第2講 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)（2022年高考真題）（解析版）

1、第2講 函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 一、單選題1（2022全國高考真題）已知函數(shù)的定義域為R，且，則（）ABC0D1【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意賦值即可知函數(shù)的一個周期為，求出函數(shù)一個周期中的的值，即可解出【詳解】因為，令可得，所以，令可得，即，所以函數(shù)為偶函數(shù)，令得，即有，從而可知，故，即，所以函數(shù)的一個周期為因為，所以一個周期內(nèi)的由于22除以6余4，所以故選：A2（2022全國高考真題（理）已知函數(shù)的定義域均為R，且若的圖像關(guān)于直線對稱，則（）ABCD【答案】D【解析】【分析】根據(jù)對稱性和已知條件得到，從而得到，然后根據(jù)條件得到的值，再由題意得到從而得到的值即可求解.【詳解】因為的圖像關(guān)于直線對稱，

2、所以，因為，所以，即，因為，所以，代入得，即，所以，.因為，所以，即，所以.因為，所以，又因為，聯(lián)立得，所以的圖像關(guān)于點中心對稱，因為函數(shù)的定義域為R，所以因為，所以.所以.故選：D【點睛】含有對稱軸或?qū)ΨQ中心的問題往往條件比較隱蔽，考生需要根據(jù)已知條件進(jìn)行恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化，然后得到所需的一些數(shù)值或關(guān)系式從而解題.3（2022全國高考真題）已知正四棱錐的側(cè)棱長為l，其各頂點都在同一球面上.若該球的體積為，且，則該正四棱錐體積的取值范圍是（）ABCD【答案】C【解析】【分析】設(shè)正四棱錐的高為，由球的截面性質(zhì)列方程求出正四棱錐的底面邊長與高的關(guān)系，由此確定正四棱錐體積的取值范圍.【詳解】 球的體積為，所

3、以球的半徑,設(shè)正四棱錐的底面邊長為，高為，則，,所以，所以正四棱錐的體積，所以，當(dāng)時，當(dāng)時，所以當(dāng)時，正四棱錐的體積取最大值，最大值為，又時，時，,所以正四棱錐的體積的最小值為，所以該正四棱錐體積的取值范圍是.故選：C.4（2022全國高考真題）設(shè)，則（）ABCD【答案】C【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)， 導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，由此確定的大小.【詳解】設(shè)，因為，當(dāng)時，當(dāng)時，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，故，即，所以，所以，故，所以，故，設(shè)，則,令，當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時，所以當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，即，所以故選：C.5（2022全國高考真題（文）如圖是下列

4、四個函數(shù)中的某個函數(shù)在區(qū)間的大致圖像，則該函數(shù)是（）ABCD【答案】A【解析】【分析】由函數(shù)圖像的特征結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)逐項排除即可得解.【詳解】設(shè)，則，故排除B;設(shè)，當(dāng)時，所以，故排除C;設(shè)，則，故排除D.故選：A.6（2022全國高考真題（文）函數(shù)在區(qū)間的最小值、最大值分別為（）ABCD【答案】D【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)區(qū)間，從而判斷出在區(qū)間上的最小值和最大值.【詳解】，所以在區(qū)間和上，即單調(diào)遞增；在區(qū)間上，即單調(diào)遞減，又，所以在區(qū)間上的最小值為，最大值為.故選：D7（2022全國高考真題（理）已知，則（）ABCD【答案】A【解析】【分析】由結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可得；構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)

5、可得，即可得解.【詳解】因為,因為當(dāng)所以,即,所以；設(shè)，所以在單調(diào)遞增，則,所以，所以,所以，故選：A8（2022全國高考真題（理）函數(shù)在區(qū)間的圖象大致為（）ABCD【答案】A【解析】【分析】由函數(shù)的奇偶性結(jié)合指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的性質(zhì)逐項排除即可得解.【詳解】令，則，所以為奇函數(shù)，排除BD；又當(dāng)時，所以，排除C.故選：A.9（2022全國高考真題（理）當(dāng)時，函數(shù)取得最大值，則（）ABCD1【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意可知，即可解得，再根據(jù)即可解出【詳解】因為函數(shù)定義域為，所以依題可知，而，所以，即，所以，因此函數(shù)在上遞增，在上遞減，時取最大值，滿足題意，即有故選：B.10（2022全國高

