高等數(shù)學(xué)電子教案

1、高等數(shù)學(xué)電子教案第1頁，共49頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)29分，星期四 對于I上的任一定點(diǎn)x0,函數(shù)序列就成為數(shù)列,此時函數(shù)項(xiàng)級數(shù) u1(x)+u2(x)+.+ un(x). (1)就成為 u1(x0 )+u2(x0 )+.+un(x0 ). (2)這個級數(shù)(2)就是常數(shù)項(xiàng)級數(shù) 對于I上的不同的點(diǎn),就有不同的常數(shù)項(xiàng)級數(shù),所以函數(shù)項(xiàng)級數(shù)和常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的關(guān)系是一般和特殊的關(guān)系.這樣我們可以把常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的有關(guān)理論和審斂法的知識應(yīng)用到函數(shù)項(xiàng)級數(shù)中來. 第2頁，共49頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)29分，星期四級數(shù)(2)可能收斂也可能發(fā)散.如果(2)收斂,我們稱點(diǎn)x0是函注意:I上的點(diǎn)若不是收

2、斂點(diǎn)就是發(fā)散點(diǎn),收斂域可能是區(qū)間,數(shù)項(xiàng)級數(shù)(1)的收斂點(diǎn);如果(2)發(fā)散,我們稱點(diǎn)x0是函數(shù)項(xiàng)級數(shù)(1)的發(fā)散點(diǎn) 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)(1)的所有收斂點(diǎn)的全體稱為它的收斂域,所有發(fā)散點(diǎn)的全體稱為它的發(fā)散域.也可能是孤立點(diǎn),還可能是空集.第3頁，共49頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)29分，星期四對應(yīng)于收斂域內(nèi)的任意一個數(shù)x,函數(shù)項(xiàng)級數(shù)成為一收斂我們?nèi)园裷n(x)=S(x)-Sn(x)叫做函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的余項(xiàng)(當(dāng)然,只有x在收斂域rn(x)才有意義),于是有的常數(shù)項(xiàng)級數(shù),因而有一確定的和S.這樣在收斂域上,函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和是x的函數(shù)S(x),通常稱S(x)為函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和函數(shù),這函數(shù)的定義域就是級數(shù)的收斂域,

3、寫成 S(x)= u1(x)+u2(x)+.+un(x). 把函數(shù)項(xiàng)級數(shù)(1)的前n項(xiàng)的部分和記作Sn(x),則在收斂域上有第4頁，共49頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)29分，星期四 判斷函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂性仍然和常數(shù)項(xiàng)級數(shù)一樣,有 (1)和函數(shù)極限的存在性. (2)比值判別法 (3)根值判別法第5頁，共49頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)29分，星期四例1 討論下函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂域并求和函數(shù)解:函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的定義域是(-,+) 當(dāng)|x|1時,由公比為x的等比數(shù)列求和公式,可得到第6頁，共49頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)29分，星期四第7頁，共49頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)29

4、分，星期四的收斂域利用比值判別法比值判別法失效,但由例2 討論函數(shù)項(xiàng)級數(shù)第8頁，共49頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)29分，星期四級數(shù)收斂,且絕對收斂知級數(shù)發(fā)散故收斂域?yàn)榈?頁，共49頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)29分，星期四二 冪級數(shù)及其收斂性 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)是比較復(fù)雜的,這是因?yàn)樗拿恳豁?xiàng)都是比其中常數(shù)a0,a1,a2,.an.叫做冪級數(shù)的系數(shù).都是冪級數(shù)例如較復(fù)雜的函數(shù).但這些函數(shù)都是冪函數(shù)時,它在理論上和形式上都很簡單,卻應(yīng)用很廣泛的一類級數(shù),稱為冪級數(shù).冪級數(shù)的一般形式是第10頁，共49頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)29分，星期四 冪級數(shù)之所以簡單而重要,首先在于它的部分和

5、Sn(x)是 冪級數(shù)收斂域的研究由Aber得到關(guān)于x的多項(xiàng)式,盡管它的和函數(shù)S(x)可能是很復(fù)雜的函數(shù),當(dāng)它總是可以用多項(xiàng)式來近似地表達(dá),而且只要n充分大時,這種近似表達(dá)可以達(dá)到任意指定的精確程度,其次冪級數(shù)的收斂域有比較簡單的形式.第11頁，共49頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)29分，星期四冪級數(shù)發(fā)散證明: 先設(shè)x0是冪級數(shù)(3)收斂點(diǎn),即級數(shù)收斂.根據(jù)級數(shù)收斂的必要條件,這時有定理(Aber) 如果級數(shù)當(dāng)x=x0(x00)時收斂,則適合不等式|x|x0|的一切x使這于是存在一個常數(shù)M,使得這樣級數(shù)(3)的一般項(xiàng)的絕對值第12頁，共49頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)29分，星期四因?yàn)?/p>

