《大學(xué)物理》第22章-高斯定理

1、一均勻帶電的不導(dǎo)電球體。其內(nèi)部電場如何分布？(a) 電場為零。(b) 電場恒定，但非零。(c) 電場從球心沿徑向呈線性增加。(d) 電場從球心沿徑向呈指數(shù)增加。(e) 電場從球心沿徑向呈平方增加。開篇問題 請猜一猜！ 偉大的數(shù)學(xué)家卡爾弗里德里希高斯(Karl Friedrich Gauss)(1777 - 1855)揭示的一個(gè)重要關(guān)系，現(xiàn)稱為高斯定律。這是一個(gè)關(guān)于電荷與電場的關(guān)系，相比庫侖定律是一種更普適和優(yōu)美的形式。電通量定義：22-1 電通量 對于均勻電場，穿過一區(qū)域A的電通量定義為 1.均勻電場中垂直通過平面 S 的電場強(qiáng)度通量.S 2.電場與平面不垂直 是 沿垂直于區(qū)域A方向的分量。

2、是面積A在垂直于電場 平面內(nèi)的投影。電場線的條數(shù)N所以，電場中通過某一曲面（平面） 的電場線條數(shù)稱通過該曲面（平面）的電通量。例22-1 電通量 計(jì)算如圖所示矩形的電通量。矩形寬10厘米，長20厘米，均勻電場強(qiáng)度200 N/C，夾角為30。解題思路使用電通量的定義， 解：電通量 如圖所示，當(dāng)電場不均勻、曲面不平坦時(shí)，把曲面分為n個(gè)微元， 。使每個(gè)面積微元 足夠小以滿足：（1）它可以被看作平面（2）電場在這個(gè)微元區(qū)域里變化很小，因此電場可以被認(rèn)為是均勻的。那么通過整個(gè)曲面電通量近似為：這里 是通過面積微元的電場。在 極限情況下，求和變?yōu)閷@個(gè)曲面的積分，這個(gè)數(shù)學(xué)關(guān)系可以精確表示：如圖所示，通過封

3、閉曲面的電通量可寫成： 對于一個(gè)離開封閉曲面的電場線， 和 之間的夾角須小于90， 。對于一個(gè)進(jìn)入封閉曲面的電場線， ， 。所以進(jìn)入封閉曲面的電通量是負(fù)值，離開封閉曲面的電通量是正值。 A1曲面包含一個(gè)正電荷，通過這個(gè)曲面就有一個(gè)向外的凈通量( 0)。曲面A2包含一個(gè)等量的負(fù)電荷，通過該曲面就有一個(gè)向內(nèi)的凈通量( 0,表示有電場線從曲面內(nèi)穿出,正電荷稱為靜電場的源頭;2.當(dāng)閉合曲面內(nèi)凈電荷為負(fù)時(shí),Er0）的同心球殼為高斯面。(b)選擇半徑為r（rr0)的同心球面作為高斯面A1高斯定律可寫為均勻帶電、對稱分布的球外電場大小是恒定的，等效于將所有電荷作為一個(gè)點(diǎn)電荷集中在球心處產(chǎn)生的電場。（a）球內(nèi)

4、，選擇半徑為r(rr0)的同心球面作為高斯面A2高斯定律可寫為定義電荷密度電場強(qiáng)度大小隨r線性增加r0rE均勻帶電球面電場強(qiáng)度曲線r0RE均勻帶電球體電場強(qiáng)度曲線例22-5 非均勻帶電球體假設(shè)帶電球體電荷密度 （a）通過球體的總電荷Q和半徑r0解出（b）求出球體內(nèi)部電場關(guān)于r的函數(shù)關(guān)系分析：把球體看成厚度為dr的一個(gè)個(gè)同心薄殼解：（a）半徑為r厚度為dr的薄殼的體積微元為球體總電量為（b）應(yīng)用高斯定律作半徑為r的同心高斯球面，它將包圍電量高斯面：與帶電圓柱同軸的圓柱形閉合面,高為l,半徑為r電荷及場分布：柱對稱性，場方向沿徑向。由高斯定理知解：例22-6 均勻帶電長直導(dǎo)線 一無限長直導(dǎo)線的線電

5、荷密度為。計(jì)算導(dǎo)線附近電場。r（1）高斯面包圍電荷，均勻帶電長直導(dǎo)線的電場分布Er 關(guān)系曲線REr0矢量式為：如果導(dǎo)線較粗（半徑為R），作高斯面rR ，高斯面內(nèi)電荷量為：矢量式為：lEE例22-7 均勻帶電無限大平面的電場.電荷及場分布：面對稱性，場方向沿法向。解：高斯面:作軸線與平面垂直的圓柱形高斯面，底面積為S，兩底面到帶電平面距離相同。S圓柱形高斯面內(nèi)電荷由高斯定理得可見，無限大均勻帶電平面激發(fā)的電場強(qiáng)度與離面的距離無關(guān)，即面的兩側(cè)形成勻強(qiáng)電場。矢量式為：S22-8 導(dǎo)體表面附近的電場 任意形狀導(dǎo)體表面外的電場可寫成 ，是導(dǎo)體表面電荷面密度。解題思路 正如前例，選擇小圓柱作為高斯面。選擇

6、的圓柱高度極小，使其一側(cè)圓形底面剛好在導(dǎo)體上方，另一側(cè)底面剛好在導(dǎo)體表面下方，且兩底面垂直圓柱軸線。練習(xí)F關(guān)于高斯定律的陳述，下列哪個(gè)選項(xiàng)是正確的?（a）如果知道曲面內(nèi)的電荷，就知道曲面任意位置的電場。（b）用高斯定律求電場時(shí)，通常用球體作為高斯面。（c）如果知道通過一個(gè)曲面的總通量，也就知道曲面內(nèi)的總電荷。（d）只能在空間恒定電場使用高斯定律。* 22-4 高斯和庫侖定律的實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ) 高斯定律預(yù)測導(dǎo)體上任何電荷位于表面?，F(xiàn)實(shí)情況中這是真的嗎？讓我們看看實(shí)驗(yàn)如何驗(yàn)證。由于庫侖定律遵循高斯定律，因此確認(rèn)高斯定律預(yù)測的同時(shí)，庫侖定律也能得到驗(yàn)證。本杰明富蘭克林最早發(fā)現(xiàn)電荷僅駐留在導(dǎo)體外表面，比庫侖定律早約30年。 根據(jù)庫侖定律和高斯定律的精度，庫侖定律可以定量地表示成 對于一個(gè)完美的平方反比定律= 0。最近精確實(shí)驗(yàn)（1971年）給出= (2.