初中數(shù)學人教九年級下冊第二十八章 銳角三角函數(shù)嘉陵一中 提煉模型 問題簡單化

1、提煉模型 問題簡單化廣元市利州區(qū)嘉陵第一初級中學 賈麗君 楊時玲一、原題呈現(xiàn)2023年內(nèi)蒙古鄂爾多斯市中考題如圖1，EOF的頂點O在正方形ABCD兩條對角線的交點處，EOF=90，將EOF繞點O旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中，EOF的兩邊分別與正方形ABCD的邊BC和CD交于點E和點F（點F與點C，D不重合）則CE，CF，BC之間滿足的數(shù)量關(guān)系是。（2）【類比應用】 如圖2，若將（1）中的“正方形ABCD”改為“BCD=120的菱形ABCD”，其他條件不變，當EOF=60時，上述結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請猜想結(jié)論并說明理由（3）【拓展延伸】 如圖3,BOD=120，OD= ，OB=4

2、，OA平分BOD ，AB= ，且OB2OA，點C是OB上一點，CAD=60，求OC的長設(shè)計意圖此題分三個小題，由易到難，先解（1）題，類比(1)題得出（2）題的解題思路，再由（2）題得出結(jié)論來解（3）題，符合新課標要求，主要考察學生的讀圖，分析，類比，歸納的能力，以及推理論證的能力等?？键c分析：本題屬于四邊形綜合題，是一道中考壓軸題，考察了正方形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、解直角三角形以及四點共圓、全等三角形的判定和性質(zhì)以及角分互補型的應用。一題多解第一問很容易想到通過證證明BOECOF,得到BE=CF,所以得到結(jié)論CE+CF=BC. 本題重點是第二小問的解決，而第三問是在第二問的基礎(chǔ)上解決的。第（2

3、）問的解法方法一：旋補法結(jié)論不成立，CE+CF= BC,理由如下：作COM=60，交BC于M四邊形ABCD是菱形，BCD=120BCO=60，OMC=60COM=BCO=OMCOM=CM=OC,OMC=EOF=60又MOC=EOF=60MOE=COFOMEOCF（ASA)ME=CFCE+CF=CE+ME=CM=OC在RtBCO中，OBC=30CO=BCCE+CF= BC方法二：雙垂法過點O作OMBC于M,ONCD于點N四邊形ABCD是菱形BCO=ACD=60OM=ON再證OMCONF得ME=NFCE+CF=2CM又在RtDMC中，COM=302CM=OCCE+CF=OC= BC方法三：四點共圓

4、CE+CF= BC , 理由如下在CO 上取CM=CE,CN=CF,連接EM、FN四邊形ABCD是菱形，BCD=120BCO=OCD=60CME、CNF是等邊三角形CE=CM=ME, CF=CN=NFEMO=ONF=120NOF+OFN=120又EOM+NOF=120EOM=OFNBCD+EOF=180O、E、C、F四點共圓而ECO=OCF=60OE=OFOMEFND（AAS)OM=FNCE+CF=OC在RtBOC中，OBC=30CO= BCCE+CF= BC第三問是利用第二問的結(jié)論，所以在此省略。接下來我們通過第一二問提煉模型對角互補模型由于在初中階段，學生主要接觸到得是90，120的特殊情

5、況，所以我們把這兩種特殊情況下的結(jié)論總結(jié)一下：如圖，AOB=DCE= 90 ,OC平分AOB結(jié)論：OD+OE= OC CD=CE如圖,AOB= 120 ,DCE= 60 ,OC平分AOB結(jié)論：OD+OE= OC CD=CE歸納：對角互補模型如圖DCE+DOE=180,OC平分DOE,DOE=結(jié)論：CD=CE模型應用1.如圖，BC是O的直徑，AD平分BAC交O于點D已知AB=6,AC=8求AD的長如圖，在四邊形ABCD，ADBC,A=90，EBF=C,若AD:AB=1： ，C=60.求證：DE+DF=BC拓展延伸如圖，AOB+DCE=180,OC平分AOB,AOB=，將DCE繞點C旋轉(zhuǎn)一定角度與OA反向延長線交于點D則OC、OD、OE有何關(guān)系？ 題后小結(jié)對角互補模型的證明方法主要有三種，旋補法、雙垂法、四點共圓法。其中，雙垂法是一種通法，有些變型題其他兩種方法不好解決，但雙垂法屢試不爽，也是學生比較容易想到的方法。通過對本題的研究提煉出對角互補模型，從一道題目多思路多解法的訓練、變式訓練及模型的提煉，更能讓學生的思維遷移、發(fā)散、開拓、和活