2023版高三數(shù)學(xué)一輪精品復(fù)習(xí)學(xué)案：2.2函數(shù)的單調(diào)性

1、2023版高三數(shù)學(xué)一輪精品復(fù)習(xí)學(xué)案：函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用2.2函數(shù)的單調(diào)性【高考目標(biāo)導(dǎo)航】一、考綱點(diǎn)擊1理解函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值及其幾何意義；2會(huì)運(yùn)用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的單調(diào)性、最值。二、熱點(diǎn)、難點(diǎn)提示1利用函數(shù)的單調(diào)性求單調(diào)區(qū)間、比擬大小、解不等式、求變量的取值是歷年高考考查的熱點(diǎn)；2利用函數(shù)的單調(diào)性求最值，及利用它們求參數(shù)取值范圍問題是重點(diǎn)，也是難點(diǎn)；3題型以選擇題和填空題為主，與導(dǎo)數(shù)知識(shí)點(diǎn)交匯時(shí)那么以解答題的形式出現(xiàn)?！究季V知識(shí)梳理】一、函數(shù)的單調(diào)性1單調(diào)函數(shù)的定義增函數(shù)減函數(shù)定義一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮,如果對于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量x1,x2，改變

2、量x= x2- x10當(dāng)x1 x2時(shí)，都有f(x1)f(x2)，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)當(dāng)x1f(x2)，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)圖象描述自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的2單調(diào)區(qū)間的定義假設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么稱函數(shù)f(x)在這一區(qū)間上具有嚴(yán)格的單調(diào)性，區(qū)間D叫做f(x)的單調(diào)區(qū)間。注：單調(diào)區(qū)間是定義域的子區(qū)間函數(shù)的單調(diào)性反映在圖象上是在某一區(qū)間上是上升的或下降的；而最大小值反映在圖象上為其最高低點(diǎn)的縱坐標(biāo)的值。二、函數(shù)的最值前提設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足條件對于任意xI，都有f(x)M存在xI，使得f(x)=

3、M對于任意xI，都有f(x)M存在xI，使得f(x)=M結(jié)論M為最大值M為最小值注：函數(shù)的最小值與最大值分別是函數(shù)值域中的最小元素與最大元素；任何一個(gè)函數(shù)，其值域必定存在，但其最值不一定存在。相關(guān)提示：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與該函數(shù)定義域間的關(guān)系函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是該函數(shù)定義域的子集；函數(shù)的定義域不一定是函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。一個(gè)函數(shù)在定義域內(nèi)的單調(diào)性與在某幾個(gè)子區(qū)間上的單調(diào)性的關(guān)系如果一個(gè)函數(shù)在定義域內(nèi)的某幾個(gè)子區(qū)間上都是增減函數(shù)，不能說這個(gè)函數(shù)在定義域上是增減函數(shù)，如函數(shù)相同單調(diào)性函數(shù)的和、差、積、商函數(shù)的單調(diào)性兩個(gè)增減函數(shù)的和函數(shù)仍是增減函數(shù)，但兩個(gè)增函數(shù)的差、積、商的函數(shù)單調(diào)性不確定，同樣兩個(gè)減函數(shù)的差

4、、積、商的函數(shù)單調(diào)性也不確定。奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同；偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反。因此，具有奇偶性的函數(shù)的單調(diào)性的研究，只需研究對稱區(qū)間上的單調(diào)性。求函數(shù)單調(diào)性解題策略看函數(shù)的類型，如果是根本函數(shù)，常常記住函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；如果是復(fù)雜函數(shù)，常常利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行研究；如果是抽象函數(shù)，常常利用定義解決，或者借助圖象，或者用具體函數(shù)代替處理?！疽c(diǎn)名師透析】一、函數(shù)單調(diào)性的判定1、用定義證明函數(shù)單調(diào)性的一般步驟，即：1取值：即設(shè)x1、x2是該區(qū)間內(nèi)的任意兩個(gè)值，且x10且2x0的定義域?yàn)榕袛嘣谏鲜窃龊瘮?shù)，下證明之：1分設(shè)任2分3分x2x10，2x10，2x20那么4分

