通用版高考數(shù)學(xué)(文數(shù))一輪復(fù)習選修部分《不等式選講》學(xué)案(含詳解)

1、PAGE PAGE PAGE 37不等式選講第1課絕對值不等式 過雙基1絕對值三角不等式定理1：如果a，b是實數(shù)，則|ab|a|b|，當且僅當ab0時，等號成立定理2：如果a，b，c是實數(shù)，那么|ac|ab|bc|，當且僅當(ab)(bc)0時，等號成立2絕對值不等式的解法(1)含絕對值的不等式|x|a的解集不等式a0a0a0|x|aeq blcrc(avs4alco1(x|axaeq blcrc(avs4alco1(x|xa或x0)型不等式的解法：|axb|ccaxbc；|axb|caxbc或axbc.(3)|xa|xb|c，|xa|xb|c(c0)型不等式的解法：利用絕對值不等式的幾何意義

2、求解；利用零點分段法求解；構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解eq avs4al(小題速通)1不等式|x1|x2|1的解集是_解析：f(x)|x1|x2|eq blcrc (avs4alco1(3，x1，,2x1，1x2，,3，x2.)當1x2時，由2x11，解得1x1，所以不等式的解集為eq blcrc(avs4alco1(x|x1).答案：x|x12若存在實數(shù)x使|xa|x1|3成立，則實數(shù)a的取值范圍是_解析：|xa|x1|(xa)(x1)|a1|，要使|xa|x1|3有解，可使|a1|3，3a13，2a4.答案：2,43若不等式|kx4|2的解集為eq blcrc(avs4alco1(x|1x

3、3)，則實數(shù)k_.解析：由|kx4|22kx6.不等式的解集為eq blcrc(avs4alco1(x|1x3)，k2.答案：24設(shè)不等式|x1|x2|k的解集為R，則實數(shù)k的取值范圍為_解析：|x1|x2|3，3|x1|x2|3，k(|x1|x2|)的最小值，即k3.答案：(，3)清易錯1對形如|f(x)|a或|f(x)|a型的不等式求其解集時，易忽視a的符號直接等價轉(zhuǎn)化造成失誤2絕對值不等式|a|b|ab|a|b|中易忽視等號成立的條件如|ab|a|b|，當且僅當ab0時等號成立，其他類似推導(dǎo)1設(shè)a，b為滿足ab|ab|B|ab|ab|C|ab|a|b| D|ab|a|b|解析：選Bab|

4、ab|.2若|x1|1，|y2|1，則|x2y1|的最大值為_解析：|x2y1|(x1)2(y2)2|x1|2|y2|25.答案：5絕對值不等式的解法典例設(shè)函數(shù)f(x)|x1|x1|a(aR)(1)當a1時，求不等式f(x)0的解集；(2)若方程f(x)x只有一個實數(shù)根，求實數(shù)a的取值范圍解(1)依題意，原不等式等價于：|x1|x1|10，當x0，即10，此時解集為；當1x1時，x1(x1)10，即xeq f(1,2)，此時eq f(1,2)1時，x1(x1)10，即30，此時x1.綜上所述，不等式f(x)0的解集為eq blcrc(avs4alco1(xxf(1,2).(2)依題意，方程f(

5、x)x等價于a|x1|x1|x，令g(x)|x1|x1|x.g(x)eq blcrc (avs4alco1(x2，x1.).畫出函數(shù)g(x)的圖象如圖所示，要使原方程只有一個實數(shù)根，只需a1或aeq f(1,2)時，原不等式轉(zhuǎn)化為4x6eq f(1,2)xeq f(3,2)；當eq f(1,2)xeq f(1,2)時，原不等式轉(zhuǎn)化為26eq f(1,2)xeq f(1,2)；當xeq f(1,2)時，原不等式轉(zhuǎn)化為4x6eq f(3,2)xeq f(1,2).綜上知，原不等式的解集為eq blcrc(avs4alco1(x|f(3,2)xf(3,2).法二：原不等式可化為eq blc|rc|(

6、avs4alco1(xf(1,2)eq blc|rc|(avs4alco1(xf(1,2)3，其幾何意義為數(shù)軸上到eq f(1,2)，eq f(1,2)兩點的距離之和不超過3的點的集合，數(shù)形結(jié)合知，當xeq f(3,2)或xeq f(3,2)時，到eq f(1,2)，eq f(1,2)兩點的距離之和恰好為3，故當eq f(3,2)xeq f(3,2)時，滿足題意，則原不等式的解集為eq blcrc(avs4alco1(x|f(3,2)xf(3,2).2解不等式|x1|x5|2.解：當x1時，不等式可化為(x1)(5x)2，即42，顯然成立，所以此時不等式的解集為(，1)；當1x5時，不等式可化

7、為x1(5x)2，即2x62，解得x5時，不等式可化為(x1)(x5)2，即40的解集(1)求M；(2)求證：當x，yM時，|xyxy|15.解：(1)f(x)eq blcrc (avs4alco1(x3，xf(1,2)，)當x0，得x3，舍去；當2xeq f(1,2)時，由3x10，得xeq f(1,3)，即eq f(1,3)eq f(1,2)時，由x30，得x3，即eq f(1,2)x3，綜上，Meq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)，3).(2)證明：x，yM，|x|3，|y|3，|xyxy|xy|xy|x|y|xy|x|y|x|y|333315.絕對值不等式的綜合應(yīng)用典

