轉(zhuǎn)動慣量的測定與平行軸定理驗證的實驗研究

1、轉(zhuǎn)動慣量的測定與平行軸定理驗證的實驗研究摘要：采用三線擺，雙線擺，扭擺，測量不同剛性物體的轉(zhuǎn)動慣量，并進一步驗證平行軸定理，同時應(yīng)用扭擺的特性測量切邊模量。關(guān)鍵字：轉(zhuǎn)動慣量；平行軸定理；切變模量轉(zhuǎn)動慣量是剛體轉(zhuǎn)動慣性的量度，它與剛體的質(zhì)量分布和轉(zhuǎn)軸位置有關(guān)。根據(jù)物體的規(guī)則與否，轉(zhuǎn)動慣量的獲得分為理論公式法與實驗法。對于規(guī)則物體，測量其尺寸和質(zhì)量，即可通過理論公式計算獲得；對于不規(guī)則、質(zhì)量分布不均勻的物體則要通過實驗測定。實驗原理雙線擺本實驗中，認為雙線擺是純轉(zhuǎn)動的理想模型。這樣，雙線擺擺錘的運動可分解為：水平面上的轉(zhuǎn)動以及豎直方向上的振動。設(shè)均勻細桿質(zhì)量m0、長為 、繞通過質(zhì)心豎直軸轉(zhuǎn)動的慣量

2、為I0；兩相同圓柱體的質(zhì)量之和為2m1,之間距離為2c；雙繩之間距離為d，繩長L圖雙線擺結(jié)構(gòu)圖圖2幾何分析由右圖幾何關(guān)系分析，當(dāng)很小時，sin圖2幾何分析 （1）由上式可得系統(tǒng)的勢能為 （2）桿的轉(zhuǎn)動動能為 （3）由能量守恒得 （4）用（4）關(guān)于時間求導(dǎo)，并除以ddt （5）解上面的簡諧振動方程，得桿的轉(zhuǎn)動慣量： （6）測量物體的轉(zhuǎn)動慣量： (7)待測物體的轉(zhuǎn)動慣量為： (8)三線擺和扭擺三線擺左圖是三線擺示意圖。上、下圓盤均處于水平，懸掛在橫梁上。三根對稱分布的等長懸線將兩圓盤相連。撥動轉(zhuǎn)動桿使圓盤進行小角度轉(zhuǎn)動，當(dāng)轉(zhuǎn)動角很小時，忽律空氣阻力，以及懸線扭力的影響，由剛體轉(zhuǎn)動定理，得圓盤的轉(zhuǎn)動

3、慣量為J0式中，m0為下圓盤的質(zhì)量；r和R分別為上下懸點離各自圓盤中心的距離；H0為平衡時上下圓盤間的垂直距離；T0為下圓盤的擺動周期，g為重力加速度。將質(zhì)量為m的待測剛體放在下圓盤上，使其質(zhì)心與轉(zhuǎn)抽重合，測量出此時的周期T和上下圓盤的距離H，則總轉(zhuǎn)動慣量為： （9）待測物的轉(zhuǎn)動慣量為：J=J1 = 2 * GB3 扭擺將一金屬絲上端固定，下端懸掛一剛體就構(gòu)成扭擺。如下圖忽略空氣阻尼力矩的作用，根據(jù)剛體轉(zhuǎn)動定理有 （11）式中，為剛體對懸線軸的轉(zhuǎn)動慣量，為角加速度。彈性恢復(fù)力矩M轉(zhuǎn)角的關(guān)系為 （12） 式中，K稱為扭轉(zhuǎn)模量。它與懸線長度L，懸線直徑d及懸線材料的切變模量G有如下關(guān)系 （13）

4、扭擺的運動微分方程為 （14）可見，圓盤作簡諧振動。其周期為 （15）實驗中K未知，將金屬環(huán)放在圓盤上時復(fù)合體的轉(zhuǎn)動慣量為J0+J1，轉(zhuǎn)動周期為：T0=J0由式（15）（16）得： （17） （18）測出T和T0就可以求得圓盤的轉(zhuǎn)動慣量J0與切邊模量G。OOOOCx xm平行軸定理若質(zhì)量為的物體繞過其質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量為，當(dāng)轉(zhuǎn)軸平行移動距離時（如右圖所示），則此物體對新軸的轉(zhuǎn)動慣量為 （19）這一結(jié)論稱為轉(zhuǎn)動慣量的平行軸定理。用雙線擺驗證平行軸定理：將質(zhì)量均為m2，形狀和質(zhì)量分布完全相同的兩個圓柱體對稱地放置在均勻細桿上。按同樣的方法，測出兩小圓柱體和細桿的轉(zhuǎn)動周期TX，則可求出每個柱體對中心轉(zhuǎn)

