近世代數(shù)圖形的對稱變換群課件

1、近世代數(shù) 第二章 群論 11 圖形的對稱變換群、群的應用 10/9/2022 09:24近世代數(shù) 第二章 群論 10/3/2022 一、圖形的對稱變換群 定義1: 使圖形不變形地變到與它重合的變換稱為這個圖形的對稱變換. 定義2：圖形的一切對稱變換關于變換的乘法構(gòu)成群，稱為這個圖形的對稱變換群. 10/9/2022 09:24一、圖形的對稱變換群 定義1: 使圖形不變形地變到與它重合例 1 正三角形的對稱變換群. 設正三角形的三個頂點分別為1、 2、 3. 顯然，正三角形的每一對稱變換都導致正三角形的三個頂點的唯一一個置換. 反之， 由正三角形的三個頂點的任一置換都可得到正三角形的唯一一個對稱

2、變換，從而可用表示正三角形的對稱變換群. 10/9/2022 09:24例 1 正三角形的對稱變換群. 設正三角形的三個頂點其中(1)為恒等變換, (1 2), (1 3), (2 3) 分別表示關于正三角形的三個對稱軸的反射變換, (1 2 3), (1 3 2)分別表示關于正三角形的中心按逆時針方向旋轉(zhuǎn)120度、240度的旋轉(zhuǎn)變換. 10/9/2022 09:24其中(1)為恒等變換, (1 2), (1 3), (2 3例 2 正方形的對稱變換群. 正方形的四個頂點分別可用1、 2、 3、 4來表示. 于是正方形的每一對稱變換可用一個4次置換來表示. 顯然， 不同的對稱變換所對應的置換也

3、不同，而對稱變換的乘積對應了置換的乘積. 這說明，正方形的對稱變換群可用一置換群來表示. 10/9/2022 09:24例 2 正方形的對稱變換群. 正方形的四個頂點分別可容易看出, 正方形的對稱變換有兩類:第一類: 繞中心的分別旋轉(zhuǎn)90度，180度，270度，360度的旋轉(zhuǎn)，這對應于置換 (1234)， (13)(24)， (1432)，(1).第二類: 關于正方形的4條對稱軸的反射, (1 2)(3 4)，(2 4)，(1 4)(2 3)，(1 3).這對應于置換所以, 正方形的對稱變換群有上述 8個元素. 這是四次對稱群的一個子群. 10/9/2022 09:24容易看出, 正方形的對稱

4、變換有兩類:第一類: 繞中心S(K)=(1), (1234),(13)(24), (1432), (14)(23), (12)(34), (24), (13)平面上正方形ABCD的對稱變換群 10/9/2022 09:24S(K)=(1), (1234),(13)(24), (： 10/9/2022 09:24： 10/3/2022 13:18： 10/9/2022 09:24： 10/3/2022 13:18： 10/9/2022 09:24： 10/3/2022 13:18： 10/9/2022 09:24： 10/3/2022 13:18： 10/9/2022 09:24： 10/3/2

5、022 13:18： 10/9/2022 09:24： 10/3/2022 13:18： 10/9/2022 09:24： 10/3/2022 13:18： 10/9/2022 09:24： 10/3/2022 13:18定理1 正n邊形的對稱變換群階為2n. 這種群稱為2n 元二面體群. 記為Dn 10/9/2022 09:24定理1 正n邊形的對稱變換群階為2n. 這種群稱 10/D6123456 10/9/2022 09:24D6123456 10/3/2022 二、置換類型個2-循環(huán)，個n-循環(huán)組成，則稱型置換，其中例：中是一個型置換是一個型置換是一個型置換是一個 一個n次置換，如果其

6、循環(huán)置換分解式是由個1-循環(huán)， 10/9/2022 09:24二、置換類型個2-循環(huán)，個n-循環(huán)組成，則稱型置換，其中例：三、項鏈問題問題的提法：用n種顏色的珠子做成有m顆珠子的項鏈，問可做成多少種不同類型的項鏈？ 這里所說的不同類型的項鏈，指兩個項鏈無論怎樣旋轉(zhuǎn)與翻轉(zhuǎn)都不能重合。 10/9/2022 09:24三、項鏈問題 這里所說的不同類型的項鏈，指兩個數(shù)學上的確切描述 設由m顆珠子做成一個項鏈，可用一個正m邊形來代表它，它的每個頂點代表一顆珠子。12354678 沿逆時針方向給珠子標號，由于每一顆珠子的顏色有n種選擇，因而用乘法原理，這些有標號的項鏈共有nm種。但其中有一些可以通過旋轉(zhuǎn)一