8、例(全國卷)已知函數(shù)f(x)|x1|x2|.(1)求不等式f(x)1的解集；(2)若不等式f(x)x2xm的解集非空，求m的取值范圍解(1)f(x)eq blcrc (avs4alco1(3，x1，,2x1，1x2，,3，x2.)當x1時，f(x)1無解；當1x2時，由f(x)1，得2x11，解得1x2；當x2時，由f(x)1，解得x2.所以f(x)1的解集為x|x1(2)由f(x)x2xm，得m|x1|x2|x2x.而|x1|x2|x2x|x|1|x|2x2|x|eq blc(rc)(avs4alco1(|x|f(3,2)2eq f(5,4)eq f(5,4)，且當xeq f(3,2)時，|

9、x1|x2|x2xeq f(5,4).故m的取值范圍為eq blc(rc(avs4alco1(，f(5,4).方法技巧(1)研究含有絕對值的函數(shù)問題時，根據(jù)絕對值的定義，分類討論去掉絕對值符號，將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，然后利用數(shù)形結(jié)合解決問題，這是常用的思想方法(2)f(x)a恒成立f(x)maxa.f(x)a恒成立f(x)mina.即時演練已知函數(shù)f(x)|xa|2x1|.(1)當a2時，求f(x)30的解集；(2)當x1,3時，f(x)3恒成立，求a的取值范圍解：(1)當a2時，由f(x)30，可得|x2|2x1|3，eq blcrc (avs4alco1(xf(1,2)，,2x2x13)

10、或eq blcrc (avs4alco1(f(1,2)x2，,2x2x13)或eq blcrc (avs4alco1(x2，,x22x13.)解得4xeq f(1,2)；解得eq f(1,2)x0.(1)當a1時，求不等式f(x)1的解集；(2)若f(x)的圖象與x軸圍成的三角形面積大于6，求a的取值范圍解：(1)當a1時，f(x)1化為|x1|2|x1|10.當x1時，不等式化為x40，無解；當1x0，解得eq f(2,3)x0，解得1x1的解集為eq blcrc(avs4alco1(xf(2,3)x2).(2)由題設(shè)可得f(x)eq blcrc (avs4alco1(x12a，xa.)所以

11、函數(shù)f(x)的圖象與x軸圍成的三角形的三個頂點分別為Aeq blc(rc)(avs4alco1(f(2a1,3)，0)，B(2a1,0)，C(a，a1)，ABC的面積為eq f(2,3)(a1)2.由題設(shè)得eq f(2,3)(a1)26，故a2.所以a的取值范圍為(2，)3(江蘇高考)設(shè)a0，|x1|eq f(a,3)，|y2|eq f(a,3)，求證：|2xy4|a.證明：因為|x1|eq f(a,3)，|y2|eq f(a,3)，所以|2xy4|2(x1)(y2)|2|x1|y2|2eq f(a,3)eq f(a,3)a.4(2013全國卷)已知函數(shù)f(x)|2x1|2xa|，g(x)x3

12、.(1)當a2時，求不等式f(x)g(x)的解集；(2)設(shè)a1，且當xeq blcrc)(avs4alco1(f(a,2)，f(1,2)時，f(x)g(x)，求a的取值范圍解：(1)當a2時，不等式f(x)g(x)可化為|2x1|2x2|x30.設(shè)函數(shù)y|2x1|2x2|x3，則yeq blcrc (avs4alco1(5x，xf(1,2)，,x2，f(1,2)x1，,3x6，x1.)其圖象如圖所示從圖象可知，當且僅當x(0,2)時，y0.所以原不等式的解集是x|0 x2(2)當xeq blcrc)(avs4alco1(f(a,2)，f(1,2)時，f(x)1a.不等式f(x)g(x)化為1a

13、x3.所以xa2對xeq blcrc)(avs4alco1(f(a,2)，f(1,2)都成立故eq f(a,2)a2，即aeq f(4,3).從而a的取值范圍是eq blc(rc(avs4alco1(1，f(4,3).1(唐山模擬)已知函數(shù)f(x)|2xa|x1|.(1)當a1時，解不等式f(x)3；(2)若f(x)的最小值為1，求a的值解：(1)因為f(x)|2x1|x1|eq blcrc (avs4alco1(3x，x1，,x2，1xf(1,2)，,3x，xf(1,2)，)且f(1)f(1)3，所以f(x)3的解集為x|1x1(2)|2xa|x1|eq blc|rc|(avs4alco1(

14、xf(a,2)|x1|eq blc|rc|(avs4alco1(xf(a,2)eq blc|rc|(avs4alco1(1f(a,2)0eq blc|rc|(avs4alco1(1f(a,2)，當且僅當(x1)eq blc(rc)(avs4alco1(xf(a,2)0且xeq f(a,2)0時，取等號所以eq blc|rc|(avs4alco1(1f(a,2)1，解得a4或0.2已知函數(shù)f(x)|2x1|，g(x)|x1|a.(1)當a0時，解不等式f(x)g(x)；(2)若對任意xR，f(x)g(x)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍解：(1)當a0時，由f(x)g(x)，得|2x1|x1|，兩邊平