6、當(dāng)|x|x0|使級數(shù)收斂,則根據(jù)本定理的第一部分,級數(shù)當(dāng)x=x0時應(yīng)該收斂,這和所設(shè)矛盾.定理得證.第13頁，共49頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)29分，星期四 定理1告訴我們,如果冪級數(shù)在x=x0處收斂,則對于開區(qū)間設(shè)已給冪級數(shù)在數(shù)軸上既有收斂點(diǎn)(不僅是原點(diǎn))也有發(fā)散 ( - |x0|,|x|)內(nèi)的任何x冪級數(shù)都收斂;如果冪級數(shù)在x=x0處發(fā)散,則對于閉區(qū)間-|x0|,|x|外的任何x冪級數(shù)都發(fā)散.點(diǎn).現(xiàn)在從原點(diǎn)沿數(shù)軸向右方走,最初只遇到收斂點(diǎn),然后就只遇到發(fā)散點(diǎn).這兩部分的界點(diǎn)可能是收斂點(diǎn)也可能是發(fā)散點(diǎn).從原點(diǎn)沿數(shù)軸向左方走情況也是如此.兩界點(diǎn)在原點(diǎn)的兩側(cè),且由定理1可以證明它們到原點(diǎn)

7、的距離是一樣的.第14頁，共49頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)29分，星期四oR-Rpp從上面的幾何說明,我們知道,冪級數(shù)的收斂域是以數(shù)軸上原點(diǎn)為中心的對稱區(qū)間.這里的特殊情況是整個數(shù)軸,或僅有數(shù)軸的原點(diǎn)是收斂域.第15頁，共49頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)29分，星期四且當(dāng)|x|R時冪級數(shù)發(fā)散.對于任何冪級數(shù)如果都存在一個非負(fù)數(shù)R, 0R+,關(guān)于冪級數(shù)的收斂半徑求法,有下面的定理:特殊地,如果R=+,則冪級數(shù)在(-,+,)內(nèi)收斂;如果R=0,則冪級數(shù)僅在x=0處收斂. 這個數(shù)R稱為冪級數(shù)的收斂半徑.(-R,+R)叫做收斂域.由冪級數(shù)在x=R處的收斂性,就可決定它在區(qū)間(-R,+R)

8、上的收斂情況.第16頁，共49頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)29分，星期四,如果它的系數(shù)滿足定理2 設(shè)有冪級數(shù)第17頁，共49頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)29分，星期四證明: 由任意項(xiàng)級數(shù)的比值法,得到第18頁，共49頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)29分，星期四例2 求冪級數(shù)的收斂半徑解:因?yàn)樵趚=+1的端點(diǎn),級數(shù)成為級數(shù)收斂在x= -1的端點(diǎn),級數(shù)成為級數(shù)發(fā)散所以它的收斂半徑為(-1,1第19頁，共49頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)29分，星期四例3 求下冪級數(shù)的收斂區(qū)間解:所以收斂半徑R=+,收斂區(qū)間是(-,+)第20頁，共49頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)29分，星

9、期四例4 求級數(shù)的收斂區(qū)間解:所以收斂半徑R=0,級數(shù)僅在x=0處收斂第21頁，共49頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)29分，星期四例5 求級數(shù)的收斂半徑和收斂區(qū)間所以收斂半徑為e第22頁，共49頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)29分，星期四通項(xiàng)不趨于0,級數(shù)發(fā)散第23頁，共49頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)29分，星期四所以原冪級數(shù)的收斂半徑為e,收斂區(qū)域?yàn)?-e,e)第24頁，共49頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)29分，星期四例6求級數(shù)的收斂半徑和收斂區(qū)間本冪級數(shù)x的奇次冪的系數(shù)a2n+1=0,故不能用公式法求收斂半徑.這里有二種解法第25頁，共49頁，2022年，5月20日，

10、21點(diǎn)29分，星期四解法一,利用正項(xiàng)級數(shù)的比值法考察第26頁，共49頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)29分，星期四解法二 令x2=t,原級數(shù)化為t的冪級數(shù)所以原級數(shù)的收斂半徑為第27頁，共49頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)29分，星期四當(dāng)t=1時當(dāng)t=-1時收斂區(qū)間為-1t 1,即-10.R20,則對R=minR1R2,在(-R,R)內(nèi),兩個冪級數(shù)可作加法,減法,乘法運(yùn)算即第29頁，共49頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)29分，星期四對于兩個冪級數(shù)相除這里設(shè)b00,為了求出右端的式子,我們把上式寫為采用系數(shù)待定法解出C0,C1.第30頁，共49頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)29分，

