計算機圖形學二維圖形變換課件

1、圖形變換圖形變換是計算機圖形學基礎內容之一。內容：幾何變換；視圖變換；投影變換。作用：把用戶坐標系與設備坐標系聯(lián)系起來；可由簡單圖形生成復雜圖形；可用二維圖形表示三維形體；動態(tài)顯示。圖形變換 圖形變換的基本原理是： （1）圖形的拓撲關系不變； （2）圖形的幾何關系可以改變。 所謂圖形拓撲關系不變是指圖形的連邊規(guī)則不變，即原來是相鄰的點變換后依然相鄰，原來不相交的線變換后依然不相交。所謂圖形的幾何關系可以改變是指圖形的點與點之間的位置和距離可以改變。例如：AA1BB1CC1D1DAA1BB1CC1DD1圖形變換 圖形變換：對圖形的幾何信息經過幾何變換后產生新的圖形。圖形變換的兩種形式：1.圖形不

2、變，坐標系改變；變動后該圖形在新的坐標系下具有新的坐標值 。2.圖形改變，坐標系不變，變動后的圖形在坐標系中的坐標值發(fā)生變化。變換的數學基礎矢量的數乘 矢量的點積性質變換的數學基礎矢量的長度 單位矢量 矢量的夾角矢量的叉積 矩陣的含義矩陣：由mn個數按一定位置排列的一個 整體，簡稱mn矩陣。A=其中，aij稱為矩陣A的第i行第j列元素變換的數學基礎矩陣運算加法設A，B為兩個具有相同行和列元素的矩陣A+B = 數乘kA = k*aij|i=1.m, j=1,. n變換的數學基礎乘法設A為32矩陣，B為23矩陣 C = A B = C=Cmp = Am n Bnp cij = aik*bkj單位矩

3、陣 在一矩陣中，其主對角線各元素aii=1,其余皆為0的矩陣稱為單位矩陣。n階單位矩陣通常記作In 。 Am n = Am n In k=1,n變換的數學基礎矩陣運算的基本性質交換律與結合律師 A+B=B+A; A+(B+C)=(A+B)+C數乘的分配律及結合律 a(A+B) = aA+aB; a(A B) = (aA) B=A (aB) (a+b)A = aA + bA a(bA) = (ab)A變換的數學基礎矩陣乘法的結合律及分配律 A(B C) = (A B)C (A+B) C = A C+ B C C (A+B) = C A + C B矩陣的乘法不適合交換律變換的數學基礎1.平移變換（

4、translation）平行于x軸的方向上的移動量平行于y軸的方向上的移動量 5.2.2幾種典型的二維圖形幾何變換xy平移變換（5-7）（5-8）平行于x軸的方向上的縮放量平行于y軸的方向上的縮放量2.比例變換（scale）指相對于原點的比例變換 yx相對于原點的比例變換相對于重心的比例變換yx重心（5-10）（5-9）比例變換的性質當 時，變換前的圖形與變換后的圖形相似 當 時，圖形將放大 當 時，圖形將縮小當 時，圖形將發(fā)生畸變 3.旋轉變換（rotation） 點P繞原點逆時針轉角（設逆時針旋轉方向為正方向）（5-11）yx旋轉變換（5-12）將式（5-11）代入式（5-12）得：（5-

5、13）（5-14）3.旋轉變換（rotation）5.2.3 齊次坐標（homogeneous coordinates）技術 1.齊次坐標技術的引入 平移、比例和旋轉等變換的組合變換 處理形式不統(tǒng)一，將很難把它們級聯(lián)在一起。 2.變換具有統(tǒng)一表示形式的優(yōu)點便于變換合成便于硬件實現 3.齊次坐標技術的基本思想 把一個n維空間中的幾何問題轉換到n+1維空間中解決 5.基本幾何變換的齊次坐標表示 平移變換 比例變換5.2.3常用的二維幾何變換 1.對稱變換（symmetry）（反射變換或鏡像變換） （1）相對于y軸對稱oyx對稱變換（1）yxo對稱變換（2）（2）相對于x軸對稱（3）相對于原點對稱（

6、即中心對稱）（4）相對于直線y=x對稱oxy對稱變換（3）xyoy=x對稱變換（4）（5）相對于直線y=-x對稱xyoy=-x對稱變換（5）錯切變換（shear） 錯切變換是將坐標點沿x和y軸發(fā)生不等量的變換，得到點的過程 。（a）正方形（b）沿+x方向錯切（c）沿-x方向錯切錯切變換（1）沿 x 軸方向關于 y 軸錯切 將圖形上關于y軸的平行線沿x方向推成角的 傾斜線，而保持y坐標不變。x 錯切變換（1）yx（d）沿+y方向錯切（e）沿-y方向錯切（f）沿+x和+y方向錯切（2）沿 y 軸方向關于 x 軸錯切 將圖形上關于x軸的平行線沿y方向推成角的傾斜線，而保持x坐標不變。 x 錯切變換（