15、方整理得x22x0，解得x0或x2.所以原不等式的解集為(，20，)(2)由f(x)g(x)，得a|2x1|x1|.令h(x)|2x1|x1|，則h(x)eq blcrc (avs4alco1(x2，xf(1,2)，,3x，f(1,2)x1，,x2，x1.)故h(x)minheq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq f(3,2).故所求實數(shù)a的取值范圍為eq blc(rc(avs4alco1(，f(3,2).3已知函數(shù)f(x)|2xa|2x1|，aR.(1)當a3時，求關(guān)于x的不等式f(x)6的解集；(2)當xR時，f(x)a2a13，求實數(shù)a的取值范圍解：(1)當a3時，不

16、等式f(x)6可化為|2x3|2x1|6.當xeq f(1,2)時，不等式可化為(2x3)(2x1)4x46，解得eq f(1,2)xeq f(3,2)時，不等式可化為(2x3)(2x1)4x46，解得eq f(3,2)1時，等價于a1a2a13，解得1a1eq r(13)，所以a的取值范圍為eq r(14)，1eq r(13)4已知函數(shù)f(x)|xa|2x1|.(1)當a1時，解不等式f(x)3；(2)若f(x)2ax在a，)上有解，求a解：(1)當a1時，f(x)3化為|x1|2x1|3，則eq blcrc (avs4alco1(x1，,x12x13，)解得1xeq f(1,2)或eq f

17、(1,2)x1或.所以原不等式解集為x|1x1(2)因為xa，)，所以f(x)|xa|2x1|xa|2x1|2ax即|2x1|3a有解，所以a所以不等式化為2x13a即2a13a，解得所以a的取值范圍為1，)5設(shè)函數(shù)f(x)|2xa|2a(1)若不等式f(x)6的解集為x|6x4，求實數(shù)a的值；(2)在(1)的條件下，若不等式f(x)(k21)x5的解集非空，求實數(shù)k的取值范圍解：(1)|2xa|2a|2xa|62a,2a62xa6eq f(3,2)a3x3eq f(a,2).而f(x)6的解集為x|6x4，故有eq blcrc (avs4alco1(f(3,2)a36，,3f(1,2)a4，

18、)解得a2.(2)由(1)得f(x)|2x2|4，不等式|2x2|4(k21)x5，化簡得|2x2|1(k21)x，令g(x)|2x2|1eq blcrc (avs4alco1(2x3，x1，,2x1，x2或k211，解得keq r(3)或keq r(3)或k0，實數(shù)k的取值范圍為(，eq r(3)0(eq r(3)，)6設(shè)函數(shù)f(x)|ax1|.(1)若f(x)2的解集為6,2，求實數(shù)a的值；(2)當a2時，若存在xR，使得不等式f(2x1)f(x1)73m成立，求實數(shù)m解：(1)顯然a0，當a0時，解集為eq blcrc(avs4alco1(f(1,a)，f(3,a)，則eq f(1,a)

19、6，eq f(3,a)2，無解；當a0時，解集為eq blcrc(avs4alco1(f(3,a)，f(1,a)，則eq f(1,a)2，eq f(3,a)6，得aeq f(1,2).綜上所述，aeq f(1,2).(2)當a2時，令h(x)f(2x1)f(x1)|4x1|2x3|eq blcrc (avs4alco1(2x4，xf(1,4)，,6x2，f(1,4)xf(3,2)，,2x4，xf(3,2)，)由此可知，h(x)在eq blc(rc)(avs4alco1(，f(1,4)上單調(diào)遞減，在eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,4)，f(3,2)上單調(diào)遞增，在eq blc(r

20、c)(avs4alco1(f(3,2)，)上單調(diào)遞增，則當xeq f(1,4)時，h(x)取到最小值eq f(7,2)，由題意知，eq f(7,2)73m，解得meq f(7,2)，故實數(shù)m的取值范圍是eq blc(rc(avs4alco1(，f(7,2).7(九江模擬)已知函數(shù)f(x)|x3|xa|.(1)當a2時，解不等式f(x)eq f(1,2)；(2)若存在實數(shù)a，使得不等式f(x)a成立，求實數(shù)a的取值范圍解：(1)a2，f(x)|x3|x2|eq blcrc (avs4alco1(1，x2，,52x，2x3，,1，x3，)f(x)eq f(1,2)等價于eq blcrc (avs4

21、alco1(x2，,1f(1,2)或eq blcrc (avs4alco1(2x3，,52xf(1,2)或eq blcrc (avs4alco1(x3，,1f(1,2)，)解得eq f(11,4)x3或x3，不等式的解集為eq blcrc)(avs4alco1(f(11,4)，).(2)由不等式性質(zhì)可知f(x)|x3|xa|(x3)(xa)|a3|，若存在實數(shù)x，使得不等式f(x)a成立，則|a3|a，解得aeq f(3,2)，實數(shù)a的取值范圍是eq blc(rc(avs4alco1(，f(3,2).8已知函數(shù)f(x)|2x1|x|a，(1)若a1，求不等式f(x)0的解集；(2)若方程f(x

22、)2x有三個不同的解，求a的取值范圍解：(1)當a1時，不等式f(x)0可化為|2x1|x|10，eq blcrc (avs4alco1(xf(1,2)，,2x1x10)或eq blcrc (avs4alco1(f(1,2)x0，,2x1x10)或eq blcrc (avs4alco1(x0，,2x1x10，)解得x2或x0，不等式的解集為(，20，)(2)由f(x)2x，得a2x|x|2x1|，令g(x)2x|x|2x1|，則g(x)eq blcrc (avs4alco1(3x1，xf(1,2)，,x1，f(1,2)x0，,x1，x0，)作出函數(shù)yg(x)的圖象如圖所示，易知Aeq blc(