11、星期四 有了前面冪級數(shù)的四則運(yùn)算,現(xiàn)在我們研究在收斂域內(nèi)1)冪級數(shù)的和函數(shù)S(x)在其收斂域內(nèi)是一個連續(xù)函數(shù)的冪級數(shù)的和函數(shù) 關(guān)于冪級數(shù)的和函數(shù)的性質(zhì)和冪級數(shù)的分析運(yùn)算有如下結(jié)論:第31頁，共49頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)29分，星期四且求導(dǎo)前后的兩個級數(shù)有相同的收斂半徑R.2) 冪級數(shù)的和函數(shù)S(x)在其收斂域內(nèi)是可導(dǎo)的,并有逐項(xiàng)求導(dǎo)公式反過來,和函數(shù)在收斂域內(nèi)具有任意階的導(dǎo)數(shù).第32頁，共49頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)29分，星期四并有逐項(xiàng)積分公式逐項(xiàng)積分后所得到的冪級數(shù)和原級數(shù)有相同的收斂半徑3)冪級數(shù)的和函數(shù)S(x)在其收斂域內(nèi)是可積的,第33頁，共49頁，2022年，

12、5月20日，21點(diǎn)29分，星期四有了和函數(shù)的分析性質(zhì),我們就不必每次用定義求和函數(shù) 在利用冪級數(shù)的可以逐項(xiàng)微分,逐項(xiàng)積分性質(zhì)求冪級數(shù)的極限,而是利用一些已知的冪級數(shù)的和函數(shù) ( 這些冪級數(shù)即是: 等比級數(shù),sinx,cosx, ex.的冪級數(shù)的展開式 ) 來求另外一些和函數(shù).的和函數(shù)時,會提出如下的問題:在何種情形需逐項(xiàng)微分?又在何種情形需逐項(xiàng)積分?第34頁，共49頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)29分，星期四下面幾點(diǎn)可作為解題時的依據(jù):除了上面兩條原則外,把冪級數(shù)斥成幾個級數(shù)的代數(shù)和或 (1)若冪級數(shù)通項(xiàng)的系數(shù)是n的有理分式,一般可用逐項(xiàng)微分的方法求和函數(shù). (2)當(dāng)冪級數(shù)通項(xiàng)的系數(shù)是n的

13、有理整式時,一般可用逐項(xiàng)積分的方法求和函數(shù).提出公因子,也是求冪級數(shù)的和函數(shù)常用的技巧.第35頁，共49頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)29分，星期四兩邊對x求導(dǎo)便得到S(x)解:第36頁，共49頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)29分，星期四第37頁，共49頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)29分，星期四的收斂域及和函數(shù)分析: 這兩個冪級數(shù)通項(xiàng)的分母都是階乘,這種情形,一般例9 求冪級數(shù)可用逐項(xiàng)積分的性質(zhì)求和函數(shù),且要利用和函數(shù)為正余弦函數(shù)或指數(shù)函數(shù)的冪級數(shù)求和公式.第38頁，共49頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)29分，星期四第39頁，共49頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)29分，星

14、期四第40頁，共49頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)29分，星期四第41頁，共49頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)29分，星期四利用冪級數(shù)的和函數(shù)求收斂常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和收斂,并求其和分析:此級數(shù)為冪級數(shù)當(dāng)x=1/3時的值.此時冪級數(shù)為其收斂半徑為1.例10 證明級數(shù)和函數(shù)為:第42頁，共49頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)29分，星期四第43頁，共49頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)29分，星期四的和該級數(shù)利用根值判別法證明它收斂例11 求常數(shù)項(xiàng)級數(shù)此級數(shù)可看成冪級數(shù)在x=1/2時所得到的級數(shù).第44頁，共49頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)29分，星期四時得到的級數(shù)但這冪級數(shù)的和函數(shù)還是不容易得到,現(xiàn)在我們把它看成冪級數(shù)在第45頁，共49頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)29分，星期四第46頁，共49頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)29分，星期四第47頁，共49頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)29分，星期四利用阿貝爾定理討論冪級數(shù)的斂散性 定理1告訴我們,如果冪級數(shù)在x=x0處收斂,則對于開區(qū)間(-|x0|,|x|)內(nèi)的任何x冪級數(shù)都收斂;如果冪級數(shù)在x=