中心對(duì)稱圖形-平行四邊形全章復(fù)習(xí)與鞏固提高知識(shí)講解

1、中心對(duì)稱圖形一一平行四邊形全章復(fù)習(xí)與鞏固（提高）責(zé)編：杜少波.掌握旋轉(zhuǎn)的概念，探索它的基本性質(zhì)，理解對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等、對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋 轉(zhuǎn)中心連線所成的角.理解中心對(duì)稱圖形的定義和性質(zhì).掌握平行四邊形、矩形、菱形、正方形的概念，了解它們之間的關(guān)系.探索并掌握平行四邊形、矩形、菱形、正方形的有關(guān)性質(zhì)和常用判別方法，并能運(yùn)用這 些知識(shí)進(jìn)行有關(guān)的證明和計(jì)算.掌握三角形中位線定理.【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、旋轉(zhuǎn)的概念和性質(zhì)將圖形繞一個(gè)定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)一定的角度，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)稱為圖形的旋轉(zhuǎn)一個(gè)圖形和它經(jīng)過旋轉(zhuǎn)所得到的圖形中，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心距離相等，兩組對(duì)應(yīng)點(diǎn)分 別與旋轉(zhuǎn)中心連線所成的角相等.要點(diǎn)二

2、、中心對(duì)稱與中心對(duì)稱圖形一個(gè)圖形繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么稱這兩個(gè)圖形關(guān) 于這點(diǎn)對(duì)稱，也稱這兩個(gè)圖形成中心對(duì)稱.這個(gè)點(diǎn)叫做對(duì)稱中心.成中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形中，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線經(jīng)過對(duì)稱中心，且被對(duì)稱中心平分把一個(gè)圖形繞某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180,如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形互相重合，那 么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形，這個(gè)點(diǎn)就是它的對(duì)稱中心.要點(diǎn)三、平行四邊形.定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.性質(zhì)（1）對(duì)邊平行且相等； TOC o 1-5 h z （2）對(duì)角相等；鄰角互補(bǔ)；.（3）對(duì)角線互相平分；（4）中心對(duì)稱圖形.222BC.面積：S平行四邊形底義高.判定：邊：(1

3、)兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形； (2)兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形； (3) 一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.角：(4)兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形； (5)兩組鄰角分別互補(bǔ)的四邊形是平行四邊形.邊與角：(6) 一組對(duì)邊平行，一組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形;對(duì)角線：(7)對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形.要點(diǎn)詮釋：平行線的性質(zhì)：(1)平行線間的距離都相等；(2)等底等高的平行四邊形面積相等.要點(diǎn)四、矩形.定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形.性質(zhì)(1)具有平行四邊形的所有性質(zhì)；(2)四個(gè)角都是直角；(3)對(duì)角線互相平分且相等；(4)中心對(duì)稱圖形，軸對(duì)稱

4、圖形.面積：S矩啟長(zhǎng)義寬.判定(1)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形.(2)對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形.(3)有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.要點(diǎn)詮釋：由矩形得直角三角形的性質(zhì)：(1)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；(2)直角三角形中，30度角所對(duì)應(yīng)的直角邊等于斜邊的一半.要點(diǎn)五、菱形.定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.性質(zhì)(1)具有平行四邊形的一切性質(zhì)；(2)四條邊相等；(3)兩條對(duì)角線互相平分且垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角;(4)中心對(duì)稱圖形，軸對(duì)稱圖形. 一丘吉_對(duì)角線x對(duì)角線.面積：S菱形-底x高一豆.判定(1) 一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；(2)對(duì)角線互相垂直

5、的平行四邊形是菱形;(3)四邊相等的四邊形是菱形.要點(diǎn)六、正方形.定義：四條邊都相等，四個(gè)角都是直角的四邊形叫做正方形.性質(zhì)(1)對(duì)邊平行；(2)四個(gè)角都是直角；(3)四條邊都相等；(4)對(duì)角線互相垂直平分且相等，對(duì)角線平分對(duì)角；(5)兩條對(duì)角線把正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形; (6)中心對(duì)稱圖形，軸對(duì)稱圖形.1.面積：S正方位邊長(zhǎng)X邊長(zhǎng)=2X對(duì)角線X對(duì)角線.判定(1)有一個(gè)角是直角的菱形是正方形；(2) 一組鄰邊相等的矩形是正方形；(3)對(duì)角線相等的菱形是正方形；(4)對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形；(5)對(duì)角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形；(6)四條邊都相等，四個(gè)角都是直角的四邊

6、形是正方形.【典型例題】類型一、旋轉(zhuǎn)與中心對(duì)稱圖形1、如圖，在ABC中，NCAB=75,在同一平面內(nèi)，將ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到ABC,的位置，使得 的位置，使得 CC/AB,則NBAB，=(【思路點(diǎn)撥】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AC=AC,NBAC二NB,AC,再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò) 角相等求出NACC，=NCAB,然后利用等腰三角形兩底角相等求出NCAC，,再求出 NBAB，二NCAC,從而得解.【答案】A；【解析】解：,ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到ABC的位置， .AC=ACz,ZBAC=ZBzACz,CC/AB,NCAB=75,AZACCz=ZCAB=75,AZCACz=180 -2ZACCz=180 -2X