23、rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(1,2)，B(0，1)，結(jié)合圖象知：當1a0，b0，則aabb_(ab)eq f(ab,2)(填大小關(guān)系)解析：eq f(aabb,abf(ab,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(a,b)eq f(ab,2)，當ab時，eq blc(rc)(avs4alco1(f(a,b)eq f(ab,2)1，當ab0時，eq f(a,b)1，eq f(ab,2)0，eq blc(rc)(avs4alco1(f(a,b)eq f(ab,2)1，當ba0時，0eq f(a,b)1，eq f(ab,2)1，aabb(ab)eq f(ab,2).答案：

24、2設(shè)xyz0，求證：xzeq f(8,xyyz)6.證明：xzeq f(8,xyyz)(xy)(yz)eq f(8,xyyz)3eq r(3,xyyzf(8,xyyz)6.當且僅當xyyzeq f(8,xyyz)時取等號，所以xzeq f(8,xyyz)6.比較法證明不等式典例(莆田模擬)設(shè)a，b是非負實數(shù)求證：a2b2eq r(ab)(ab)證明(a2b2)eq r(ab)(ab)(a2aeq r(ab)(b2beq r(ab)aeq r(a)(eq r(a)eq r(b)beq r(b)(eq r(b)eq r(a)(eq r(a)eq r(b)(aeq r(a)beq r(b)(aeq

25、f(1,2)beq f(1,2)(aeq f(3,2)beq f(3,2)因為a0，b0，所以不論ab0，還是0ab，都有aeq f(1,2)beq f(1,2)與aeq f(3,2)beq f(3,2)同號，所以(aeq f(1,2)beq f(1,2)(aeq f(3,2)beq f(3,2)0，所以a2b2eq r(ab)(ab)方法技巧比較法證明不等式的方法和步驟(1)求差比較法：由abab0，ababb只要證明ab0即可，這種方法稱為求差比較法(2)求商比較法：由ab0eq f(a,b)1且a0，b0，因此當a0，b0時，要證明ab，只要證明eq f(a,b)1即可，這種方法稱為求商

26、比較法(3)用比較法證明不等式的一般步驟是：作差(商)變形判斷結(jié)論，而變形的方法一般有配方、通分和因式分解即時演練求證：當xR時，12x42x3x2.證明：法一：(12x4)(2x3x2)2x3(x1)(x1)(x1)(x1)(2x3x1)(x1)(2x32xx1)(x1)2x(x21)(x1)(x1)2(2x22x1)(x1)2eq blcrc(avs4alco1(2blc(rc)(avs4alco1(xf(1,2)2f(1,2)0，所以12x42x3x2.法二：(12x4)(2x3x2)x42x3x2x42x21(x1)2x2(x21)20，所以12x42x3x2.綜合法證明不等式典例已知

27、a，b均為正數(shù)，且ab1，求證：(1)(axby)2ax2by2；(2)eq blc(rc)(avs4alco1(af(1,a)2eq blc(rc)(avs4alco1(bf(1,b)2eq f(25,2).證明(1)(axby)2(ax2by2)a(a1)x2b(b1)y22abxy，因為ab1，所以a1b，b1a，又a，b均為正數(shù)，所以a(a1)x2b(b1)y22abxyab(x2y22xy)ab(xy)20，當且僅當xy時等號成立所以(axby)2ax2by2.(2)eq blc(rc)(avs4alco1(af(1,a)2eq blc(rc)(avs4alco1(bf(1,b)24

28、a2b2eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,a2)f(1,b2)4a2b2eq f(ab2,a2)eq f(ab2,b2)4a2b21eq f(2b,a)eq f(b2,a2)eq f(a2,b2)eq f(2a,b)14(a2b2)2eq blc(rc)(avs4alco1(f(2b,a)f(2a,b)eq blc(rc)(avs4alco1(f(b2,a2)f(a2,b2)6eq f(ab2,2)42eq f(25,2)，當且僅當abeq f(1,2)時，等號成立，所以eq blc(rc)(avs4alco1(af(1,a)2eq blc(rc)(avs4alco1(bf(1

29、,b)2eq f(25,2).方法技巧1綜合法證明不等式的方法綜合法證明不等式，要著力分析已知與求證之間，不等式的左右兩端之間的差異與聯(lián)系合理進行轉(zhuǎn)換，恰當選擇已知不等式，這是證明的關(guān)鍵2綜合法證明時常用的不等式(1)a20.(2)|a|0.(3)a2b22ab，它的變形形式有：a2b22|ab|；a2b22ab；(ab)24ab；a2b2eq f(1,2)(ab)2；eq f(a2b2,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(ab,2)2.(4)eq f(ab,2)eq r(ab)，它的變形形式有：aeq f(1,a)2(a0)；eq f(a,b)eq f(b,a)2(ab0)；e

