《離散數(shù)學(xué)》期末復(fù)習(xí)題答案-53551553740738151

1、離散數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)題參考答案一、填空題（每空 1 分，共 20 分）1、集合A 上的偏序關(guān)系的三個性質(zhì)是自反性、反對稱性和傳遞性。2、一個集合的冪集是指該集合所有子集的集合。3、集合A=b,c，B=a,b,c,d,e，則AB=a,b,c,d,e。4、集合A=1,2,3,4，B=1,3,5,7,9，則AB=1,3。5、若A 是2 元集, 則 2A 有 4個元素。6、集合 A=1,2,3，A 上的二元運算定義為 b = a 和b 兩者的最大值，則2*3=3。7、設(shè)A=a, b,c,d, 則A= 4 。8、對實數(shù)的普通加法和乘法， 0 是加法的冪等元， 1 是乘法的冪等元。9、設(shè)a,b,c 是阿貝爾群

2、的元素，則-(a+b+c)=(-a)+( -b)+( -c)。10、一個圖的哈密爾頓路是一條通過圖中所有結(jié)點一次且恰好一次的路。11、不能再分解的命題稱為原子命題，至少包含一個聯(lián)結(jié)詞的命題稱為復(fù)合命題。12、命題是能夠表達(dá)判斷（分辯其真假）的陳述語句。13、如果p 表示王強(qiáng)是一名大學(xué)生，則p 表示王強(qiáng)不是一名大學(xué)生。14、與一個個體相關(guān)聯(lián)的謂詞叫做一元謂詞。15、量詞分兩種：全稱量詞和存在量詞。16、設(shè)AB 為集合，如果集合A 的元素都是集合B 的元素，則稱A 是B 的子集。17、集合上的三種特殊元是單位元、零元及可逆元。1、設(shè)A=a, b，則 (A)a，b，a, b。19、代數(shù)系統(tǒng)是指由集合

3、及其上的一元或二元運算符組成的系統(tǒng)。20、設(shè)是代數(shù)系統(tǒng)，其中是*1,*2 二元運算符，如果*1,*2 都滿足交換律、結(jié)合律， 并且*1 和*2 滿足吸收律，則稱是格。21、集合A=a,b,c,d，B=b ，則A B= a, c,d 。22、設(shè)A=1, 2, 則A= 2 。23、在有向圖中，結(jié)點v 的出度deg+(v)表示以 v 為起點的邊的條數(shù)，入度deg-(v)表示以 v為終點的邊的條數(shù)。24、一個圖的歐拉回路定義為一條通過圖中所有邊一次且恰好一次的回路。25、不含回路的連通圖是樹。26、不與任何結(jié)點相鄰接的結(jié)點稱為孤立結(jié)點。27、推理理論中的四個推理規(guī)則是全稱指定規(guī)則 (US 規(guī)則)、全稱

4、推廣規(guī)則 (UG 規(guī)則)、存在指定規(guī)則 (ES 規(guī)則) 、存在推廣規(guī)則 (EG 規(guī)則)。二、判斷題（每題 2 分，共 20 分）1、空集是唯一的。2、對任意的集合A，A 包含A。3、恒等關(guān)系不是對稱的，也不是反對稱的。4、集合1,2,3,3和1,2,2,3是同一集合。5、圖G 中，與頂點v 關(guān)聯(lián)的邊數(shù)稱為點v 的度數(shù)，記作deg(v)。6、在實數(shù)集上，普通加法和普通乘法不是可結(jié)合運算。7、對于任何一命題公式，都存在與其等價的析取范式和合取范式。8、設(shè)（A,*）是代數(shù)系統(tǒng)，aA，如果a*aa，則稱a 為（A，*）的等冪元。9、設(shè) f：AB， g：BC。若f，g 都是雙射，則gf 不是雙射。10、

