283w x ?= ? 三。40分兩電子波

6、函數(shù)： 考慮兩個電子組成的系統(tǒng)。它們空間部分波函數(shù)在交換電子空間部分坐標時可以是對稱的或是反對稱的。由于電子是費米子，整體波函數(shù)在交換全部坐標變量（包括空間部分和自旋部分）時必須是反對稱的。 1。15分假設空間部分波函數(shù)是反對稱的，求對應自旋部分波函數(shù)。總自旋算符定義為： 12S s s =+。求：2S 和z S 的本征值； 2。15分假設空間部分波函數(shù)是對稱的，求對應自旋部分波函數(shù)， 2S 和z S 的本征值； 3。10分假設兩電子系統(tǒng)哈密頓量為：12H Js s =?，分別針對（1）（2）兩種情形，求系統(tǒng)的能量。 解：1）15分自旋三重態(tài)（spin triplet） 空間部分波函數(shù)是反對稱

7、的，自旋部分應對稱： ) s ? ? ? = ? ? + 對應總自旋平方 2 S本征值為：2 2 對應總自旋第三分量z S本征值分別為：,0 - 2）15分自旋單態(tài)（spin singlet） 空間部分波函數(shù)是對稱的，自旋部分應反對稱：) A =- 對應總自旋平方 2 S本征值為：0 對應總自旋第三分量z S本征值分別為：0 3）10分 哈密頓：12 H Js s =?，利用： 222 12 122 S s s s s - ?= 針對自旋三重態(tài)： 22 2 12 3 22 4 24 s s -? ?=，對應能量：2 4 T J E= 針對自旋單態(tài)： 2 2 12 3 023 4 24 s s

8、-? ?=-，對應能量：2 3 4 S J E=- 七 夕，只因有你， 總有一些人牽腸掛肚難以忘記， 總有一些日子溫暖甜蜜最為珍惜 從春夏到秋冬，從陌生到熟悉， 雖不能時時聯(lián)系，卻總在特別的日子想起你， 七夕快樂，我的朋友。 七夕，只因有你， 因為有你，再苦生活也不覺得累， 再大的險阻也無所畏， 再大的波折也不擔憂， 再痛的經(jīng)歷也會忘記， 因為有你，我就擁有了整個世界， 謝謝你出現(xiàn)在我的生命里。 七夕快樂，我的朋友。 七夕，只因有你， 相識，是最珍貴的緣分， 牽掛，是最真摯的心動， 思念，是最美麗的心情， 問候，是最動聽的語言， 在這七夕到來之際，最美的祝福送給你，七夕快樂，我的朋友。 七夕，

9、只因有你， 雨點輕敲窗，風吹散了夢想， 唯有你的模樣依舊在腦海里徜徉， 夜深人靜時，你占滿了心房， 舍半生輕狂，半世時光， 只為擁有一段和你相處的珍貴情緣， 七夕快樂，我的朋友。 七夕，只因有你， 雖然相距很遠，但兩顆心卻緊緊相連 雖然不常見面，音容笑貌猶如眼前， 悄悄的挾一縷情絲，放飛在炎炎夏日 默默的拽一絲牽掛，懸掛在無垠宇宙靜靜的捎一聲問候，盛開在七夕佳節(jié)七夕快樂，我的朋友。 七夕，只因有你， 祝福，是一種真實的心意， 是一種甘甜的快樂， 是一種浪漫的味道， 是一種溫馨的記憶， 是一種美麗的幸福， 更是我們情誼永遠不變的紐帶， 七夕快樂，我的朋友。 七夕，只因有你， 愛是種體會，即使心碎也覺得