7、75=30, VZBABz=ZBAC-ZBzAC, ZCACz=ZBzACz -ZBAC, .ZBABz=ZCACz=30.故選A.【總結(jié)升華】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，主要利用了旋轉(zhuǎn)變換只改變圖形的位置不改變圖形的 形狀與大小的性質(zhì)，等腰三角形兩底角相等的性質(zhì)，平行線的性質(zhì).類型二、平行四邊形2、(2016菏澤)如圖，點(diǎn)O是ABC內(nèi)一點(diǎn)，連結(jié)OB、OC,并將AB、OB、OC、AC的 中點(diǎn)D、E、F、G依次連結(jié)，得到四邊形DEFG.(1)求證：四邊形DEFG是平行四邊形；(2)若M為EF的中點(diǎn)，OM=3,NOBC 和/OCB互余，求DG的長(zhǎng)度.【思路點(diǎn)撥】(1)根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等

8、于第三邊的一半可得EFBC且 EFBC, DGBC且DGqBC,從而得到DE=EF, DGEF,再利用一組對(duì)邊平行且相等的四 邊形是平行四邊形證明即可；(2)先判斷出NB0C=90,再利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，求出EF即可.【答案與解析】解：(1)：D、G分別是AB、AC的中點(diǎn)，.DGBC, DGqBC,E、F分別是OB、OC的中點(diǎn)，.EFBC, EF=yBC,.DG=EF, DGEF,四邊形DEFG是平行四邊形；(2)VZOBC 和/OCB 互余，AZOBC+Z0CB=90,AZB0C=90,M為EF的中點(diǎn)，OM=3,.EF=2OM=6.由(1)有四邊形DEFG是平行四邊形，D

9、G=EF=6.【總結(jié)升華】此題主要考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，三角形的中位線，直角三角形的性 質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是判定四邊形DEFG是平行四邊形.舉一反三:【變式】已知448(3中，AB = 3, AC=4, BC=5,分別以AB、AC、BC為一邊在BC邊同側(cè)作 正ABD、正4ACE和正BCF,求以A、E、F、D四點(diǎn)為頂點(diǎn)圍成的四邊形的面積.【答案】證明：AB = 3, AC = 4, BC = 5,AZBAC=90ABDACE和ABCF為正三角形， .AB=BD=AD, AC=AE=CE, BC=BF=FC ,Z1 + ZFBA=Z2+ZFBA=60AZ1 = Z2易證BAC04BDF (S

10、AS), .DF=AC=AE = 4,ZBDF=90同理可證BAC04FEC .AB=AD=EF=3四邊形AEFD是平行四邊形(兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形).DFAE, DFBD延長(zhǎng)EA交BD于H點(diǎn)，AHLBD,則H為BD中點(diǎn)，平行四邊形AEFD的面積=DFXDH=4X 3 =6.類型三、矩形3、如圖，O是矩形ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)，E、F、G、H分別是OA、OB、OC、OD上的點(diǎn)， 且 AE=BF=CG=DH.(1)求證：四邊形EFGH是矩形；(2)若 E、F、G、H 分別是 OA、OB、OC、OD 的中點(diǎn)，且 DGLAC, OF=2 cm，求矩形 ABCD的面積.【答案與解析】(

11、1)證明：二四邊形ABCD是矩形， .OA=0B=OC=OD, VAE=BF=CG=DH,.AO-AE=OB-BF=CO-CG=DO-DH, 即：OE = OF=OG=OH,四邊形EFGH是矩形；(2)解：:G是OC的中點(diǎn)，.GO=GC,VDGXAC, ?.ZDGO=ZDGC = 9G, 又,DG=DG,.,.DGCSDGO, .CD=OD,F 是 BO 中點(diǎn)，OF=2cm ,ABO=4 cm ,四邊形ABCD是矩形， .DO=BO = 4cm ,ADC=4 cm , DB = 8 cm ,.CB=DB2 DC2 = 4 V3, ，矩形 ABCD 的面積=4X 43 = 16。3cm2 .【總

12、結(jié)升華】本題主要考查矩形的判定，首先要判定四邊形是平行四邊形，然后證明對(duì)角線 相等.舉一反三：【變式】（2015秋太康縣期中）如圖，M是4ABC的邊BC的中點(diǎn)，AN平分NBAC,且BNLAN, 垂足為 N,且 AB=6, BC=10, MN=1.5,求4ABC 的周長(zhǎng).【答案】解：延長(zhǎng)線段BN交AC于E.AN 平分NBAC,在4ABN和4AEN中，Vban=Zean，AN 二 ANtZANB=ZANE=90.,.ABNSAEN(SAS),.AE=AB=6, BN=NE,又M是ABC的邊BC的中點(diǎn)，ACE=2MN=2X1.5=3,.ABC 的周長(zhǎng)是 AB+BC+AC=6+10+6+3=25.4、