6、考真題（文）已知，則（）ABCD【答案】A【解析】【分析】根據(jù)指對互化以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可知，再利用基本不等式，換底公式可得，然后由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可解出【詳解】由可得，而，所以，即，所以又，所以，即，所以綜上，故選：A.二、多選題11（2022全國高考真題）已知函數(shù)的圖像關(guān)于點中心對稱，則（）A在區(qū)間單調(diào)遞減B在區(qū)間有兩個極值點C直線是曲線的對稱軸D直線是曲線的切線【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)逐個判斷各選項，即可解出【詳解】由題意得：，所以，即，又，所以時，故對A，當(dāng)時，由正弦函數(shù)圖象知在上是單調(diào)遞減；對B，當(dāng)時，由正弦函數(shù)圖象知只有1個極值點，由，解得，即為函數(shù)的唯

7、一極值點；對C，當(dāng)時，直線不是對稱軸；對D，由得：，解得或,從而得：或,所以函數(shù)在點處的切線斜率為，切線方程為：即故選：AD12（2022全國高考真題）已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記，若，均為偶函數(shù)，則（）ABCD【答案】BC【解析】【分析】轉(zhuǎn)化題設(shè)條件為函數(shù)的對稱性，結(jié)合原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖象的關(guān)系，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)逐項判斷即可得解.【詳解】因為，均為偶函數(shù)，所以即，所以，則，故C正確；函數(shù)，的圖象分別關(guān)于直線對稱，又，且函數(shù)可導(dǎo)，所以，所以，所以，所以，故B正確，D錯誤；若函數(shù)滿足題設(shè)條件，則函數(shù)（C為常數(shù)）也滿足題設(shè)條件，所以無法確定的函數(shù)值，故A錯誤.故選：BC.【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決

8、本題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化題干條件為抽象函數(shù)的性質(zhì)，準(zhǔn)確把握原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖象間的關(guān)系，準(zhǔn)確把握函數(shù)的性質(zhì)（必要時結(jié)合圖象）即可得解.13（2022全國高考真題）已知函數(shù)，則（）A有兩個極值點B有三個零點C點是曲線的對稱中心D直線是曲線的切線【答案】AC【解析】【分析】利用極值點的定義可判斷A，結(jié)合的單調(diào)性、極值可判斷B，利用平移可判斷C；利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義判斷D.【詳解】由題，令得或，令得，所以在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，所以是極值點，故A正確；因，所以，函數(shù)在上有一個零點，當(dāng)時，即函數(shù)在上無零點，綜上所述，函數(shù)有一個零點，故B錯誤；令，該函數(shù)的定義域為，則是奇函數(shù)，是的對稱中心，將的圖象向上移動一

9、個單位得到的圖象，所以點是曲線的對稱中心，故C正確；令，可得，又，當(dāng)切點為時，切線方程為，當(dāng)切點為時，切線方程為，故D錯誤.故選：AC.三、雙空題14（2022全國高考真題）曲線過坐標(biāo)原點的兩條切線的方程為_，_【答案】 【解析】【分析】分和兩種情況，當(dāng)時設(shè)切點為，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可求出切線的斜率，從而表示出切線方程，再根據(jù)切線過坐標(biāo)原點求出，即可求出切線方程，當(dāng)時同理可得；【詳解】解： 因為，當(dāng)時，設(shè)切點為，由，所以，所以切線方程為，又切線過坐標(biāo)原點，所以，解得，所以切線方程為，即；當(dāng)時，設(shè)切點為，由，所以，所以切線方程為，又切線過坐標(biāo)原點，所以，解得，所以切線方程為，即；故答案為：；1