7、個角度或翻轉(zhuǎn)180度使它們完全重合，我們稱為是本質(zhì)相同的，我們要考慮的是無論怎么旋轉(zhuǎn)、翻轉(zhuǎn)都不能使它們重合的項鏈類型數(shù)。 10/9/2022 09:24數(shù)學上的確切描述 設由m顆珠子做成一個項鏈，可用一個正 設X=1，2，m, 代表m顆珠子的集合，它們逆時針排列組成一個項鏈，由于每顆珠子標有標號，我們稱這樣的項鏈為有標號的項鏈. 為n種顏色的集合. 則每一個映射代表一個有標號的項鏈.，它是全部有令標號項鏈的集合，顯然有，是全部有標號項鏈的數(shù)目. 10/9/2022 09:24 設X=1，2，m, 代表m顆珠子的集合，為n種設，其中現(xiàn)在考慮二面體群對集合的作用： 10/9/2022 09:24設

8、，其中現(xiàn)在考慮二面體群對集合的作用： 10/3/2022 定義則，所以.對的作用為 10/9/2022 09:24定義則，所以.對的作用為 10/3/2022 其直觀意義是， 對的作用就是使對項鏈的點號作一個旋轉(zhuǎn)變換或翻轉(zhuǎn)變換，因而與是同一類型的屬于同一軌道.與因此，每一類型的項鏈對應一個軌道，不同類型項鏈數(shù)目就是對，可用Burnside引理求解.作用下的軌道數(shù)目 10/9/2022 09:24其直觀意義是， 對的作用就是使對項鏈的點號作一個旋轉(zhuǎn)變換或翻下一個關鍵問題是：如何求在上的不動點數(shù)的循環(huán)置換分解式可表為 對應式（1）中同一循環(huán)置換（1）中的珠子有相同的顏色.，這與的置換類型有關.是一

9、個型置換. 設 10/9/2022 09:24下一個關鍵問題是：如何求在上的不動點數(shù)的循環(huán)置換分解式可表為例如，設，則 故是的一個不動點. 10/9/2022 09:24例如，設，則 故是的一個不動點. 10/3/20反之，若對應，則 故不是的不動點.的循環(huán)置換分解式中某個循環(huán)置換中號碼的珠子有不同的顏色，例如 10/9/2022 09:24反之，若對應，則 故不是的不動點.的循環(huán)置換分解式下面我們來進一步計算不動點數(shù)而滿足的，對應于的同一循環(huán)置換中的珠子的顏色必須相同，因而，每一個循環(huán)置換中的珠子顏色共有n種選擇. 而所含的循環(huán)置換個數(shù)為所以滿足條件的項鏈顏色有種選擇 10/9/2022 0

10、9:24下面我們來進一步計算不動點數(shù)而滿足的，對應于的同一循環(huán)置換中故將它代入Burnside公式，就得項鏈的種類數(shù)為其中和式是對進一步表示為其中和式是對所有可能的不同置換類型求和.中每一個置換求和.為同一類型的群元素個數(shù)， 10/9/2022 09:24故將它代入Burnside公式，就得項鏈的種類數(shù)為其中和式是例用3種顏色做成有6顆珠子的項鏈，可做多少種？解123456 10/9/2022 09:24例用3種顏色做成有6顆珠子的項鏈，可做多少種？解123456按類型計算每一個群元素的不動點數(shù)：型置換有1個，每一個元素的不動點數(shù)為型置換有3個，每一個元素的不動點數(shù)為型置換有4個，每一個元素的不動點數(shù)為型置換有2個，每一個元素的不動點數(shù)為型置換有2個，每一個元素的不動點數(shù)為所以. 10/9/2022 09:24按類型計算每一個群元素的不動點數(shù)：型置換有1個，每一個元素的作業(yè)： 用黑白兩種顏色的珠子，串成有5個珠子的項鏈。問有多少種不同類型的項鏈？12345(1) 15