5、軸的轉(zhuǎn)動慣量: （20）由平行軸定理計算得 （21）比較與的大小，相差5%以內(nèi)則平行軸定理得證。用三線擺驗證平行軸定理將二個同樣大小的圓柱體放置在對稱分布于半徑為R1的圓周上的二個孔上。測出二個圓柱體對中心軸OO的轉(zhuǎn)動慣量Jx。如果測得的Jx值與由（19）式右邊計算得的結(jié)果比較時的相對誤差在測量誤差允許的范圍（5%），則平行軸定理得到驗證。實驗裝置與實驗方法本實驗使用的設(shè)備有：雙線擺、扭擺及三線擺、水準(zhǔn)儀、米尺、游標(biāo)卡尺及待測物體等。實驗方法如下：周期TTTTTT圓盤2532.832.732.732.632.632.68單圓柱2530.730.830.830.830.630.74測量前，根據(jù)水

6、準(zhǔn)泡得指示，調(diào)平底座平臺。雙線擺實驗開始前先調(diào)節(jié)擺線長等于兩線間的距離，即d=L0打開計數(shù)器，調(diào)節(jié)適當(dāng)?shù)闹芷诖螖?shù)。分別使擺進行小角度擺動，并記錄周期，帶入操作原理中得轉(zhuǎn)動慣量計算式，求得待測物體的轉(zhuǎn)動慣量，并驗證平行軸定理。數(shù)據(jù)記錄及結(jié)果討論雙線擺：L=12.00 L0=30.00 m0 小圓柱參數(shù)： l=2.970 D內(nèi)=2.260 D外=2.760 X=13.75 m雙線擺各組實驗項目平均周期的計算：周期TTTTTT細桿2523.623.823.723.723.723.7單圓柱2520.720.620.620.620.620.62雙圓柱2531.231.031.131.031.131.08

7、周期單位：s,下同三線擺： R=9.430 r=4.574 H=38.35 m圓盤=1.013三線擺各組實驗項目平均周期的計算： m圓柱=0.137三線擺雙圓柱實驗平均周期的計算：距離d周期TTTTTT6.4302532.732.632.632.632.632.62扭擺 m1=0.539 D1=10.030 D2=11.990 d=0.050 扭擺平均周期的計算：周期TTTTTT盤2552.752.752.752.852.752.72盤環(huán)2589.789.789.789.789.789.7由以上數(shù)據(jù)計算得：雙線擺轉(zhuǎn)動慣量的計算：由式（6）（8）帶入實驗數(shù)據(jù):細桿單圓柱雙圓柱雙圓柱理論相對誤差I(lǐng)

8、0.001780.00007420.001790.001890.052三線擺轉(zhuǎn)動慣量級相對誤差的計算：由式（9）（10）帶入數(shù)據(jù)計算得圓盤單圓柱I0.0048320.000021：d/cm雙圓柱理論值相對誤差I(lǐng)8.4300.001050.0009950.053I6.4300.000640.0005880.083I4.4430.000300.000290.042扭擺轉(zhuǎn)動慣量及切變模量的計算：由式（13）（17）（18）帶入數(shù)據(jù)得J1J0KG0.001650.0008710.007735.5*1011切變模量單位：GPa 由以上結(jié)果我們給出以下討論:(一).通過雙線擺的測量和通過三線擺的測量，。精

9、度能達到要求，能用于轉(zhuǎn)動慣量的測量和平行軸定理得驗證 (二).對于三線擺，在測量過程中我們發(fā)現(xiàn)在距離轉(zhuǎn)軸中心較遠和較近的測量數(shù)據(jù)都與實際符合的很好，但在之間卻有很大的偏差（超過允差0.033），經(jīng)過分析認為帶來這種誤差增大的原因在于以下幾點：實驗過程中，使三線擺擺動時，轉(zhuǎn)軸OO；發(fā)生偏移：圓柱在處于較遠和較近的位置時，超出了上圓盤的投影范圍（或者處于其中時），用于力矩作用，使圓盤的擺動更趨于水平的小角度擺動。結(jié)論轉(zhuǎn)動慣量的平行軸定理成立；轉(zhuǎn)動慣量的測定符合實際情況。參考文獻：HYPERLINK /Magazine/DXWL201106.html t _blank大學(xué)物理2011年第06期 作者

10、： 王永超;朱力長春理工大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)2007年03期HYPERLINK /Journal/B-B5-ASGT-2011-04.htm t _blank遼寧科技大學(xué)學(xué)報 2011年04期 Determination of moment of inertia and verification of the parallel axis theorem experimentalAbstrat:Using three-wire pendulum, double pendulum, torsion, to measure different rigid body moment of inertia, and further validatin