5、無向圖的鄰接矩陣是對稱陣。11、一個集合不可以是另一個集合的元素。12、映射也可以稱為函數(shù)，是一種特殊的二元關(guān)系。13、群中每個元素的逆元都不是惟一的。14、是格。15、樹一定是連通圖。16、單位元不是可逆的。17、一個命題可賦予一個值，稱為真值。18、復(fù)合命題是由連結(jié)詞、標(biāo)點符號和原子命題復(fù)合構(gòu)成的命題。19、任何兩個重言式的合取或析取不是一個重言式。20、設(shè)f：AB， g：BC。若f，g 都是滿射，則gf 不是滿射。21、集合1,2,3,3和1,2,3是同一集合。22、零元是不可逆的。23、一般的，把與n 個個體相關(guān)聯(lián)的謂詞叫做一元謂詞。24、“我正在說謊?！辈皇敲}。25、用A 表示“是

6、個大學(xué)生”，c 表示“張三”，則A(c)：張三是個大學(xué)生。26、設(shè)F,，則 F-1 ,。27、歐拉圖是有歐拉回路的圖。28、設(shè)f：AB， g：BC。若f，g 都是單射，則gf 也是單射。三、計算題（每題 10 分，共 40 分）1、設(shè)A=c,d, B=0,1,2，則AB=,，BA=,。2 A = a,b,c 1,2 = , 。3A = a,b,c，AA = a,b,c a,b,c =, 。 4、符號化命題“如果 2 大于 3，則 2 大于 4。”。設(shè) L(x,y)：x 大于 y， a：2， b：3， c：4，則命題符號化為L(a,b)L(a,c)。5、符號化命題“并不是所有的兔子都比所有的烏龜

7、跑得快”。y G(y)H(x,y)。6、符號化命題“2 是素數(shù)且是偶數(shù)”。設(shè) F(x)：x 是素數(shù)。 G(x)：x 是偶數(shù)。 a： 2，則命題符號化為F(a)G(a)。7A=a,b,c,dR是AR=, ,，寫出A 上二元關(guān)系R 解：R 的關(guān)系矩陣為：110010001010101010111018A=1,2,3,4R是AR=, ,，寫出A 上二元關(guān)系R 解：R 的關(guān)系矩陣為：110010001010101010111019、設(shè)有向圖G 如下所示，求各個結(jié)點的出度、入度和度數(shù)。deg(v1)3，deg+(v1)1，deg-(v1)2； deg(v2)deg+(v4)deg-(v2)0； deg(

8、v3)3，deg+(v3)2，deg-(v3)1； deg(v4)2，deg+(v4)1，deg-(v4)1；10、設(shè)有向圖G 如下所示，求各個結(jié)點的出度、入度和度數(shù)。答：deg(v1)3，deg+(v1)2，deg-(v1)1； deg(v2)3，deg+(v2)2，deg-(v2)1； deg(v3)5，deg+(v3)2，deg-(v3)3； deg(v4)deg+(v4)deg-(v4)0； deg(v5)1，deg+(v5)0，deg-(v5)1；11、設(shè)無向圖G 如下所示，求它的鄰接矩陣。011A(G) 01110101010101012、求命題公式(pq)的真值表。pqqpq(p

9、q)0010101001101101100113、設(shè)=，求 x，y。解：由定理列出如下方程組：2x y 10 x 3y 5求解得x=5，y=0。14R1R2 是從1, 2, 3, 4, 到2, 4, R1, , ,，計算domR1，ranR1，fldR1，domR2，ranR2，fldR2。解 ：domR1=1, 3, 5，ranR1=2, 4, 6，fldR1=dom R1ran R1=1, 2, 3, 4, 5, 6； domR2=1, 2，ranR2=4, 6，fldR2=dom R2ran R2=1, 2, 4, 6 。15、設(shè)A=1, 2, 3, 4, 4, 5, C=1, 2, B

10、 的關(guān)系R=x, 到C的關(guān)系S=|yz=2，求 RS。 5, , , S=, , 5, RS=, , S RSS RS；因R，S，所以 RS；從而 RS=, , 16A=a, b, 2, 3, 4, 是A A 到B R=, , , , ，S=, , , , c, RS，S1R1 RS=, , , , , , (RS)-1=, , , , , , R1=, , , , ，S1=, , , , S1R1=, , , , , , 。17、A1, 2, 3, 4, 5, 6，D 是整除關(guān)系，畫出哈斯圖并求出最小元、最大元、極小元和極大元。464625311 是A 、6 都是A 的極大元。18 上的關(guān)系