30、q f(a,b)eq f(b,a)2(ab0，b0,2cab，求證：ceq r(c2ab)aceq r(c2ab).證明：要證ceq r(c2ab)aceq r(c2ab)，即證eq r(c2ab)aceq r(c2ab)，即證|ac|eq r(c2ab)，即證(ac)2c2ab，即證a22ac0，所以只要證a2cb即證ab0，b0，a3b32.證明：(1)(ab)(a5b5)4；(2)ab2.證明：(1)(ab)(a5b5)a6ab5a5bb6(a3b3)22a3b3ab(a4b44ab(a2b2)24.(2)因為(ab)3a33a2b3ab2b23ab(ab)2eq f(3ab2,4)(a

31、b)2eq f(3ab3,4)，所以(ab)38，因此ab2.2(全國卷)已知函數(shù)f(x)eq blc|rc|(avs4alco1(xf(1,2)eq blc|rc|(avs4alco1(xf(1,2)，M為不等式f(x)2的解集(1)求M；(2)證明：當a，bM時，|ab|1ab|.解：(1)f(x)eq blcrc (avs4alco1(2x，xf(1,2)，,1，f(1,2)xf(1,2)，,2x，xf(1,2).)當xeq f(1,2)時，由f(x)2得2x1；當eq f(1,2)xeq f(1,2)時，f(x)2恒成立；當xeq f(1,2)時，由f(x)2得2x2，解得x1.所以f

32、(x)2的解集Mx|1x1(2)證明：由(1)知，當a，bM時，1a1，1b1，從而(ab)2(1ab)2a2b2a2b21(a21)(1b2)0.因此|ab|cd，則eq r(a)eq r(b)eq r(c)eq r(d)；(2)eq r(a)eq r(b)eq r(c)eq r(d)是|ab|cd，得(eq r(a)eq r(b)2(eq r(c)eq r(d)2.因此eq r(a)eq r(b)eq r(c)eq r(d).(2)必要性：若|ab|cd|，則(ab)2(cd)2，即(ab)24abcd.由(1)，得eq r(a)eq r(b)eq r(c)eq r(d).充分性：若eq

33、r(a)eq r(b)eq r(c)eq r(d)，則(eq r(a)eq r(b)2(eq r(c)eq r(d)2，即ab2eq r(ab)cd2eq r(cd).因為abcd，所以abcd.于是(ab)2(ab)24ab(cd)24cd(cd)2.因此|ab|eq r(c)eq r(d)是|ab|cd|的充要條件4(2014全國卷)若a0，b0，且eq f(1,a)eq f(1,b)eq r(ab).(1)求a3b3的最小值；(2)是否存在a，b，使得2a3b解：(1)由eq r(ab)eq f(1,a)eq f(1,b)eq f(2,r(ab)，得ab2，且當abeq r(2)時等號成

34、立故a3b32eq r(a3b3)4eq r(2)，且當abeq r(2)時等號成立所以a3b3的最小值為4eq r(2).(2)由(1)知，2a3b2eq r(6)eq r(ab)4eq r(3).由于4eq r(3)6，從而不存在a，b，使得2a3b1已知a，b都是正實數(shù)，且ab2，求證：eq f(a2,a1)eq f(b2,b1)1.證明：a0，b0，ab2，eq f(a2,a1)eq f(b2,b1)1eq f(a2b1b2a1a1b1,a1b1)eq f(a2ba2b2ab2abab1,a1b1)eq f(a2b2abababab1,a1b1)eq f(a2b22abab3,a1b1

35、)eq f(ab23ab,a1b1)eq f(1ab,a1b1).ab22eq r(ab)，ab1.eq f(1ab,a1b1)0.eq f(a2,a1)eq f(b2,b1)1.2已知定義在R上的函數(shù)f(x)|x1|x2|的最小值為a.(1)求a的值；(2)若p，q，r是正實數(shù)，且滿足pqra，求證：p2q2r23.解：(1)因為|x1|x2|(x1)(x2)|3，當且僅當1x2時，等號成立，所以f(x)的最小值等于3，即a3.(2)證明：由(1)知pqr3，又因為p，q，r是正實數(shù)，所以(p2q2r2)(121212)(p1q1r1)2(pqr)29，即p2q2r23.3(云南統(tǒng)一檢測)已

36、知a是常數(shù)，對任意實數(shù)x，不等式|x1|2x|a|x1|2x|都成立(1)求a的值；(2)設(shè)mn0，求證：2meq f(1,m22mnn2)2na.解：(1)設(shè)f(x)|x1|2x|，則f(x)eq blcrc (avs4alco1(3，x1，,2x1，1x2，,3，x2，)f(x)的最大值為3.對任意實數(shù)x，|x1|2x|a都成立，即f(x)a，a3.設(shè)h(x)|x1|2x|，則h(x)eq blcrc (avs4alco1(2x1，x1，,3，1x2，,2x1，x2，)則h(x)的最小值為3.對任意實數(shù)x，|x1|2x|a都成立，即h(x)a，a3.a3.(2)證明：由(1)知a3.2me

37、q f(1,m22mnn2)2n(mn)(mn)eq f(1,mn2)，且mn0，(mn)(mn)eq f(1,mn2)3eq r(3,mnmnf(1,mn2)3.2meq f(1,m22mnn2)2na.4已知x，y，z是正實數(shù)，且滿足x2y3z1.(1)求eq f(1,x)eq f(1,y)eq f(1,z)的最小值；(2)求證：x2y2z2eq f(1,14).解：(1)x，y，z是正實數(shù)，且滿足x2y3z1，eq f(1,x)eq f(1,y)eq f(1,z)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x)f(1,y)f(1,z)(x2y3z)6eq f(2y,x)eq f(3

