2023屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)作業(yè)圓錐曲線中的范圍最值問題新人教B版

1、PAGE PAGE 3圓錐曲線中的范圍、最值問題1已知橢圓C：x22y24(1)求橢圓C的離心率；(2)設(shè)O為原點(diǎn)，若點(diǎn)A在直線y2上，點(diǎn)B在橢圓C上，且OAOB，求線段AB長(zhǎng)度的最小值解(1)由題意，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq f(x2,4)eq f(y2,2)1，所以a24，b22，從而c2a2b22因此a2，ceq r(2)故橢圓C的離心率eeq f(c,a)eq f(r(2),2)(2)設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(t,2)，(x0，y0)，其中x00因?yàn)镺AOB，所以eq o(OA,sup7()eq o(OB,sup7()0，即tx02y00，解得teq f(2y0,x0)又xeq oal(2

2、,0)2yeq oal(2,0)4，所以|AB|2(x0t)2(y02)2eq blc(rc)(avs4alco1(x0f(2y0,x0)eq sup12(2)(y02)2xeq oal(2,0)yeq oal(2,0)eq f(4yoal(2,0),xoal(2,0)4xeq oal(2,0)eq f(4xoal(2,0),2)eq f(24xoal(2,0 ),xoal(2,0 )4eq f(xoal(2,0),2)eq f(8,xoal(2,0)4(0 xeq oal(2,0)4)因?yàn)閑q f(xoal(2,0),2)eq f(8,xoal(2,0)4(0 xeq oal(2,0)4)，

3、且當(dāng)xeq oal(2,0)4時(shí)等號(hào)成立，所以|AB|28故線段AB長(zhǎng)度的最小值為2eq r(2)2(2021全國(guó)乙卷)已知拋物線C：y22px(p0)的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為2(1)求C的方程；(2)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，點(diǎn)Q滿足eq o(PQ,sup7()9eq o(QF,sup7()，求直線OQ斜率的最大值解(1)由拋物線的定義可知，焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為p，故p2，所以C的方程為y24x(2)由(1)知F(1,0)，設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則eq o(PQ,sup7()(x2x1，y2y1)，eq o(QF,sup7()(1x2，y2)，因?yàn)閑q o(PQ,sup7(

4、)9eq o(QF,sup7()，所以eq blcrc (avs4alco1(x2x191x2,y2y19y2)，可得eq blcrc (avs4alco1(x110 x29,y110y2)，又點(diǎn)P在拋物線C上，所以yeq oal(2,1)4x1，即(10y2)24(10 x29)，化簡(jiǎn)得yeq oal(2,2)eq f(2,5)x2eq f(9,25)，則點(diǎn)Q的軌跡方程為y2eq f(2,5)xeq f(9,25)設(shè)直線OQ的方程為ykx，易知當(dāng)直線OQ與曲線y2eq f(2,5)xeq f(9,25)相切時(shí)，斜率可以取最大，聯(lián)立ykx與y2eq f(2,5)xeq f(9,25)并化簡(jiǎn)，得

5、k2x2eq f(2,5)xeq f(9,25)0，令eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,5)eq sup12(2)4k2eq f(9,25)0，解得keq f(1,3)，所以直線OQ斜率的最大值為eq f(1,3)3如圖，已知拋物線x2y，點(diǎn)Aeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(1,4)，Beq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)，f(9,4)，拋物線上的點(diǎn)P(x，y)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)xf(3,2)過點(diǎn)B作直線AP的垂線，垂足為Q(1)求直線AP斜率的取值范圍；(2)求|PA|PQ|的最大值解(1)設(shè)直

6、線AP的斜率為k，keq f(x2f(1,4),xf(1,2)xeq f(1,2)，因?yàn)閑q f(1,2)xeq f(3,2)，所以直線AP斜率的取值范圍是(1,1)(2)聯(lián)立直線AP與BQ的方程eq blcrc (avs4alco1(kxyf(1,2)kf(1,4)0，,xkyf(9,4)kf(3,2)0，)解得點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)是xQeq f(k24k3,2k21)因?yàn)閨PA|eq r(1k2)eq blc(rc)(avs4alco1(xf(1,2)eq r(1k2)(k1)，|PQ|eq r(1k2)(xQx)eq f(k1k12,r(k21)，所以|PA|PQ|(k1)(k1)3令f(k)(k1)(k1)3，因?yàn)閒(k)(4k2)(k1)2，所以f(k)在區(qū)間eq blc(rc)(a