10、5（2022全國高考真題（文）若是奇函數(shù)，則_，_【答案】 ； 【解析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義即可求出【詳解】因為函數(shù)為奇函數(shù)，所以其定義域關(guān)于原點對稱由可得，所以，解得：，即函數(shù)的定義域為，再由可得，即，在定義域內(nèi)滿足，符合題意故答案為：；四、填空題16（2022全國高考真題（理）已知和分別是函數(shù)（且）的極小值點和極大值點若，則a的取值范圍是_【答案】【解析】【分析】由分別是函數(shù)的極小值點和極大值點，可得時，時，再分和兩種情況討論，方程的兩個根為，即函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個不同的交點，構(gòu)造函數(shù)，利用指數(shù)函數(shù)的圖象和圖象變換得到的圖象，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得過原點的切線的斜率，根據(jù)幾何意義可得

11、出答案.【詳解】解：，因為分別是函數(shù)的極小值點和極大值點，所以函數(shù)在和上遞減，在上遞增，所以當(dāng)時，當(dāng)時，若時，當(dāng)時，則此時，與前面矛盾，故不符合題意，若時，則方程的兩個根為，即方程的兩個根為，即函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個不同的交點，,函數(shù)的圖象是單調(diào)遞減的指數(shù)函數(shù)，又,的圖象由指數(shù)函數(shù)向下關(guān)于軸作對稱變換，然后將圖象上的每個點的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)伸長或縮短為原來的倍得到，如圖所示：設(shè)過原點且與函數(shù)的圖象相切的直線的切點為，則切線的斜率為，故切線方程為，則有，解得，則切線的斜率為，因為函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個不同的交點，所以，解得，又，所以，綜上所述，的范圍為.【點睛】本題考查了函數(shù)的極值點問題，

12、考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查了轉(zhuǎn)化思想及分類討論思想，有一定的難度.17（2022全國高考真題）若曲線有兩條過坐標(biāo)原點的切線，則a的取值范圍是_【答案】【解析】【分析】設(shè)出切點橫坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線方程，根據(jù)切線經(jīng)過原點得到關(guān)于的方程，根據(jù)此方程應(yīng)有兩個不同的實數(shù)根，求得的取值范圍.【詳解】，設(shè)切點為,則,切線斜率,切線方程為：,切線過原點，,整理得：,切線有兩條，,解得或,的取值范圍是,故答案為：五、解答題18（2022全國高考真題（文）已知函數(shù)(1)當(dāng)時，求的最大值；(2)若恰有一個零點，求a的取值范圍【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，即可得解；（

13、2）求導(dǎo)得，按照、及結(jié)合導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的極值，即可得解.(1)當(dāng)時，則，當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減；所以；(2)，則，當(dāng)時，所以當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減；所以，此時函數(shù)無零點，不合題意；當(dāng)時，在上，單調(diào)遞增；在上，單調(diào)遞減；又，由（1）得，即，所以，當(dāng)時，則存在，使得，所以僅在有唯一零點，符合題意；當(dāng)時，所以單調(diào)遞增，又，所以有唯一零點，符合題意；當(dāng)時，在上，單調(diào)遞增；在上，單調(diào)遞減；此時，由（1）得當(dāng)時，所以，此時存在，使得，所以在有一個零點，在無零點，所以有唯一零點，符合題意；綜上，a的取值范圍為.【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決本題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與單調(diào)性

14、，把函數(shù)零點問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性與極值的問題.19（2022全國高考真題）已知函數(shù)(1)當(dāng)時，討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時，求a的取值范圍；(3)設(shè)，證明：【答案】(1)的減區(qū)間為，增區(qū)間為.(2)(3)見解析【解析】【分析】（1）求出，討論其符號后可得的單調(diào)性.（2）設(shè)，求出，先討論時題設(shè)中的不等式不成立，再就結(jié)合放縮法討論符號，最后就結(jié)合放縮法討論的范圍后可得參數(shù)的取值范圍.（3）由（2）可得對任意的恒成立，從而可得對任意的恒成立，結(jié)合裂項相消法可證題設(shè)中的不等式.(1)當(dāng)時，則，當(dāng)時，當(dāng)時，故的減區(qū)間為，增區(qū)間為.(2)設(shè)，則，又，設(shè)，則，若，則，因為為連續(xù)不間斷函數(shù)，故存在，使得，總有，