5、用數(shù)學(xué)歸納法易證 證略. 12分二、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性1求復(fù)合函數(shù)y=f(g(x)的單調(diào)區(qū)間的步驟1確定定義域；2將復(fù)合函數(shù)分解成根本初等函數(shù)：y=f(u),u=g(x).3分別確定這兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；4按“同增異減的原那么，確定原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。注：求函數(shù)單調(diào)區(qū)間時(shí)，易忽略函數(shù)的定義域。2例題解析例1判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.思路分析：利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法求解解答：y=，例21求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；2假設(shè)試確定的單調(diào)區(qū)間和單調(diào)性。解：1函數(shù)的定義域?yàn)?，分解根本函?shù)為、顯然在上是單調(diào)遞減的，而在上分別是單調(diào)遞減和單調(diào)遞增的。根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的規(guī)那么：所以函數(shù)在上分別單調(diào)遞增、單調(diào)遞減。2解法

6、一：函數(shù)的定義域?yàn)镽，分解根本函數(shù)為和。顯然在上是單調(diào)遞減的，上單調(diào)遞增；而在上分別是單調(diào)遞增和單調(diào)遞減的。且，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的規(guī)那么：所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為；單調(diào)減區(qū)間為。解法二：， 令 ，得或，令 ，或單調(diào)增區(qū)間為；單調(diào)減區(qū)間為。注：判定復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性及確定單調(diào)區(qū)間,關(guān)鍵是把復(fù)合函數(shù)分解成單調(diào)性的初等函數(shù).另外，注意不要忽略函數(shù)的定義域.三、抽象函數(shù)的單調(diào)性及最值例1f(x)是定義在R上的增函數(shù)，對xR有f(x)0，且f(5)=1，設(shè)F(x)= f(x)+，討論F (x)的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論解析：這是抽角函數(shù)的單調(diào)性問題，應(yīng)該用單調(diào)性定義解決。在R上任取x1、x2，設(shè)x1x2，

7、f(x2)= f(x1)，f(x)是R上的增函數(shù)，且f(10)=1，當(dāng)x10時(shí)0 f(x)10時(shí)f(x)1；假設(shè)x1x25，那么0f(x1)f(x2)1，0 f(x1)f(x2)1，0，F(xiàn) (x2)x15，那么f(x2)f(x1)1 ，f(x1)f(x2)10 F(x2) F (x1)綜上，F(xiàn) (x)在，5為減函數(shù)，在5，+為增函數(shù)注：對于抽象函數(shù)的單調(diào)性的判斷仍然要緊扣單調(diào)性的定義，結(jié)合題目中所給性質(zhì)和相應(yīng)的條件，對任意x1、x2在所給區(qū)間內(nèi)比擬f(x2)-f(x1)與0的大小，或f(x1)/ f(x2)與大小。有時(shí)根據(jù)需要，需作適當(dāng)?shù)淖冃危喝缋?函數(shù)f(x)對于任意x，yR,總有f(x)+

8、f(y)=f(x+y)，且當(dāng)x0時(shí)，f(x)0,f(1)=.(1)求證：f(x)在R上是減函數(shù)；(2) 求f(x)在-3，3上的最大值和最小值思路分析：用定義法判斷抽象函數(shù)的單調(diào)性；求函數(shù)的最值需借助函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行。解答：(1)方法一：函數(shù)f(x)對于任意x，yR，總有f(x)+f(y)=f(x+y)，令x=y=0，得f(0)=0再令y=-x，得f(-x)=-f(x)在R上任取x1x2，那么x=x1-x20，y=f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2)=f(x),又x0時(shí)，f(x)0而x0，f(x)0，即y0,y=f(x1)-f(x2) =f(x1-x2+x2)-f