13、在 RtABC 中，ZACB=90,BC=4.過點(diǎn) A 作 AEAB 且 AB=AE,過點(diǎn) E 分別作 EFAC,EDLBC,分別交AC和BC的延長(zhǎng)線與點(diǎn)F, D.若FC=5,求四邊形ABDE的周長(zhǎng).【思路點(diǎn)撥】首先證明ABC04EAF,即可得出BC=AF, AC二EF,再利用勾股定理得出AB的 長(zhǎng)，進(jìn)而得出四邊形EFCD是矩形，求出四邊形ABDE的周長(zhǎng)即可.【答案與解析】解：:NACB=90,AE，AB, AZ1+ZB=Z1+Z2=90. AZB=Z2.VEFXAC, AZ4=Z5=90. AZ3=Z4.在ABC和AEAF中，Z3 = Z4,AB = AE,.ABCSEAF(AAS).ABC

14、=AF, AC=EF. BC=4,AF=4. FC=5, AAC=EF=9.在 RtAABC 中，AB=、(B2 + AC2 = v42 + 92 = J97 .AE=97 .VEDXBC, AZ7=Z6=Z5=90.四邊形EFCD是矩形. .CD=EF=9, ED=FC=5.四邊形 ABDE 的周長(zhǎng):AB+BD+DE+EA=%：97 +4+9+5+ *；97 =18+2 97 .【總結(jié)升華】此題主要考查了全等三角形的判定以及矩形的判定與性質(zhì)和勾股定理等知識(shí)， 根據(jù)已知得出AC=EF=9是解題關(guān)鍵.類型四、菱形 、如圖，平行四邊形ABCD中，ABAC, AB=1, BC= 55 .對(duì)角線AC,

15、 BD相交于點(diǎn)O,將直線AC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，分別交BC, AD于點(diǎn)E, F.(1)證明：當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為90時(shí)，四邊形ABEF是平行四邊形；(2)試說明在旋轉(zhuǎn)過程中，線段AF與EC總保持相等；(3)在旋轉(zhuǎn)過程中，四邊形BEDF可能是菱形嗎？如果不能，請(qǐng)說明理由；如果能， 說明理由并求出此時(shí)AC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的度數(shù).【思路點(diǎn)撥】(1)當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為90時(shí)，NA0F=90,由ABLAC,可得ABEF,即可證明 四邊形ABEF為平行四邊形；(2)證明AOF04COE即可；(3)當(dāng)EFLBD時(shí)，四邊形BEDF 為菱形，又由 ABLAC, AB=1, BC=；5 ,易求得 OA=AB,即可得NA0B=45,求

16、得NA0F=45, 則可得此時(shí)AC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的最小度數(shù)為45.【答案與解析】(1)證明：當(dāng)NAOF=90 時(shí)，ABEF,又 AFBE,四邊形ABEF為平行四邊形.(2)證明：；四邊形ABCD為平行四邊形，AAO = CO,ZFAO=ZECO,ZAOF=ZCOE. .,.AOFSCOE.AF=CE(3)四邊形BEDF可以是菱形.理由：如圖，連接BF, DE,由（2）知AOF04COE,得 OE=OF, EF與BD互相平分.當(dāng)EFXBD時(shí)，四邊形BEDF為菱形.在 RSABC 中，AC = 7、正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3, E、F分別是AB、BC邊上的點(diǎn)，且NEDF=45.將4DAE 繞點(diǎn)D逆

17、時(shí)針旋轉(zhuǎn)90,得到4DCM.(1)求證:EF=FM；(2)當(dāng)AE=1時(shí)，求EF的長(zhǎng).【答案與解析】解：（1）證明：二DAE逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到ADCM,.DE=DM,ZEDM=90,.ZEDF+ZFDM=90,VZEDF=45,.ZFDM=ZEDF=45,在ADEF和4DMF中，DE = DM ， /EDF = /MDFDF = DF.,.DEFSDMF（SAS）,.EF=MF；（2）設(shè) EF=MF= % ,VAE=CM=1, = %2 ,55解得：% =-，則 EF=.【總結(jié)升華】此題考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，以及勾股 定理，利用了轉(zhuǎn)化及方程的思想，熟練掌握性質(zhì)及定理是解本題的關(guān)鍵.舉一反三：【變式】如圖（1）,正方形ABCD和正方形CEFG有一公共頂點(diǎn)C,且B、C、E在一直線上， 連接BG、DE.（1）請(qǐng)你猜測(cè)BG、DE的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系？并說明理由.（2）若正方形CEFG繞C點(diǎn)向順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度后，如圖（2）, BG和DE是否 還存在上述關(guān)系？