13.1.2 線段的垂直平分線的性質(zhì)（課件）-2022-2023學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)（人教版）

1、人教版 八年級(jí)上冊數(shù)學(xué)第十三章 軸對(duì)稱 13.1.2 線段的垂直平分線的性質(zhì)AB問題：線段是軸對(duì)稱圖形嗎？如果是，你能找出它的一條對(duì)稱軸嗎？這條對(duì)稱軸與線段存在著什么關(guān)系？A（B）B問題引入 如圖，直線l 垂直平分線段AB，P1，P2，P3，是l 上的點(diǎn)，分別量一量點(diǎn)P1，P2，P3， 到點(diǎn)A 與點(diǎn)B 的距離，你有發(fā)現(xiàn)什么嗎？請猜想點(diǎn)P1，P2，P3， 到點(diǎn)A 與點(diǎn)B 的距離之間的數(shù)量關(guān)系A(chǔ)BlP1P2P3P1A _P1BP2A _ P2BP3A _ P3B一、線段的垂直平分線的性質(zhì)猜想：點(diǎn)P1，P2，P3， 到點(diǎn)A 與點(diǎn)B 的距離分別相等 命題：線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相

2、等.由此你能得到什么結(jié)論？你能驗(yàn)證這一結(jié)論嗎？已知：如圖，直線lAB，垂足為C，AC =CB，點(diǎn)P 在l 上求證：PA =PB證明：lAB， PCA =PCB=90又 AC =CB，PC =PC， PCA PCB（SAS） PA =PBPABlC驗(yàn)證結(jié)論用幾何語言表示為： CA =CB，lAB，（點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上） PA =PB線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等PABlC知識(shí)要點(diǎn)線段垂直平分線的性質(zhì)找出圖中相等的線段，并說明理由.（1）點(diǎn)A在BC的垂直平分線上DAB=AC（2）ED是AB 的垂直平分線EA=EB練 習(xí)1如下圖 , 直線CD是線段AB的垂直平分線 , P

3、為直線CD上的一點(diǎn) , 已知線段PA5 , 那么線段PB的長度為( )A6 B5 C4 D32如下圖 , CD是AB的垂直平分線 , 假設(shè)AC1.6 cm , BD2.3 cm , 那么四邊形ACBD的周長是( )A3.9 cm B7.8 cm C4 cm D4.6 cmBB練一練3如下圖 , 在ABC中 , AB8 , BC6 , AC的垂直平分線MN分別交AB , AC于點(diǎn)M , N , 那么BCM的周長為_14反過來，如果PA =PB，那么點(diǎn)P 是否在線段AB 的垂直平分線上呢？已知：如圖，PA =PB求證：點(diǎn)P 在線段AB 的垂直平分線上PAB二、線段的垂直平分線的判定證明：過點(diǎn)P 作

4、AB 的垂線PC，垂足為點(diǎn)C則PCA =PCB =90在RtPCA 和RtPCB 中，PA =PB，PC =PC， RtPCA RtPCB（HL） AC =BC又 PCAB， 點(diǎn)P 在線段AB 的垂直平分線上PABC與線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上.PA=PB，點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上.符號(hào)語言表示：線段的垂直平分線的判定：ABlOP 1、從上面兩個(gè)結(jié)論可以看出，在線段AB的垂直平分線l上的點(diǎn)與點(diǎn)A，B的距離都相等. 2、反過來，與A，B的距離相等的點(diǎn)都在l上，所以直線l可以看成與兩點(diǎn)A，B的距離相等的所有點(diǎn)的集合.ABlOP 小結(jié)1已知 , 如下圖 , 直線PO與AB交

5、于點(diǎn)O , PAPB , 那么以下結(jié)論中準(zhǔn)確的選項(xiàng)是哪一項(xiàng)：( )AAOBOBPOABCPO垂直平分ABD點(diǎn)P在AB的垂直平分線上D練一練2如下圖 , BC10 , BD6 , AD4 , 那么D點(diǎn)在_的垂直平分線上AC3如下圖 , ABAC , DBDC , E是AD延長線上的一點(diǎn) , BE是否與CE相等？試說明理由。解 : 相等理由 : 連接BC , ABAC , 點(diǎn)A在線段BC的垂直平分線上 , 同理 , 點(diǎn)D也在線段BC的垂直平分線上兩點(diǎn)確定一條直線 , AD是線段BC的垂直平分線E是AD延長線上的一點(diǎn) , BECE 如圖，點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于某條直線成軸對(duì)稱，你能作出這條直線嗎？AB分析：

6、我們只要連接點(diǎn)A和點(diǎn)B,作出線段AB的垂直平分線，就可得到點(diǎn)A和點(diǎn)B的對(duì)稱軸.為此作出到點(diǎn)A，B的距離相等的兩點(diǎn)，即線段AB的垂直平分線上的兩點(diǎn)，從而作出線段AB的垂直平分線.三、尺規(guī)作圖ABCD作法：（1）分別以點(diǎn)A，B為圓心，以大于 AB的長為半徑作弧，兩弧交于C，D兩點(diǎn).（2）作直線CD. CD即為所求.特別說明：這個(gè)作法實(shí)際上就是線段垂直平分線的尺規(guī)作圖，我們也可以用這種方法確定線段的中點(diǎn).如圖，A，B是路邊兩個(gè)新建小區(qū)，要在公路邊增設(shè)一個(gè)公共汽車站.使兩個(gè)小區(qū)到車站的路程一樣長，該公共汽車站應(yīng)建在什么地方？AB分析：增設(shè)的公共汽車站要滿足到兩個(gè)小區(qū)的路程一樣長，應(yīng)在線段AB的垂直平分