9、(x2)=f(x1-x2)+f(x2)-f(x2)=f(x1-x2)=f(x)又x0時(shí)，f(x)0，而x0，f(x)0，即y0，雨速沿E移動(dòng)方向的分速度為cc，E移動(dòng)時(shí)單位時(shí)間內(nèi)的淋雨量包括兩局部：1P或P的平行面只有一個(gè)面淋雨的淋雨量，假設(shè)其值與|v-c|成正比，比例系數(shù)為；2其他面的淋雨量之和，其值為.記y為E移動(dòng)過程中的總淋雨量.當(dāng)移動(dòng)距離d=100，面積S=時(shí)，寫出y的表達(dá)式；設(shè)0v試根據(jù)c的不同取值范圍，確定移動(dòng)速度v，使總淋雨量y最少.【思路點(diǎn)撥】此題考查學(xué)生運(yùn)用知識(shí)的能力，重點(diǎn)考查學(xué)生的以下能力：一是閱讀能力.二是轉(zhuǎn)化能力.三是表達(dá)能力.能否把文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言的理解能力.四

10、是解題能力.此題主要考查學(xué)生的閱讀能力和建模能力和運(yùn)算能力，閱讀后建立函數(shù)模型是關(guān)鍵.【精講精析】I由題意知，E移動(dòng)時(shí)單位時(shí)間內(nèi)的淋雨量為，故.II由(I)知，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故.(1)當(dāng)時(shí)，是關(guān)于的減函數(shù).故當(dāng)時(shí)，.(2) 當(dāng)時(shí)，在上，是關(guān)于的減函數(shù)；在上，是關(guān)于的增函數(shù)；故當(dāng)時(shí)，.5. 2023重慶理數(shù)(5) 函數(shù)的圖象A. 關(guān)于原點(diǎn)對稱 B. 關(guān)于直線y=x對稱 C. 關(guān)于x軸對稱 D. 關(guān)于y軸對稱解析：是偶函數(shù)，圖像關(guān)于y軸對稱6. 2023北京文數(shù)(6)給定函數(shù)，期中在區(qū)間0，1上單調(diào)遞減的函數(shù)序號是A B C D答案：B7. 2023江蘇卷11、函數(shù),那么滿足不等式的x的范圍是_。解

11、析 考查分段函數(shù)的單調(diào)性。8. 2023安徽文數(shù)20.本小題總分值12分設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值。【命題意圖】此題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值的方法，考查綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力.【解題指導(dǎo)】1對函數(shù)求導(dǎo)，對導(dǎo)函數(shù)用輔助角公式變形，利用導(dǎo)數(shù)等于0得極值點(diǎn)，通過列表的方法考查極值點(diǎn)的兩側(cè)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，判斷區(qū)間的單調(diào)性，求極值.【思維總結(jié)】對于函數(shù)解答題，一般情況下都是利用導(dǎo)數(shù)來研究單調(diào)性或極值，利用導(dǎo)數(shù)為0得可能的極值點(diǎn)，通過列表得每個(gè)區(qū)間導(dǎo)數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得出極值點(diǎn).【考點(diǎn)精題精練】一、選擇題1(2023哈爾濱模擬)函數(shù)是(-,+)上的減函數(shù)，那么a的

12、取值范圍是( )(A)(0,3) (B)(0,3 (C)(0,2) (D)(0,2【解析】選D.f(x)為減函數(shù),解得0a2.2(2023濟(jì)南模擬)定義新運(yùn)算“：當(dāng)ab時(shí),ab=a;當(dāng)ab時(shí),ab=b2,那么函數(shù)f(x)=(1x)x-(2x),x-2,2的最大值等于( )(A)-1 (B)1 (C)6 (D)12【解析】選C.當(dāng)-2x1時(shí),f(x)= (1x)x-(2x)=1x-2=x-2,此時(shí)-4f(x)-1,當(dāng)1x2時(shí),f(x)=x2x-2=x3-2,此時(shí)-1f(x)6,綜上可知-4f(x)6,f(x)max=6.32023青島模擬函數(shù)f(x)=ax+logaxa0且a1在1，2上的最大值