7、2）yy沿x，y方向的錯切變換的坐標表示為： 相應的齊次坐標矩陣表示為：?沿x，y兩個方向的二維錯切變換矩陣為： 其中c、b為錯切參數。 的非對角線元素大多為零，如果c和b不為零，則意味著對圖形進行錯切變換。 令b0可以得到沿x方向的錯切變換，c0是沿x正向的錯切變換，c0是沿y正向的錯切變換，b0是沿y負向的錯切變換. 在前面的變換中，子矩陣 上面討論的五種變換給出的都是點變換的公式，對于線框模型，圖形的變換實際上都可以通過點變換來完成。例如直線段的變換可以通過對兩個頂點坐標進行變換，連接新頂點得到變換后的新直線；多邊形的變換可以通過對每個頂點進行變換，連接新頂點得到變換后的新多邊形來實現。

8、曲線的變換可通過變換控制多邊形的控制點并重新畫線來完成。 符合下面形式的坐標變換稱為二維仿射變換（Affine Transformation）。 變換后的坐標x和y都是變換前的坐標x和y的線性函數。參數aij是由變換類型確定的常數。 仿射變換具有平行線變換成平行線，有限點映射到有限點的一般特性。平移、比例、旋轉、反射和錯切五種變換都是二維仿射變換的特例，任何一組二維仿射變換總可表示為這五種變換的組合。因此，平移、比例、旋轉、反射的仿射變換保持變換前后兩直線間的角度、平行關系和長度之比不改變。復合變換（組合變換） 復合變換又稱級聯(lián)變換，指對圖形做一次以上的幾何變換。注意：任何一個線性變換都可以分

9、解為上述幾類變換。 復合變換是指圖形做了一次以上的基本幾何變換，是基本幾何變換的組合形式，復合變換矩陣是基本幾何變換矩陣的組合。其中，T為復合變換矩陣，為單次基本幾何變換矩陣。合變換中矩陣相乘的順序不可交換。通常先計算出值得注意是：進行復合變換時，需要注意矩陣相乘的順序。由于矩陣乘法不滿足交換律，因此通常再計算例1：復合平移求點P(x,y)經第一次平移變換（Tx1,Ty1），第二次平移變換（Tx2,Ty2）后的坐標P*（x*, y*）例1：復合平移解：設點P(x,y,1)經第一次平移變換后的坐標為P(x y 1)，則經第二次平移變換后的坐標為P*(x* y* 1)變換矩陣為Tt=Tt1Tt2例

10、2：多種復合組合例:對一線段先放大2倍(即Sx=Sy=2)，再平移Tx=10,Ty=0。yx(x,y)yx(x,y)yx(x,y)Tx1.相對于任意點（x0 , y0）的比例變換 對任意點比例變換的步驟： （1）平移變換 （2）相對于原點的比例變換 （3）平移變換 當（x0 , y0）為圖形重心的坐標時，這種變換實現的是相對于重心的比例變換。 5.3.3 二維組合變換令任意點比例變換示意圖平移平移比例則有2.繞任意點（x0 , y0）的旋轉變換 繞任意點旋轉變換的步驟： （1）平移變換 （2）對圖形繞原點進行旋轉變換 （3）平移變換 (x2,y2)(x3,y3)(x0,y0)Oxy(x1,y1

11、)(x4,y4)相對于任意點(x0,y0)的旋轉變換任意點旋轉變換示意圖平移平移旋轉令則有 前面已經定義，二維基本幾何變換都是相對于坐標原點進行的平移、比例、旋轉、反射和錯切五種變換，但在實際應用中常會遇到參考點不在坐標原點的情況。相對于任一參考點的變換方法為首先將參考點平移到坐標原點，對坐標原點進行二維基本幾何變換，然后再將參考點平移回原位置。 例1 一個由頂點P1（10，10），P2（30，10）和P3（20，25）所定義的三角形，如圖5-6所示，相對于點Q（10，25）逆時針旋轉30o，求變換后的三角形頂點坐標。P1P2P3Q 圖 5-6 示例圖第一步 Q點平移至坐標原點，如圖5-7所示

12、。QP3P1P2圖5-7 平移 變換矩陣為：。第二步 三角形相對于坐標原點逆時針旋轉30，如圖5-8所示。P1P2P3Q 圖 5-8 旋轉 變換矩陣為：。P1P2P3Q第三步 參考點Q平移回原位置，如圖5-9所示。變換矩陣為：圖 5-9 反平移 圖形變換后的頂點的規(guī)范化齊次坐標矩陣等于變換前的規(guī)范化齊次坐標矩陣乘以變換矩陣。而所以 這樣圖形變換后的頂點坐標為P1（17.5，12.01），P2（34.82，22.01）和P3（18.66，30）。5.3.3 相對于任意方向的二維幾何變換 二維基本幾何變換是相對于坐標軸進行的平移、比例、旋轉、反射和錯切五種變換，但在實際應用中常會遇到變換方向不與坐