7、線上，又要在公路邊上，所以找到AB垂直平分線與公路的交點(diǎn)便是.公共汽車站例1 如圖，已知點(diǎn)A、點(diǎn)B以及直線l.(1)用尺規(guī)作圖的方法在直線l上求作一點(diǎn)P，使PAPB.(保留作圖痕跡，不要求寫出作法)；解：(1)如圖所示：MNABlP(2)在AMP和BNP中，AM=PN，APBP，PMBN， AMPPNB(SSS)，MAPNPB.MNABlP例1-1 如圖，已知點(diǎn)A、點(diǎn)B以及直線l.(1)用尺規(guī)作圖的方法在直線l上求作一點(diǎn)P，使PAPB.(保留作圖痕跡，不要求寫出作法)；(2)在(1)中所作的圖中，若AMPN，BNPM，求證：MAPNPB.例2 如圖，某地有兩所大學(xué)和兩條交叉的公路圖中點(diǎn)M，N表

8、示大學(xué)，OA，OB表示公路，現(xiàn)計(jì)劃修建一座物資倉庫，希望倉庫到兩所大學(xué)的距離相同，到兩條公路的距離也相同，你能確定出倉庫P應(yīng)該建在什么位置嗎？請?jiān)趫D中畫出你的設(shè)計(jì)(尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡)ONMAB方法總結(jié)：到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上，到兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在兩點(diǎn)連線的垂直平分線上.解：如圖所示：P想一想：下圖中的五角星有幾條對(duì)稱軸？如何作出這些對(duì)稱軸呢？ AB作法：（1）找出五角星的一對(duì)對(duì)稱點(diǎn)A和B，連接AB（2）作出線段AB的垂直平分線l則l就是這個(gè)五角星的一條對(duì)稱軸 l用同樣的方法，可以找出五條對(duì)稱軸，所以五角星有五條對(duì)稱軸 作軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸方法總結(jié)：對(duì)于軸對(duì)稱圖形，只

9、要找到任意一組對(duì)稱點(diǎn)，作出對(duì)稱點(diǎn)所連線段的垂直平分線，即能得此圖形的對(duì)稱軸.例3 如圖，ABC和ABC關(guān)于直線l對(duì)稱，請用無刻度的直尺作出它們的對(duì)稱軸.ABCA B C l方法總結(jié)：如果成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形對(duì)稱點(diǎn)連線段（或延長線）相交，那么交點(diǎn)必定在對(duì)稱軸上.解：延長BC、BC交于點(diǎn)P，延長AC，AC交于點(diǎn)Q，連接PQ，則直線PQ即為所要求作的直線l.PQ 1.作出下列圖形的一條對(duì)稱軸，和同學(xué)比較一下，你們作出的對(duì)稱軸一樣嗎？練一練2.如圖，與圖形 A 成軸對(duì)稱的是哪個(gè)圖形？畫出它的對(duì)稱軸. ABCD1.如圖，角是軸對(duì)稱圖形嗎？如果是，它的對(duì)稱軸是什么？課堂練習(xí) 2.如圖1-23，在ABC中，A

10、B = AC，A = 120, AB的垂直平分線交BC于D，求證：CD =2BD. 證明：連結(jié)AD D在AB垂直平分線上 BD=AD B=BAD BAC=120 AB=AC B=C=30 DAC=90 在RtDAC中 C=30 DC=2AD即DC=2BD. 3.如圖，若AC=12，BC=7，AB的垂直平分線交AB于E，交AC于D，求BCD的周長.BD=AD，ABCDE解：ED是線段AB的垂直平分線， BCD的周長=BD+DC+BC BCD的周長=AD+DC+BC =AC+BC=12+7=19. 4.如圖所示，AOB30，點(diǎn)P為AOB內(nèi)一點(diǎn)，OP8，分別作出點(diǎn)P關(guān)于OA，OB的對(duì)稱點(diǎn)P1，P2，

11、連接P1P2交OA于M，交OB于N，則PMN的周長為 85如圖，AD與BC相交于點(diǎn)O，OAOC，AC，BEDE 求證：OE垂直平分BD證明：在AOB與COD中，AOBCOD（ASA），OBOD，點(diǎn)O在線段BD的垂直平分線上，BEDE，點(diǎn)E在線段BD的垂直平分線上，OE垂直平分BD畫一畫： 利用尺規(guī)作三角形三條邊的垂直平分線，完成之后你發(fā)現(xiàn)了什么？發(fā)現(xiàn)：三角形三邊的垂直平分線交于一點(diǎn)這一點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等 拓展：三角形三邊的垂直平分線的性質(zhì) 剪一個(gè)三角形紙片通過折疊找出每條邊的垂直平分線結(jié)論：三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn) 怎樣證明這個(gè)結(jié)論呢？做一做：點(diǎn)撥：要證明三條直線相交于一點(diǎn)

12、，只要證明其中兩條直線的交點(diǎn)在第三條直線上即可.思路可表示如下：試試看，你會(huì)寫出證明過程嗎？BCAPlnml是AB的垂直平分線m是BC的垂直平分線PA=PBPB=PCPA=PC點(diǎn)P在AC的垂直平分線上結(jié)論證明：求證：三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等已知：如圖，在ABC中，AB，BC的垂直平分線相交于點(diǎn)P 求證：點(diǎn)P也在AC的垂直平分線上， 且PA=PB=PCBCAPlnm證明：點(diǎn)P在AB，AC的垂直平分線上， PA=PB，PA=PC （線段垂直平分線上 的點(diǎn)到線段兩端距離相等）.同理，PB=PC， PA=PB=PC，點(diǎn)P在BC的垂直平分線上 (到線段兩端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上）.即邊AC的垂直平分線經(jīng)過點(diǎn)P.BCAPlnm文字語言： 三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn),并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.三角形三邊的垂直平分線的性質(zhì)結(jié)論