38、z,x)eq f(x,y)eq f(3z,y)eq f(x,z)eq f(2y,z) 62eq r(2)2eq r(3)2eq r(6)，當且僅當eq f(2y,x)eq f(x,y)且eq f(3z,x)eq f(x,z)且eq f(3z,y)eq f(2y,z)時取等號(2)由柯西不等式可得1(x2y3z)2(x2y2z2)(122232)14(x2y2z2)，x2y2z2eq f(1,14)，當且僅當xeq f(y,2)eq f(z,3)，即xeq f(1,14)，yeq f(1,7)，zeq f(3,14)時取等號故x2y2z2eq f(1,14).5(石家莊模擬)已知函數(shù)f(x)|x

39、|x1|.(1)若f(x)|m1|恒成立，求實數(shù)m的最大值M；(2)在(1)成立的條件下，正實數(shù)a，b滿足a2b2M，證明：ab2ab.解：(1)由絕對值不等式的性質(zhì)知f(x)|x|x1|xx1|1，f(x)min1，只需|m1|1，即1m11，0m2，實數(shù)m的最大值M2.(2)證明：a2b22ab，且a2b22，ab1，eq r(ab)1，當且僅當ab時取等號又eq r(ab)eq f(ab,2)，eq f(r(ab),ab)eq f(1,2)，eq f(ab,ab)eq f(r(ab),2)，當且僅當ab時取等號由得，eq f(ab,ab)eq f(1,2)，ab2ab.6(吉林實驗中學(xué)模

40、擬)設(shè)函數(shù)f(x)|xa|.(1)當a2時，解不等式f(x)4|x1|；(2)若f(x)1的解集為0,2，eq f(1,m)eq f(1,2n)a(m0，n0)，求證：m2n4.解：(1)當a2時，不等式為|x2|x1|4.當x2時，不等式可化為x2x14，解得xeq f(7,2)；當1x2時，不等式可化為2xx14，不等式的解集為；當x1時，不等式可化為2x1x4，解得xeq f(1,2).綜上可得，不等式的解集為eq blc(rc(avs4alco1(，f(1,2)eq blcrc)(avs4alco1(f(7,2)，).(2)證明：f(x)1，即|xa|1，解得a1xa1，而f(x)1的

41、解集是0,2，eq blcrc (avs4alco1(a10，,a12，)解得a1，所以eq f(1,m)eq f(1,2n)1(m0，n0)，所以m2n(m2n)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,m)f(1,2n)2eq f(m,2n)eq f(2n,m)22 eq r(f(m,2n)f(2n,m)4，當且僅當m2，n1時取等號7已知a，b，c，d均為正數(shù)，且adbc.(1)證明：若adbc，則|ad|bc|；(2)若teq r(a2b2)eq r(c2d2)eq r(a4c4)eq r(b4d4)，求實數(shù)t的取值范圍解：(1)證明：由adbc，且a，b，c，d均為正數(shù)，得(

42、ad)2(bc)2，又adbc，所以(ad)2(bc)2，即|ad|bc|.(2)因為(a2b2)(c2d2)a2c2a2d2b2c2b2d2a2c22abcdb2d2(acbd所以teq r(a2b2)eq r(c2d2)t(acbd)由于eq r(a4c4) eq r(2)ac, eq r(b4d4) eq r(2)bd，又已知teq r(a2b2)eq r(c2d2) eq r(a4c4)eq r(b4d4)，則t(acbd) eq r(2)(acbd)，故t eq r(2)，當且僅當ac，bd時取等號所以實數(shù)t的取值范圍為eq r(2)，)8已知函數(shù)f(x)|x1|.(1)解不等式f(

43、2x)f(x4)8；(2)若|a|1，|b|feq blc(rc)(avs4alco1(f(b,a).解：(1)f(2x)f(x4)|2x1|x3|eq blcrc (avs4alco1(3x2，x3，,x4，3xf(1,2)，,3x2，xf(1,2)，)當x3時，由3x28，解得xeq f(10,3)；當3xfeq blc(rc)(avs4alco1(f(b,a)等價于f(ab)|a|feq blc(rc)(avs4alco1(f(b,a)，即|ab1|ab|.因為|a|1，|b|0，所以|ab1|ab|.故所證不等式成立.階段滾動檢測(六)全程仿真驗收(時間120分鐘滿分150分)一、選擇

44、題(本大題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1若集合A1,2,3，B(x，y)|xy40，x，yA，則集合B中的元素個數(shù)為()A9B6C4 D3解析：選D集合A1,2,3，B(x，y)|xy40，x，yA(2,3)，(3,2)，(3,3)，則集合B中的元素個數(shù)為3.2若復(fù)數(shù)eq f(2a2i,1i)(aR)是純虛數(shù)，則復(fù)數(shù)2a2i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：選Beq f(2a2i,1i)eq f(2a2i1i,1i1i)eq f(2a222ai,2)，由題意可知2a20且22a0，所以a1，則復(fù)數(shù)2

45、a2i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(2,2)在第二象限3已知命題p：x0(，0)，2x03x0；命題q：x0，eq f(,2)，cos x1，則下列命題為真命題的是()Apq Bp(綈q)C(綈p)q Dp(綈q)解析：選C因為x(，0)時，eq f(2x,3x)eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)x1，所以2x3x，故命題p是假命題；命題q：xeq blc(rc)(avs4alco1(0，f(,2)，cos x1，是真命題，則綈p是真命題，綈q是假命題，故(綈p)q是真命題4.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A12B1eq f(4,3)C1eq f(,2) D1eq