15、故在為增函數(shù)，故，故在為增函數(shù)，故，與題設(shè)矛盾.若，則，下證：對任意，總有成立，證明：設(shè)，故，故在上為減函數(shù)，故即成立.由上述不等式有，故總成立，即在上為減函數(shù)，所以.當(dāng)時，有，所以在上為減函數(shù)，所以.綜上，.(3)取，則，總有成立，令，則，故即對任意的恒成立.所以對任意的，有，整理得到：，故，故不等式成立.【點睛】思路點睛：函數(shù)參數(shù)的不等式的恒成立問題，應(yīng)該利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，注意結(jié)合端點處導(dǎo)數(shù)的符號合理分類討論，導(dǎo)數(shù)背景下數(shù)列不等式的證明，應(yīng)根據(jù)已有的函數(shù)不等式合理構(gòu)建數(shù)列不等式.20（2022全國高考真題）已知函數(shù)和有相同的最小值(1)求a；(2)證明：存在直線，其與兩條曲線和共有

16、三個不同的交點，并且從左到右的三個交點的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列【答案】(1)(2)見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)的單調(diào)性，從而可得相應(yīng)的最小值，根據(jù)最小值相等可求a.注意分類討論.（2）根據(jù)（1）可得當(dāng)時， 的解的個數(shù)、的解的個數(shù)均為2，構(gòu)建新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可得該函數(shù)只有一個零點且可得的大小關(guān)系，根據(jù)存在直線與曲線、有三個不同的交點可得的取值，再根據(jù)兩類方程的根的關(guān)系可證明三根成等差數(shù)列.(1)的定義域為，而，若，則，此時無最小值，故.的定義域為，而.當(dāng)時，故在上為減函數(shù)，當(dāng)時，故在上為增函數(shù)，故.當(dāng)時，故在上為減函數(shù)，當(dāng)時，故在上為增函數(shù)，故.因為和有相同的最小值，故，整理得到，其中

17、，設(shè)，則，故為上的減函數(shù)，而，故的唯一解為，故的解為.綜上，.(2)由（1）可得和的最小值為.當(dāng)時，考慮的解的個數(shù)、的解的個數(shù).設(shè)，當(dāng)時，當(dāng)時，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以，而，設(shè)，其中，則，故在上為增函數(shù)，故，故，故有兩個不同的零點，即的解的個數(shù)為2.設(shè)，當(dāng)時，當(dāng)時，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以，而，有兩個不同的零點即的解的個數(shù)為2.當(dāng)，由（1）討論可得、僅有一個零點，當(dāng)時，由（1）討論可得、均無零點，故若存在直線與曲線、有三個不同的交點，則.設(shè)，其中，故，設(shè)，則，故在上為增函數(shù)，故即，所以，所以在上為增函數(shù)，而，故在上有且只有一個零點，且：當(dāng)時，即即，當(dāng)時，即即，因此若存在直線

18、與曲線、有三個不同的交點，故，此時有兩個不同的零點，此時有兩個不同的零點，故，所以即即，故為方程的解，同理也為方程的解又可化為即即，故為方程的解，同理也為方程的解，所以，而，故即.【點睛】思路點睛：函數(shù)的最值問題，往往需要利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，此時注意對參數(shù)的分類討論，而不同方程的根的性質(zhì)，注意利用方程的特征找到兩類根之間的關(guān)系.21（2022全國高考真題（理）已知函數(shù)(1)當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；(2)若在區(qū)間各恰有一個零點，求a的取值范圍【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）先算出切點,再求導(dǎo)算出斜率即可（2）求導(dǎo),對分類討論,對分兩部分研究(1)的定義域為當(dāng)時,所以切點為,所以切線斜率為2所以曲線在點處的切線方程為(