高等數(shù)學(xué)多元函數(shù)的極值及其求法

1、高等數(shù)學(xué)多元函數(shù)的極值及其求法1第1頁，共40頁，2022年，5月20日，21點25分，星期四一、 多元函數(shù)的極值 定義: 若函數(shù)則稱函數(shù)在該點取得極大值(極小值).例如 :在點 (0,0) 有極小值;在點 (0,0) 有極大值;在點 (0,0) 無極值.極大值和極小值統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取得極值的點稱為極值點.的某鄰域內(nèi)有2第2頁，共40頁，2022年，5月20日，21點25分，星期四定理1 (必要條件)函數(shù)偏導(dǎo)數(shù),證:據(jù)一元函數(shù)極值的必要條件可知定理結(jié)論成立.取得極值 ,取得極值取得極值且在該點取得極值 ,則有存在故3第3頁，共40頁，2022年，5月20日，21點25分，星期四4第4頁，共

2、40頁，2022年，5月20日，21點25分，星期四 仿照一元函數(shù)，凡能使一階偏導(dǎo)數(shù)同時為零的點，均稱為函數(shù)的駐點.駐點極值點問題：如何判定一個駐點是否為極值點？注意：5第5頁，共40頁，2022年，5月20日，21點25分，星期四時, 具有極值定理2 (充分條件)的某鄰域內(nèi)具有一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 且令則: 1) 當(dāng)A0 時取極小值.2) 當(dāng)3) 當(dāng)時, 沒有極值.時, 不能確定 , 需另行討論.若函數(shù)6第6頁，共40頁，2022年，5月20日，21點25分，星期四7第7頁，共40頁，2022年，5月20日，21點25分，星期四例1.求函數(shù)解: 第一步 求駐點.得駐點: (1, 0) ,

3、(1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .第二步 判別.在點(1,0) 處為極小值;解方程組的極值.求二階偏導(dǎo)數(shù)8第8頁，共40頁，2022年，5月20日，21點25分，星期四在點(3,0) 處不是極值;在點(3,2) 處為極大值.在點(1,2) 處不是極值;9第9頁，共40頁，2022年，5月20日，21點25分，星期四解10第10頁，共40頁，2022年，5月20日，21點25分，星期四11第11頁，共40頁，2022年，5月20日，21點25分，星期四12第12頁，共40頁，2022年，5月20日，21點25分，星期四二、最值應(yīng)用問題函數(shù) f 在閉域上連續(xù)函數(shù) f 在閉域上可達(dá)

4、到最值 最值可疑點 駐點邊界上的最值點特別, 當(dāng)區(qū)域內(nèi)部最值存在, 且只有一個極值點P 時, 為極小 值為最小 值(大)(大)依據(jù)13第13頁，共40頁，2022年，5月20日，21點25分，星期四解如圖,14第14頁，共40頁，2022年，5月20日，21點25分，星期四15第15頁，共40頁，2022年，5月20日，21點25分，星期四16第16頁，共40頁，2022年，5月20日，21點25分，星期四解由17第17頁，共40頁，2022年，5月20日，21點25分，星期四18第18頁，共40頁，2022年，5月20日，21點25分，星期四 對于實際問題可根據(jù)實際問題的意義判斷最大值和最小

5、值的存在性。例5某公司在生產(chǎn)中使用甲、兩種原料,已知甲和乙兩種原料分別使用x單位和y單位可生產(chǎn)Q單位的產(chǎn)品，且已知甲原料單價為20元/單位，乙原料單價為30元/單位，產(chǎn)品每單位售價為100元，產(chǎn)品固定成本為1000元，求該公司的最大利潤。解 利潤函數(shù)為19第19頁，共40頁，2022年，5月20日，21點25分，星期四（利潤函數(shù)）解方程組求得唯一駐點（5，8）所以 在（5，8）取得極大值20第20頁，共40頁，2022年，5月20日，21點25分，星期四無條件極值：對自變量除了限制在定義域內(nèi)外，并無其他條件.21第21頁，共40頁，2022年，5月20日，21點25分，星期四三、條件極值極值問

6、題無條件極值:條 件 極 值 :條件極值的求法: 方法1 代入法.求一元函數(shù)的無條件極值問題對自變量只有定義域限制對自變量除定義域限制外,還有其它條件限制例如 ,轉(zhuǎn)化22第22頁，共40頁，2022年，5月20日，21點25分，星期四方法2 拉格朗日乘數(shù)法.如方法 1 所述 ,則問題等價于一元函數(shù)可確定隱函數(shù)的極值問題,極值點必滿足設(shè) 記例如,故 故有23第23頁，共40頁，2022年，5月20日，21點25分，星期四引入輔助函數(shù)輔助函數(shù)F 稱為拉格朗日( Lagrange )函數(shù).利用拉格極值點必滿足則極值點滿足:朗日函數(shù)求極值的方法稱為拉格朗日乘數(shù)法.24第24頁，共40頁，2022年，5