46、f(,6)解析：選D由三視圖可知，該幾何體是一個組合體，上面是一個半徑為eq f(1,2)的球，下面是一個棱長為1的正方體，所以該幾何體的體積Veq f(4,3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)311eq f(,6).5函數(shù)yeq f(x2,2x2x)的圖象可能是()解析：選C因為f(x)eq f(x2,2x2x)f(x)，即函數(shù)yeq f(x2,2x2x)是奇函數(shù)，故排除B、D；當x0，且x時，y0，故排除A，因此選C.6執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入的m，n分別為1 848,936，則輸出的m的值為()A168B72C36 D24解析：選D根據(jù)題意，運行程序：m1

47、848，n936；r912，m936，n912；r24，m912，n24；r0，m24，n0，此時滿足條件，循環(huán)結(jié)束，輸出m24，故選D.7.如圖，RtABC中，ABAC，BC4，O為BC的中點，以O(shè)為圓心，1為半徑的半圓與BC交于點D，P為半圓上任意一點，則eq o(BP,sup7()eq o(AD,sup7()的最小值為()A2eq r(5) B.eq r(5)C2 D2eq r(5)解析：選D建立如圖所示的平面直角坐標系，則B(2,0)，A(0,2)，D(1,0)，設(shè)P(x，y)，故eq o(BP,sup7()(x2，y)，eq o(AD,sup7()(1，2)，所以eq o(BP,su

48、p7()eq o(AD,sup7()x2y2.令x2y2t，根據(jù)直線的幾何意義可知，當直線x2y2t與半圓相切時，t取得最小值，由點到直線的距離公式可得eq f(|2t|,r(5)1，t2eq r(5)，即eq o(BP,sup7()eq o(AD,sup7()的最小值是2eq r(5).8將函數(shù)f(x)cos x(0)的圖象向右平移eq f(,3)個單位，若所得圖象與原圖象重合，則feq blc(rc)(avs4alco1(f(,24)不可能等于()A0 B1C.eq f(r(2),2) D.eq f(r(3),2)解析：選D將函數(shù)f(x)cos x(0)的圖象向右平移eq f(,3)個單位

49、，得函數(shù)ycoseq blc(rc)(avs4alco1(xf(,3)，由題意可得eq f(,3)2k，kZ，因為0，所以6k0，kZ，則feq blc(rc)(avs4alco1(f(,24)coseq f(,24)coseq f(k,4)，kZ，顯然，feq blc(rc)(avs4alco1(f(,24)不可能等于eq f(r(3),2)，故選D.9(鄭州二模)已知實數(shù)x，y滿足eq blcrc (avs4alco1(yx2，,xy6，,x1，)則z2|x2|y|的最小值是()A6 B5C4 D3解析：選C作出不等式組eq blcrc (avs4alco1(yx2，,xy6，,x1)表示

50、的可行域如圖中陰影部分所示，其中A(2,4)，B(1,5)，C(1，3)，x1,2，y3,5z2|x2|y|2xy4，當直線y2x4z過點A(2,4)時，直線在y軸上的截距最小，此時z有最小值，zmin22444，故選C.10在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，Aeq f(,4)，b2a2eq f(1,2)c2，則tan C()A2 B2C.eq f(1,2) Deq f(1,2)解析：選A因為b2a2eq f(1,2)c2且b2c2a22bccos Aeq r(2)bc，所以beq f(3c,2r(2)，aeq f(r(5)c,2r(2)，由余弦定理可得cos Ceq f(f

51、(5,8)c2f(9,8)c2c2,2f(r(5)c,2r(2)f(3c,2r(2)eq f(1,r(5)，則角C是銳角，sin Ceq f(2,r(5)，則tan Ceq f(sin C,cos C)2.11已知點P在雙曲線C：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)的右支上，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點，若|eq o(PF1,sup7() |2|eq o(PF2,sup7() |212a2，則該雙曲線的離心率的取值范圍是()A3，) B(2,4C(2,3 D(1,3解析：選D根據(jù)題意，因為|eq o(PF1,sup7()|2|eq o(PF2,sup7()|212

52、a2，且|PF1|PF2|2a，所以|PF1|PF2|6a|F1F2|2c，所以e3.又因為e1，所以該雙曲線的離心率的取值范圍是(1,312已知f(x)為函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，且f(x)eq f(1,2)x2f(0)xf(1)ex1，若g(x)f(x)eq f(1,2)x2x，則方程geq blc(rc)(avs4alco1(f(x2,a)x)x0有且僅有一個根時，實數(shù)a的取值范圍是()A(，0)1 B(，1C(0,1 D1，)解析：選A由函數(shù)的解析式可得f(0)f(1)e1，f(x)xf(0)f(1)ex1，f(1)1f(0)f(1)，所以f(1)e，f(0)1，所以f(x)eq f(1,