13、與最小值之和為loga2+6，那么a的值為( )A B C2 D4【解析】選C函數(shù)f(x)=ax+logax(a0且a1)在1，2上具有單調(diào)性，因此最大值與最小值之和為a+a2+loga2=loga2+6，解得a=2,應(yīng)選C42023廣州模擬以下函數(shù)f(x)中，滿足“對任意x1,x2(-,0),當(dāng)x1x2時(shí)，都有f(x1)f(x2)的函數(shù)是( )(A)f(x)=-x+1 (B)f(x)=x2-1(C)f(x)=2x (D)f(x)=ln(-x)【解析】選C.f(x)=-x+1在(-,0)上為減函數(shù)，A選項(xiàng)錯(cuò)誤;f(x)=x2-1的圖象開口向上，對稱軸為x=0,該函數(shù)在(-,0)為減函數(shù)，B選項(xiàng)

14、錯(cuò)誤；f(x)=2x在R上是增函數(shù),f(x)=2x在-,0上也是增函數(shù)，C選項(xiàng)正確;y=ln(-x)在(-,0)上為減函數(shù)，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.5關(guān)于x的函數(shù)y=loga(2-ax)在0，1上是減函數(shù)，那么a的取值范圍是( )A0，1 B1，2 C0，2 D2，【解析】選B依題意a0且a1，所以2-ax在0,1上遞減，因此，解得1a2,應(yīng)選B62023屆長沙市一中高三月考文函數(shù)的最大值是 A BC D答案：D7函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù)，A(0，1)、B(3，1)是其圖象上的兩點(diǎn)，那么不等式 |f(x1)|1的解集的補(bǔ)集是 A(1，2) B(1，4) C(，1)4，D(，1)2，答案：D82023屆江

15、西吉安一中高三開學(xué)模擬理偶函數(shù)f(x)在區(qū)間0，+單調(diào)遞增，那么滿足f(2x-1)a,那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )A(-,-3) B(-,-1)C(1,+) D(0,1)【解析】選B.當(dāng)a0時(shí),f(a)a,a-1a,a-3(不合題意,舍去)當(dāng)aa,a,解得:a-1.故a的取值范圍是(-,-1).112023屆湖北省監(jiān)利一中學(xué)高三8月月考文定義在R上的偶函數(shù)，在上是增函數(shù)，那么 AB .CD.答案：C12定義在R上的函數(shù)y=f(x)在(，2)上是增函數(shù)，且y=f(x2)圖象的對稱軸是x=0，那么 Af(1)f(3)Bf (0)f(3) Cf (1)=f (3) Df(2)f(3)答案：A二、填空

16、題1、奇函數(shù)f(x)在定義域(-1，1)內(nèi)單調(diào)遞減，那么滿足f(1-a)+f(1-a2)0的實(shí)數(shù)a的取值范圍為_.【解析】函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，f(-x)=-f(x)，又f(1-a)+f(1-a2)0,f(1-a)-f(1-a2)，即f(1-a)f(a2-1).函數(shù)f(x)在定義域(-1，1)內(nèi)單調(diào)遞減，11-aa2-1-1，解得0a1，故a的取值范圍為(0，1).答案：(0，1)2、假設(shè)f(x)=x2-2(1-a)x+2在(-,4上是減函數(shù)，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是_.【解析】由得1-a4，解得a-3.答案:(-,-33、設(shè)是上的減函數(shù)，那么的單調(diào)遞減區(qū)間為 .答案：4、假設(shè)f(x)=在-1，+上滿足對任意x1x2，都有f(x1)f(x2)，那么a的取值范圍是_【解析】f(x)= =2+，中心為-a,2)，由題設(shè)知f(x)在(-1,+)上是減函數(shù)，故得1a答案: 1a三、解答題1