7、月20日，21點25分，星期四推廣拉格朗日乘數(shù)法可推廣到多個自變量和多個約束條件的情形. 設(shè)解方程組可得到條件極值的可疑點 . 例如, 求函數(shù)下的極值.在條件25第25頁，共40頁，2022年，5月20日，21點25分，星期四例6拋物面 被平面x+y+z=1截成一個橢圓，求這個橢圓到坐標(biāo)原點的最長與最短距離。解 該問題即求函數(shù)在條件 及x+y+z=1下的最大值與最小值。求偏導(dǎo)得到可能的極值點：26第26頁，共40頁，2022年，5月20日，21點25分，星期四由該問題的實際意義知該問題確實存在最大值與最小值，其最大值與最小值為27第27頁，共40頁，2022年，5月20日，21點25分，星期四

8、解則28第28頁，共40頁，2022年，5月20日，21點25分，星期四例8 某公司通過電臺和報紙兩種方式做銷售其產(chǎn)品的廣告，根據(jù)統(tǒng)計資料分析可知，銷售收入R（萬元）與電臺廣告費x（萬元）、報紙廣告費y（萬元）有如下經(jīng)驗公式：R=15+14x+32y-8xy-2x2-10y2（1） 在廣告費用不限的情況下，求使銷售凈收入最大的廣告策略；（2）若提供的廣告費用為1. 5萬元,求相應(yīng)的最優(yōu)廣告策略.29第29頁，共40頁，2022年，5月20日，21點25分，星期四解(1)銷售凈收入為L=R-(x+y)=15+13x+31y-8xy-2x2-10y2由極值必要條件Lx=13-8y-4x=0 , L

9、y=31-8x-20y=0 得駐點(x0,y0)=(0.75,1.25)由于 Lxx=-40,Lxy=-8,Lyy=-20 得B2-AC= -160 (x0,y0)=(0.75,1.25)為極大值點,亦最大值點于是,電臺廣告費為0.75萬元,報紙廣告費為1.25萬元時,銷售凈收入最大,最大值為39.25萬元. 30第30頁，共40頁，2022年，5月20日，21點25分，星期四31第31頁，共40頁，2022年，5月20日，21點25分，星期四例9某企業(yè)在兩個互相分割的市場上出售同一種產(chǎn)品，兩個市場的需求函數(shù)分別是 P1=18-2Q1,P2=12-Q2總成本為C=2Q+5,Q=Q1+Q2（1）

10、如果該企業(yè)實行價格差別策略，試確定兩個市場上該產(chǎn)品的銷售量和價格，使該企業(yè)獲得最大利潤；（2）如果該企業(yè)實行價格無差別策略，試確定兩個市場上該產(chǎn)品的銷售量和其統(tǒng)一的價格，使該企業(yè)的總利潤最大化；并比較兩種價格策略下的總利潤大小。 32第32頁，共40頁，2022年，5月20日，21點25分，星期四解（1）33第33頁，共40頁，2022年，5月20日，21點25分，星期四（2）34第34頁，共40頁，2022年，5月20日，21點25分，星期四例10： 某公司準(zhǔn)備用2百萬元的資金，通過兩種方式做廣告，一種是電臺廣播，一種是在日報上登廣告，根據(jù)以王經(jīng)驗，銷售收入與廣告費用之間有如下關(guān)系費和日報廣

11、告費，單位均為百萬元.試確定廣告費使用的最佳方案，使銷售金額最大。 解35第35頁，共40頁，2022年，5月20日，21點25分，星期四且為最大值36第36頁，共40頁，2022年，5月20日，21點25分，星期四即時有極大值，也就是最優(yōu)方案。37第37頁，共40頁，2022年，5月20日，21點25分，星期四例11 設(shè)產(chǎn)品的產(chǎn)量是勞動力x和原料y的函數(shù)為假定每單位勞動力花費100元，每單位原料原料花費200元，現(xiàn)有資金30000元用于生產(chǎn)，應(yīng)如何按排勞動力與原料，使產(chǎn)量達(dá)到最大.解:該問題是在勞動力x與原料y滿足條件100 x+200y=30000的條件下，求目標(biāo)函數(shù) 的最大值。構(gòu)造函數(shù):38第38頁，共40頁，2022年，5月20日，21點25