13、標軸重合的情況。相對于任意方向的變換方法為首先對任意方向做旋轉變換，使變換方向與坐標軸重合，然后對坐標軸進行二維基本幾何變換，最后做反向旋轉變換，將任意方向還原回原來的位置。例2 圖5-11所示三角形相對于軸線y=kx+b作反射變換，求每一步相應的變換矩陣。y=kx+b（0，b） 圖5-11原始圖形 第一步 將點（0，b）平移至坐標原點，如圖5-12所示。 圖5-12平移 變換矩陣為：第二步 將軸線y=kx繞坐標原點順時針旋轉角(=arctank)，落于x軸上，如圖5-13所示。變換矩陣為：圖5-13旋轉 第三步 三角形相對x軸作反射變換，如圖5-14所示。變換矩陣為： 圖5-14反射 第四步

14、 將軸線y=kx逆時針旋轉角(=arctank) ，如圖5-15所示。變換矩陣為：圖5-15反旋轉 圖5-16反平移 第五步 將軸線平移回原來的位置，如圖5-16所示。變換矩陣為：5.4 二維圖形裁剪5.4.1 圖形學中常用的坐標系5.4.2 窗口和視區(qū)及窗視變換5.4.3 窗視變換矩陣5.4.1 圖形學中常用的坐標系 計算機圖形學中常用的坐標系有用戶坐標系、觀察坐標系、設備坐標系和規(guī)格化設備坐標系等。1.用戶坐標系（User Coordinate ，UC) 用戶定義原始圖形所采用的坐標系稱為用戶坐標系。用戶坐標系通常根據應用的需要可以選擇直角坐標系、圓柱坐標系、球坐標系以及極坐標系等等。圖5

15、-17所示為常用的二維和三維用戶直角坐標系。 5-17 二維和三維用戶坐標系 2.觀察坐標系(View Coordinate ，VC) 依據觀察窗口的方向和形狀在用戶坐標系中定義的坐標系稱為觀察坐標系，觀察坐標系用于指定圖形的哪一部分可以輸出范圍。 5-18觀察坐標系3.設備坐標系 (Device Coordinate ，DC) 顯示器等圖形輸出設備自身都有一個坐標系稱為設備坐標系，也稱為屏幕坐標系。設備坐標系是二維坐標系，原點位于屏幕左上角，x軸垂直向右，y軸垂直向下，基本單位為像素。 5-19 設備坐標系 5-20 規(guī)格化設備坐標系 4.規(guī)格化設備坐標系 (Normalized Devic

16、e Coordinate ，NDC) 規(guī)格化設備坐標系是將設備坐標系規(guī)格化到（0.0，0.0）到（1.0，1.0）的范圍內而定義的坐標系。規(guī)格化設備坐標系獨立于具體輸出設備。一旦圖形變換到規(guī)格化設備坐標系中，只要作一個簡單的乘法運算即可映射到具體的設備坐標系中。有了規(guī)格化設備坐標系后，圖形的輸出可以在抽象的顯示設備上進行討論，因而這種圖形學又稱為與具體設備無關的圖形學。5.4.2 窗口和視區(qū)及窗視變換 在觀察坐標系中定義的確定顯示內容的區(qū)域稱為窗口。顯然此時窗口內的圖形是用戶希望在屏幕上輸出的，窗口是裁剪圖形的標準參照物。 在設備坐標系中定義的輸出圖形的區(qū)域稱為視區(qū)。視區(qū)和窗口的大小可以不相同

17、。一般情況下，用戶把窗口內感興趣的圖形輸出到屏幕上相應的視區(qū)內。5-21三個窗口 5-22 三個視區(qū) 圖形輸出需要進行從窗口到視區(qū)的變換，只有窗口內的圖形才能在視區(qū)中輸出，并且輸出的形狀要根據視區(qū)的大小進行調整，這稱為窗視變換（Window Viewport Transformation，WVT）。在二維圖形觀察中，可以這樣理解，窗口相當于一個一扇窗戶，窗口內的圖形是希望看到的，就在視區(qū)中輸出，窗口外的圖形不希望看到，不在視區(qū)中輸出，因此需要對窗口中輸出的二維圖形進行裁剪。 在計算機圖形學術語中，窗口最初是指要觀察的圖形區(qū)域。但是隨著Windows的出現，窗口概念已廣泛用于圖形系統(tǒng)中，泛指任何可以移動，改變大小、激活或變?yōu)闊o效的屏幕上的矩形區(qū)域。在本章中，窗口回歸到其的原始定義，是在觀察坐標系中確定輸出圖