【方法總結(jié)】由遞推式求數(shù)列通項(xiàng)典型例題的技巧解法

1、 例1.已知數(shù)列%a例1.已知數(shù)列%a滿足a-丄a=an+1+J，求數(shù)列%a的通項(xiàng)公式。n解：由條件知：an+1n2+nn（n+1）n_11n+1由遞推式求數(shù)列通項(xiàng)的典型題的技巧解法對(duì)于由遞推公式確定的數(shù)列的求解，通?？梢酝ㄟ^遞推公式的變換轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列問題，有時(shí)也用到一些特殊的轉(zhuǎn)化方法與特殊數(shù)列。類型1遞推公式為aa+f（n）n+1nn+1解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為aaf(n)，利用n+1n得(n-1)個(gè)等式累加之，即a解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為+f(n),an例2.得(n-1)個(gè)等式累加之，即a解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為+f(n),an例2.已知數(shù)列%a滿足a2n13利用累乘法(逐商相

2、乘法)求解。nan+1n+1n，求數(shù)列%的通項(xiàng)公式。解：由條件知an+1annn+1，分別令n1,2,3,（nD代入上式得(n-1)個(gè)等式累乘之，即aaa23aaa1232又丁a1-3,a123n一1-1XXXXa234nn123nanan1（2）由an+1=f(n)a和a確定的遞推數(shù)列%的通項(xiàng)可如下求得:n1分別令n1,2,3,(n1)，代入上式（a一a）+（a一a）+（a一a）+（a一a213243nn11111111（1一2）+（2一3）+（3一4）+（n1一n）1所以aa1n1n11131*/a，a+112n2n2n類型2(1)遞推公式為af(n)an+1naf（n2）a，af（1）a

3、依次向前代af（n2）a，af（1）a依次向前代n1n221nn-1入，得a二f(n1)f(n2)f(l)a,n1TOC o 1-5 h z簡記為a二(葉f(k)a(n1,什f(k)二1)，這就是疊(迭)代法的基本模式。nk=i1k=i(3)遞推式：a二pa+f(n)n+1n解法：只需構(gòu)造數(shù)列缶，消去f(n)帶來的差異。n例3.設(shè)數(shù)列b：a=4,a=3a+2n1,(n2)，求數(shù)列a的通項(xiàng)公式。n1nn1n解：設(shè)b二a+An+B,貝【a二bAnB，將a,a代入遞推式，得nnnnnn1bAnB二3lbA(n1)B1+2n1 HYPERLINK l bookmark12 o Current Docu

4、ment nn1二3b(3A2)n(3B3A+1)n1A=3A一2fA二1B=3B3A+1B=1.取b二a+n+1(1)則b二3b，又b=6，故b二6x3“-1二2x3nnnnn11n代入(1)得a=2x3nn1n說明：(1)若f(n)為n的二次式，則可設(shè)匕=an+An2+Bn+C(2)本題也可由an=3an1+2n(2)本題也可由an=3an1+2n1n3)TOC o 1-5 h zn1n2兩式相減得anan1=3(an13-2)+轉(zhuǎn)化為二nJ9求之.例4.已知a=3，a=fa(n1)，求數(shù)列b的通項(xiàng)公式。1n+13n+2nn解：an3x2131a3x解：an3x2131a3x2+23+21

5、3(n1)+23(n2)+23n43n75263=3n一13n一4853n一1類型3遞推公式為a=pa+q(其中p，q均為常數(shù)，(pq(p1)豐0)n+1n解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為：a-1=p(at)，其中t=亠，再利用換元法轉(zhuǎn)化為等n+1n1p比數(shù)列求解。在數(shù)列a中，若a=1,a=2a+3(n1)，則該數(shù)列的通項(xiàng)an1n+1nn例5.已知數(shù)列中，a=1,a二2a+3,求數(shù)列的通項(xiàng)公式。TOC o 1-5 h zn1n+1nn解：設(shè)遞推公式a=2a+3可以轉(zhuǎn)化為at=2(at)即a=2atnt=3.n+1nn+1nn+1n故遞推公式為a+3=2(a+3),令b=a+3，則b=a+3=4,且n+

