正交變換與正交矩陣_第1頁(yè)
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1、7 正交變換與正交矩陣正交變換的定義正交變換的性質(zhì)旋轉(zhuǎn)變換與鏡像變換正交矩陣的分解10/6/20221正交變換恒同變換是正交變換, 兩個(gè)正交變換的乘積仍然是正交變換.內(nèi)積不變長(zhǎng)度不變, 夾角不變 命題 5.1: 正交變換把規(guī)范正交基變?yōu)橐?guī)范正交基.證明證明10/6/20222旋轉(zhuǎn)變換及其矩陣10/6/20223鏡像變換及其矩陣10/6/20224正交變換的矩陣2)矩陣A的列兩兩互相正交, 它的行也兩兩互相正交, 即10/6/20225正交變換與正交矩陣證明10/6/20226二維歐氏空間的正交變換證明：分兩種情況討論10/6/20227Householder矩陣因此, 鏡像變換的矩陣為（Hou

2、seholder矩陣）求解求解10/6/20228正交矩陣的分解證明:對(duì)正交矩陣的階數(shù)采用數(shù)學(xué)歸納法. 當(dāng)n=2時(shí), 結(jié)論成立.當(dāng)n=3時(shí), 10/6/20229正交矩陣的分解進(jìn)一步用歸納法可得結(jié)果10/6/202210命題 5.2的證明證明: 要證明該變換保持內(nèi)積. 用(1)減去(2)及(3), 并利用內(nèi)積的線(xiàn)性及對(duì)稱(chēng)性得back10/6/202211命題5.3的證明證明：由假設(shè)back10/6/202212定理 5.4 的證明證明:back10/6/202213例子 5.4 的求解證明:單位法方向?yàn)?)back10/6/202214例子 5.5 的求解證明: 只要證明旋轉(zhuǎn)矩陣可以分解成兩個(gè)Ho

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