53、2)x2xex，g(x)f(x)eq f(1,2)x2xex，則eeq f(x2,a)xx0有且僅有一個根，即eq f(x2,a)xln x有且僅有一個根，分別作出yeq f(x2,a)和yxln x的圖象，由圖象知a0或a1.二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分請把正確答案填在題中的橫線上)13(mx)(1x)3的展開式中x的奇數(shù)次冪項的系數(shù)之和為16，則eq iin(-1,1,)xmdx_.解析：(mx)(1x)3(mx)(Ceq oal(0,3)x3Ceq oal(1,3)x2Ceq oal(2,3)xCeq oal(3,3)，所以x的奇數(shù)次冪項的系數(shù)之和為mCeq oal(

54、0,3)mCeq oal(2,3)Ceq oal(1,3)Ceq oal(3,3)16，解得m3，所以eq iin(-1,1,)xmdxeq iin(-1,1,)x3dxeq f(1,4)x4eq blc|(avs4alco1(1,-1)0.答案：014在ABC中，ABAC，ABeq f(1,t)，ACt，P是ABC所在平面內(nèi)一點，若eq o(AP,sup7()eq f(4eq o(AB,sup7(),|eq o(AB,sup7()|)eq f(eq o(AC,sup7(),|eq o(AC,sup7()|)，則PBC面積的最小值為_解析：由于ABAC，故以AB，AC所在直線分別為x軸，y軸，

55、建立平面直角坐標系(圖略)，則Beq blc(rc)(avs4alco1(f(1,t)，0)，C(0，t)，因為eq o(AP,sup7()eq f(4eq o(AB,sup7(),|eq o(AB,sup7()|)eq f(eq o(AC,sup7(),|eq o(AC,sup7()|)，所以點P坐標為(4,1)，直線BC的方程為t2xyt0，所以點P到直線BC的距離為deq f(|4t21t|,r(t41)，BCeq f(r(t41),t)，所以PBC的面積為eq f(1,2)eq f(|4t21t|,r(t41)eq f(r(t41),t)eq f(1,2)eq blc|rc|(avs4

56、alco1(4tf(1,t)1)eq f(3,2)，當且僅當teq f(1,2)時取等號答案：eq f(3,2)15若m(0,3)，則直線(m2)x(3m)y30與x軸、y軸圍成的三角形的面積小于eq f(9,8)的概率為_解析：令x0，得yeq f(3,3m)；令y0，得xeq f(3,m2).所以eq f(1,2)|x|y|eq f(1,2)eq blc|rc|(avs4alco1(f(3,m2)eq blc|rc|(avs4alco1(f(3,3m)eq f(9,8)，因為m(0,3)，所以解得0mb0)上一點，A，B是其左、右頂點，若eq o(AM,sup7()2eq o(AM,sup

57、7()eq o(BM,sup7()xeq oal(2,0)a2，則離心率e_.解析：由題意知A(a,0)，B(a,0)，eq o(AM,sup7()(x0a，y0)，eq o(BM,sup7()(x0a，y0)，2eq o(AM,sup7()eq o(BM,sup7()xeq oal(2,0)a2，2(xeq oal(2,0)a2yeq oal(2,0)xeq oal(2,0)a2，xeq oal(2,0)a22yeq oal(2,0).又eq f(xoal(2,0),a2)eq f(yoal(2,0),b2)1，eq f(a22yoal(2,0),a2)eq f(yoal(2,0),b2)1

58、，eq f(2,a2)eq f(1,b2)0，a22b2，eq f(c2,a2)eq f(a2b2,a2)1eq f(b2,a2)1eq f(1,2)eq f(1,2)，eeq f(r(2),2).答案：eq f(r(2),2)三、解答題(本大題共6小題，共70分，解答時寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17(本小題滿分12分)已知數(shù)列an的前n項和為Sn，a12，且滿足an1Sn2n1(nN*)(1)證明數(shù)列eq blcrc(avs4alco1(f(Sn,2n)為等差數(shù)列；(2)求S1S2Sn.解：(1)證明：由條件可知，Sn1SnSn2n1，即Sn12Sn2n1，整理得eq f(Sn

59、1,2n1)eq f(Sn,2n)1，所以數(shù)列eq blcrc(avs4alco1(f(Sn,2n)是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列(2)由(1)可知，eq f(Sn,2n)1n1n，即Snn2n，令TnS1S2Sn，則Tn12222n2n2Tn122223n2n1，得Tn2222nn2n1eq f(212n,12)n2n1(1n)2n12，所以Tn2(n1)2n1.18(本小題滿分12分)如圖所示的是某母嬰用品專賣店根據(jù)以往銷售奶粉的銷售記錄繪制的日銷售量的頻率分布直方圖將日銷售量落入各組的頻率視為概率，并假設(shè)每天的銷售量相互獨立(1)估計日銷售量的平均值；(2)求未來連續(xù)三天里，有兩天日銷

60、售量不低于100袋且另一天銷售量低于50袋的概率；(3)記X為未來三天里日銷售量不低于150袋的天數(shù)，求X的分布列和均值(數(shù)學(xué)期望)解：(1)估計日銷售量的平均值為250.00350750.005501250.006501750.004502250.00250117.5.(2)不低于100袋的概率為0.6，低于50袋的概率為0.15，設(shè)事件A表示有兩天日銷售量不低于100袋且另一天銷售量低于50袋，則P(A)Ceq oal(2,3)(0.6)20.150.162.(3)不低于150袋的概率為0.3，由題意知，XB(3,0.3)，P(X0)Ceq oal(0,3)(0.7)30.343，P(X1