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1、1冪級數(shù)的分析性質(zhì)與冪級數(shù)的求和第三節(jié) 冪級數(shù)的概念、性質(zhì)與求和冪級數(shù)及其收斂半徑函數(shù)項級數(shù)的概念21.定義如則函數(shù)項級數(shù).定義1一、函數(shù)項級數(shù)的概念為定義在(a, b)內(nèi)的函數(shù)序列,稱為定義在(a, b)內(nèi)的32.收斂點與收斂域若數(shù)項級數(shù)收斂(或發(fā)散)則稱x0為函數(shù)項級數(shù)的收斂點(或發(fā)散點).函數(shù)項級數(shù)所有收斂點(或發(fā)散點)稱為其收斂域(或發(fā)定義2散域).43.和函數(shù)定義3為函數(shù)項級數(shù)則s(x)稱為函數(shù)項級數(shù)和函數(shù).的前n項和序列,若極限存在,如,它的收斂域為發(fā)散域為等比級數(shù)在收斂域內(nèi)和函數(shù)是即有5函數(shù)項級數(shù)的部分和余項(x在收斂域上)注函數(shù)項級數(shù)在某點x的收斂問題,實質(zhì)上是定義域顯然s(x

2、) 的定義域就是級數(shù)的收斂域.?數(shù)項級數(shù)的收斂問題.6例1解由比值(達朗貝爾)判別法(1) 當 時,原級數(shù)(2) 當 時,原級數(shù)絕對收斂;發(fā)散.求函數(shù)項級數(shù)的收斂域.7級數(shù)為條件收斂級數(shù)為發(fā)散總之,所討論的級數(shù)的收斂域為區(qū)間 把函數(shù)項級數(shù)中的變量x視為參數(shù),(3) 通過常數(shù)項級數(shù)的斂散性判別法,哪些 x 值發(fā)散,些 x 值收斂,來判定函數(shù)項級數(shù)對哪這是確定函數(shù)項級數(shù)收斂域的基本方法.81.定義如下形式的函數(shù)項級數(shù)稱為的冪級數(shù).的冪級數(shù).定義稱為二、冪級數(shù)及其收斂半徑9證阿貝爾 (Abel)(挪威) 18021829定理1(阿貝爾(Abel)定理)則它在滿足不等式絕對收斂;發(fā)散.收斂,發(fā)散,如果

3、級數(shù)則它在滿足不等式的一切x處如果級數(shù)的一切x處從而數(shù)列有界,即有常數(shù) M 0,使得2.收斂半徑和收斂域10由(1)結(jié)論,這與所設矛盾.使級數(shù)收斂,則級數(shù)時應收斂,而有一點x1適合11推論也不是在整個數(shù)軸上都收斂,則必有一個完全確冪級數(shù)絕對收斂;冪級數(shù)發(fā)散.冪級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.幾何說明收斂區(qū)域發(fā)散區(qū)域發(fā)散區(qū)域如果冪級數(shù)不是僅在x = 0一點收斂,定的正數(shù)R存在,它具有下列性質(zhì):12正數(shù)R稱為冪級數(shù)的冪級數(shù)的收斂域規(guī)定如何求冪級數(shù)的收斂半徑?定義收斂半徑.收斂區(qū)間(1)冪級數(shù)只在x = 0處收斂,收斂域中只有一點(2)冪級數(shù)對一切 x 都收斂,收斂區(qū)間13設定理2如果冪級數(shù)的所有系數(shù)14例

4、2 求下列冪級數(shù)的收斂半徑與收斂區(qū)間,收斂域.解故收斂區(qū)間為15是收斂的交錯級數(shù). 是調(diào)和級數(shù),發(fā)散.故收斂域為16發(fā)散收斂故收斂域為解(0,1.即收斂即收斂17解是缺偶次冪的冪級數(shù).例3 求函數(shù)項級數(shù) 的收斂區(qū)間.去掉第一項,所以,去掉第一項,級數(shù)處處收斂.定義域為因為第一項lnx的所以,原級數(shù)的收斂區(qū)間是比值審斂法181. 代數(shù)運算性質(zhì)加減法(其中的收斂半徑各為R1和R2 ,三、冪級數(shù)的分析性質(zhì)與冪級數(shù)的求和192.和函數(shù)的分析運算性質(zhì)可逐項積分.則其若在端點收斂,則在端點單側(cè)連續(xù).則其20(收斂半徑不變)(收斂半徑不變)逐項求導任意次.并可則其(3) 冪級數(shù)的收斂半徑為R (R 0),21解(1)求收斂域發(fā)散收斂故級數(shù)的收斂域為 容易求和函數(shù)的冪級數(shù)是幾何級數(shù),分析設法用逐項求導或逐項積分的方法把通項變形.例422由牛頓萊布尼茲公式得利用性質(zhì)3,逐項求導(2)求和函數(shù)s(x)23練習: 求冪級數(shù) 的和函數(shù).解(1)求收斂域發(fā)散收斂故級數(shù)的收斂域24(2)求和函數(shù)s(x)設所求和函數(shù)為s(x),有逐項求導即25因此,當x = 0時,顯然有總之有由牛頓萊布尼茲公式得26 小結(jié)再對和函數(shù)積分(求導),求出原級數(shù)的和函數(shù).求和函數(shù)的一般過程是:首先找收斂半徑,再利用在收斂區(qū)間上冪級數(shù)和函數(shù)的性質(zhì)可逐項求導(積分),求得新的冪級數(shù)和函數(shù);最后常用已知和函數(shù)的冪級數(shù)27冪級數(shù)及其收斂