6、1nnn11ba+3宀17嚴(yán)=亠=2.所以1b/是以b=4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，則ba+3n1nnb=4X2n1=2n+1,n所以a=2n+13.nTOC o 1-5 h z類型4遞推公式為a=pa+qn(其中p,q均為常數(shù)，(pq(p1)(q1)豐0)。(或q,n+1nq,a=pa+rqn，其中p，q,r均為常數(shù))n+1n解法：該類型較類型3解法：該類型較類型3要復(fù)雜一些。一般地，要先在原遞推公式兩邊同除以qn+1，得: HYPERLINK l bookmark0 o Current Document apa1n11=n+。qn+1qqnq引入輔助數(shù)列1引入輔助數(shù)列1(其中b=身),n

7、nqn得：bn+1=-b+-再應(yīng)用類型3的方法解決。qnq=1a+()n+1，求數(shù)列1的通項(xiàng)公式。=1a+()n+1，求數(shù)列1的通項(xiàng)公式。3n2nTOC o 1-5 h zn16n+1112解：在a=a+()n+1兩邊乘以2n+1得：2n+1a=(2na)+1n+13n2n+13nn2n令b=2na，則b=b+1，應(yīng)用例7解法得：b=3nnn+13nnb1所以a=才=n2G)n數(shù)學(xué)驛站：n2n3類型5遞推公式為a=pa+qa(其中p，q均為常數(shù))。n+2n+1n解法：先把原遞推公式轉(zhuǎn)化為asa=t(asa)n+2n+1n+1nIs+1=p其中s，t滿足Lt=q，再應(yīng)用前面類型3的方法求解。n+

8、1n已知數(shù)列a滿足a=1,a=2a+1(neN*).求數(shù)列n+1nn1n+1nn例7.已知數(shù)列中，a=1,a=2,a=a+；a，求數(shù)列b的通項(xiàng)公式。n12n+23n+13nn21解：由a=a+a可轉(zhuǎn)化為asa=t(asa)n+23n+13nn+2n+1n+1n即a=(s+1)astan2s+t=31st=3s=11或t=3這里不妨選用(當(dāng)然也可選用1s=-3，大家可以試一試)，則n(aa是以首項(xiàng)為aan+12s+t=31st=3s=11或t=3這里不妨選用(當(dāng)然也可選用1s=-3，大家可以試一試)，則n(aa是以首項(xiàng)為aan+1n21=1，公比為-3的等比數(shù)列,aa=(aa)n+2n+13n+

9、1n1=(一3)n-1，應(yīng)用類型1的方法，分別令n=1,2,3,(n-1)，代入上式得所以aan+1n(n1)個(gè)等式累加之，即S-a1=110+(-3)1+(3)n2=1(-)n-131+-3731又a=1，所以a=一()n-1。1n443類型6遞推公式為S與a的關(guān)系式。(或S=f(a)nnnn解法：利用a=nS1SSnn1(壯進(jìn)行求解。(n2)例8.已知數(shù)列前n項(xiàng)和Snnn2n21)2)求a與a的關(guān)系；n+1n求數(shù)列僉的通項(xiàng)公式。n解：(1)由S=4a-小nn2n21得:n+1-J)2n-1=4an+12n-11于是SS=(aa)+(n+1nnn+12n2111所以a=a-a+na=a+-.

10、n+1nn+12n1n+12n2n(2)應(yīng)用類型4的方法，上式兩邊同乘以2n+1得:2n+1a=2na+2n+1n由a=S=4-a-丄na=1.于是數(shù)列1112121nan是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，n所以2na=2+2(n1)=2nna=nn2n1類型7雙數(shù)列型解法：根據(jù)所給兩個(gè)數(shù)列遞推公式的關(guān)系，靈活采用累加、累乘、化歸等方法求解。例9.已知數(shù)列b缶n1n1a二1(2a+b),b二(a+2b)，求數(shù)列b、哲的通項(xiàng)公式。n3n-1n-1n3n-1n-1nn11解：因a+b二一(2a+b)+(a+2b)二a+bnn3n-1n-13n-1n-1n-1n-1所以a+b二a+b=a+b=a+b=a+b=1nnn-1n-1n-2n-222111)即a+b二11)nn111乂因?yàn)閍b=(2a+b)(a+2b)(ab)TOC o 1-5 h znn