11、R=, , R s(R)=,t(R)=,19、求下圖中頂點v0 與 v5 之間的最短路徑。7vv71312v253v0514vv6124解：如下圖所示v0 與 v5 之間的最短路徑為：v0, v1, v2, v4 , v3, v5最短路徑值為 1+2+1+3+2=920、分別用三種不同的遍歷方式寫出對下圖中二叉樹點的訪問次序。先根遍歷：ABDEHCFIJGK 中根遍歷：DBHEAIFJCGK后根遍歷：DHEBIJFKGCA四、證明題（每題 10 分，共 20 分）1、若R S 都是非空集A 上的等價關(guān)系，證明R S 是A 上的等價關(guān)系。 aA，因為R S 都是A 上的等價關(guān)系，所以xRx 且x

12、Sx。故x R S 。從而R S 是自反的。 a,bA，aR Sb，即aRb 且aSb。因為R S 都是A 上的等價關(guān)系，所以bRa bSa。b R S a。從而R S 是對稱的。 a,b,cA，a R S b b R S caRb，aSb，bRc bSc。因為R 和S 都是A 上的等價關(guān)系，所以aRc aSca R S c。從而R S 是傳遞的。R S 是A 上的等價關(guān)系。2、證明蘇格拉底論證：凡人要死。蘇格拉底是人，蘇格拉底要死。H(xx M(xx x)(H(xM(x)H(sM(s)證明： (x)(H(x)M(x)P H(s)M(s)US H(s)P M(s)、3、PQ，Q R，R，S P

13、S證明：R前提QR前提(3)（1），（2）(4)PQ前提(5)（3），（4）(6) SP前提(7)S（5），（6）4、在群中，除單位元 e 外，不可能有別的冪等元。e aG a=ea=(a 1 a)a=a 1(aa)=a1 a=e， a=e。6、證明：(QS)R)(S(PR) = (S(PQ)R.證明：左邊：(QS)R)(S(PR)=(QS)R)(S(PR)=(QSR)(SPR)=(QSR)(SPR)右邊：(S(PQ)R= (S(PQ)R= (S(PQ)R= (QSR)(SPR)所以 (QS) R)(S (PR) = (S(PQ)R.7、設(shè) I 是整數(shù)集合，k 是正整數(shù)，I 上的關(guān)系R|x,

14、y I，且 xy 可被 k 整除， 證明R 是等價關(guān)系。證明：(1) 對任意的x A，有xx=0 可被k 整除。所以 R，即R 具有自反性。對任意的 y xy k ，則yx=km， 可被k R，即R 具有對稱性。 z xy k k 整除， xy=km，yz=kn，則xz=k(m+n)，即xz k R，即R 具有傳遞性。綜上所述， R 具有自反性、對稱性和傳遞性，故R 是等價關(guān)系。8、證明：(pq)r) (qp)r)p(qr) r(qp) 證明：(pq)r)(pq)r)/蘊涵等值式(pq)r/蘊涵等值式(p(q)r/德摩根律(qp)r)/交換律p(qr) r(qp)p(qr)p(qr)r(qp)

15、/結(jié)合律與交換律r(qp)/蘊涵等值式r(qp)/9(PQ) (PR) (QS)SR 證明：PQ已知前提(2) PQ由(1)(3) QS已知前提(4) PS由(2) 和(3)(5) SP由(4)PR已知前提(7) SR由(5) 和(6)(8) SR由(7)10、證明P Q，QR，RS P證明用反證法，把(P)作為附加前提加入到前提的集合中去，證明由此導(dǎo)致矛盾。(P)反證法附加前提(2)P由(1)(3)PQ已知前提(4)Q由(2)和(3)(5)QR已知前提(6)R由(4)和(5)(7)RS已知前提(8)R由 (7)(9)RR由(6)和(8)，矛盾11、證 (x)(P(x)Q(x) (x)P(x) (x)Q(x)CP 規(guī)則：要證SRC ，也就是證明(SR) C(1) (x)P(x)前提引入(2) (x)P(x)由(1)(3)