專題研究全等三角形證明方法歸納及典型例題

1、. 最新資料整理推薦.全等三角的證明對(duì)應(yīng)角相等對(duì)邊等對(duì)邊的線等 對(duì)邊的相，應(yīng)的平線等面相尋對(duì)邊對(duì)角常到下法(1)等角對(duì)角對(duì)邊對(duì)邊兩對(duì)角夾邊對(duì) 應(yīng)(2)等角對(duì)邊對(duì)角對(duì)角兩對(duì)邊夾角對(duì) 應(yīng)(3)公邊，共常對(duì)邊(4)公角，共常對(duì)角(5)對(duì)角，頂常對(duì)角(6)個(gè)全等不等邊三角中一對(duì)長邊 (或最大角是對(duì)邊 (或應(yīng)角 )一 對(duì)最短 (或小角 )是對(duì)邊 或?qū)?yīng)角)要想正地表示兩個(gè)角形全，找出對(duì)應(yīng)元素是鍵全等三角形的判定方法：(1) 邊角邊理 (SAS：兩邊它們的夾角應(yīng)相等兩個(gè)三角形等(2) 角邊角理 (ASA：兩角它們的夾邊應(yīng)相等兩個(gè)三角形等(3) 邊邊邊理 (SSS：三邊應(yīng)相等的兩三角形等(4) 角角定理 (

2、AAS) ：兩個(gè)角和其一個(gè)角對(duì)邊對(duì)應(yīng)相的兩個(gè)角形全 等(5) 斜邊、角邊定理 (HL ：邊和一直角邊對(duì)應(yīng)等的兩直角三角形 等全等三角形的應(yīng)用運(yùn)用三角形等可以明線段相等角相等、直線垂等 問題，證明的過程，注意時(shí)會(huì)添加輔線拓展關(guān)鍵點(diǎn) 能通過判定兩個(gè)三形全等而證明兩條段間的置關(guān)系和大 小關(guān)系而證明兩條段或兩角的和、差倍、分等是幾何證的基礎(chǔ)專題 常見輔線的做法1. 最新資料整理推薦.典型例題找全等角形的方法）可以從結(jié)出發(fā)，找要證明的等的兩線段（或兩角）分在 哪兩個(gè)能全等的三形中；）可以從已條件出，看已知條可以確哪兩個(gè)三角全等； ）可從條件結(jié)論綜考慮，看它能確定兩個(gè)三角形等； ）若上述方均不可，可考慮添

3、輔助線構(gòu)造全等三形。 三角形常見輔助線作法：延長線構(gòu)造全等角形；利用折，構(gòu)造全三角形引平線構(gòu)造全等角形；作連構(gòu)造等腰三形。常見輔線的作法有下幾種）遇到等腰角形，作底邊上的，利用三線合一”性質(zhì)解， 思維模是全等變換的“對(duì)”。例 1：圖，ABC 等腰直角三形，BAC=90 分 交 AC 點(diǎn) 直于 交 延長于點(diǎn) E求證：BD=2CE。思路分：1題意分析：題考查腰三角形的線合一理的應(yīng)用2解題思路：求證 BD=2CE 可用加法，延長短，又因有 BD 平分 條件，以和等腰三形的三合一定理結(jié)起來。解答過：證延 BACE 交點(diǎn) F在 BEF 和 BEC 中 1=，BE=BE，BEF=，而 CF=2CE。 又1

4、+3+，3。在 ABD 和 BAD= ，BD=CFBD=2CE2. 最新資料整理推薦.解題后思考等腰三形三線合”質(zhì)的逆題在添加輔線中的 用不但以提高解題能力而且還強(qiáng)了關(guān)知識(shí)和不同知識(shí)域的聯(lián)， 為同學(xué)開拓了一個(gè)闊的探空間；并且添加輔線的過程中蘊(yùn)含著 歸的數(shù)思想，它是決問題關(guān)鍵。）若遇到三形的中，可倍長中，使延線段與原中長相等構(gòu) 造全等角形，利用思維模是全等變換的“旋”。例 2如，知 ABC 中，AD 是 平線 AD 又 BC 邊的線求： 是等腰三角形。思路分：1題意分析：題考查等三角形常輔助線知識(shí)。解思在明角的題特要意目 中現(xiàn)中、線中線條，般些件 是題突口題出 AD 又是 邊的線 一件而要證 A

5、B=AC倍 得全等角， 從問得。解過：3. 最新資料整理推薦. AD 到 E， DE=AD，連接 BE。 為 是 BC 邊上BD=DCBDE=CDA，故 ，E=2，AD 是 的平1=1=，AB=EB，從而 AB=AC，即 ABC 是等腰三角形。解題后的思考：題目中如果出現(xiàn)了三角形的中線，常加倍延長此線段，再將 端點(diǎn)連結(jié)，便可得到全等三角形。）遇到角平線，可自角平分線的某一向角的兩邊垂線，用 的思維式是三角形等變換的“對(duì)折”所考知點(diǎn)常常是角分線的 質(zhì)定理逆定理。例 3：知，圖，AC 平分BAD，CD=CB ，ABAD 。證：。思路分：1題意分析：題考查平分線定理應(yīng)用。2解題思路：為 平分，所以過

6、點(diǎn) C 作BAD 兩邊的 垂線，造直角三角，通過明三角形全解決問。解答過：證明： CEAB 于 E，CFAD 于 F。 分 在 RtCDF ， ，CB=CD，4. 最新資料整理推薦. ， ，。解題后思考：關(guān)于平行線的問，常用種輔助線；見中即聯(lián)想到中線。）過圖形上一點(diǎn)作定的平行線構(gòu)造全三角形，利的思維式 是全等換中的“平”或“轉(zhuǎn)折疊”例 4：圖，ABC 中，E 是 AB 一點(diǎn)， AC 延長上一點(diǎn)，連 EF 交 D若 。求證：DE=DF。思路分： 1題意分析：本題考全等三角形見輔助的知識(shí)：作行線。解思因 、DF 所的個(gè)角 DEB 與 DFC 可全，又知 EB=CF，所以需通添輔 助進(jìn)相線的量換：

7、E 作 EG/CF，造 心稱全三形再用腰角的質(zhì)使 題以決解答過：5. 最新資料整理推薦.證明： E EG/AC G則 ACB，又 EB=EG=CF CDF，DGEDCF， 解題后思考： 題的輔線還可以有下幾種法：例 5： ， 分 BAC BC ，BQ 分 于 Q，求證 AB+BP=BQ+AQ。思路分：1題意分析：題考查等三角形常輔助線知識(shí)：作平線。2解題思路：題要證的是 AB+BP=BQ+AQ形勢(shì)為復(fù)雜我們以通 過轉(zhuǎn)化思想把左式右式分轉(zhuǎn)化為幾條等線段和即可得證可過 BC 平行線得ADO。得到 OD=OQ，AD=AQ，只要證出 BD=OD 就可 了。解答過 ：6. 最新資料整理推薦.證明：圖（

8、1，過 ODBC AB D，40=80，又AQO=，又 QAO，OA=AO，OD=OQ ，又ODBP，又 DBO， 又BPA=，BOP= ， BPO， 。解題后思考：本題也可以在 AB 截取 連 構(gòu)造全三角形“截長法。 ）本題利用平行法的解法也較，舉例下：如圖 2）過 O 作 ODBC AC D則 而得以決。7. 最新資料整理推薦.如圖 5）過 P 作 PDBQ AC D則 而得以決。小結(jié)通過一的多種輔助添加方，會(huì)添輔助線目的于構(gòu)造 等三角。而不同的加方法際是從不同徑來實(shí)線段的轉(zhuǎn)移，體會(huì) 造的全三角形在轉(zhuǎn)線段中作用。從變的觀點(diǎn)以看到，不是作平 線還是長中線，實(shí)都是對(duì)角形作了一以中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)中心的轉(zhuǎn)變換 造了全三角形。）截長法與短法，體作法是在條線段截取一條線與特定段 相等，是將某條線延長，之與特定線相等，利用三角形等的有 性質(zhì)加說明。這種法，適于證明線段和、差倍、分等類題目。 例 6：圖甲 ADBC，點(diǎn) E 在段 上，ADECDE，=ECB。 求證：CDADBC。8. 最新資料整理推薦.思路分：1）意分析 本題考查等三角常見輔助線知識(shí)：截長法補(bǔ)短法。 2解題思路：論是 CD=+BC，可考慮用截長補(bǔ)法”中的“長”，即在 上截 CFCB，只要證 = 即，這就